И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Математический анализ в задачах и упражнениях (1111792), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Найти с)1уР, если: 128. Р=- 1«+)Ус уг )7« + уе ! 29'. Р = г, 130. Р= 7 Г !+ )(х у ') ' — 2 ! (х'у') уг „! Ху =х! ( — )1 — 2у! ( ХУ ) ° ( у ) Найти го1Р, если: 133. Р.=(х+г)!+(у+г))+(хе+7)/7. 134. Р=(х'+у') !+(уг-)-ге) )+(ге+ х') й. 135. Р=-га!+уа)+хе)г 136. Р= У 1+ — ! + — )7. г х у 137. Р=г. 138.
Рг с !(г), ! ~ С1()с), с — постоянный вектор. 139. Р = г 4(г), )' ~ С1 Я). 140. Р=)сх~(г)г), !'ен Сгф), с — постоянный вектор. е д'и даи даи Пусть 17и = вегас) и, Ли = — (- — -(- —, где и — скалярная дхе дуг дге ду„дГУ ду, функция; уР= 81гу Р = — "+ — + — ', где Р— вектор: Р = (Р„, дх ду дг Р, Р,). Доказать следующие соотношения: !41.
а) ЙУ(11т7и) =и!!и+(ди)', б) с))У(и !то) =- иапо+ !!и.1!о; е ЗДЕСЬ Н В ДаЛЬНЕйШЕМ 7=(Х, У, г), 7= /Г/. в) угад(и-)-о) = — вегас(и-';-йгаг! гч г) г)!т(г т Ф)=.51~ У+г(!" Ф д) Й!т(ис)==с.!!гас(и, г — постоянныи вектор; е) агап (по) =- и йгаг( о+ о огай и; ж) Йч[РхФ]=-Ф.го(Р— Е го(Ф; з) г)ог(иГ):.=ид!чу-';Вугами; и) й!ч угад и = — Ли; к) го1дгаг) и —.—: О; л) го1(Р-;Ф)=го!Р-;го! Ф; м) го!(иг) =-иго!г" +[йгао' и г]. 142. Найти г)!ч(дга<$1(г) ).
Выяснить, когда г)!ч(5гаг( [(г)) =О, ГенС'(Р). 143. Найти г)!ч(!" (г) с), [~С'(К), 144. Найти г)!ч(!'(г) г). Выяснить, когда д!т(](г) г) =О, [~С'(Я). 145. Электростатическое поле точечного заряда д равно '!пго г !г! Вычислить г(!т Е в точке М(х, у, х) (хугчьО). Проверить, является ли поле Р потенциальным, н если да, то гнайти его потенциал.
146. Г=2ху!+ (хг-1- !)1. 147. г" — (у+ !)'1+2х(у-(- !) !'. 148. г" = - сов у ! + х ейп у1. 149. Г==(у+я) Г+(х+г)!+(х+у) й. 150. г" =- (уг+ ! ) 1+ хг! + хуй. 15!. У=- ' !+ х+у+г 152. Р = е" ы п у!+ е" сов у)-!- и. 333 153. Г= ( — ' — — ") з +; — '-- — '~ ) + ( — '- —;) й. 154. Е--=уг(2х+у+г) ю'+хг(х+2д+г))+ху(х+у+2г)й. 155. Р=2лдл'+хзг) ехзуй. х 1/(е-~ з)' 157. Доказать, что поле электрической напряженности Е, создаваемое точечным зарядом д, помешениым в начале координат, является потенциальным полем, и найти его потенциал.
158. Найти потенциал гравитационно~о поля а= †)гз, соз-, даваемого массой т, помешенной в начале координат. Проверить, является ли поле соленоидальным, и если да, то найти его векторный потенциал (с точностью до слагаемого бган У, где Уе:-С'(О)). 159. Е=-(у+г) ~' —,'-(х+г)1+(х+д) й. 160. Р=(бх+7уг)1+(бу+7лг));, (бг+7ху)А. 161. Р=-2ую' — г)+2хй. 162. Р=х(г' — д') К+у(х' — г')1+г(у' — х') й. 163. Р = уз1 — (х'+ уз) 1+ г (Зуз+ 1) й.
164. Е= (1+ 2хд) с' — узг)+(г'у — 2гу+ 1) й. 165. Р= бузе+ бе)+ бхй. 166. Е = уел*1 -»- 2уг/ — (2хуге"'+ г') й. Найти циркуляцию вектора Е вдоль ориентированного контура Е 167 Р = гз(-»-хз)+ узй Е=((х, у) ". 2х'+г' — у'=а', х+у=О), положительно ориентированная на правой стороне плоскости. 1 68.
Р = уз1 -»- ху)-»- (х' -»- у') й, Е=((х, у, г): х'+у'=аг, х=О, у=0, г=а, х) О, у)0), положительно ориентированная на внешней стороне параболоида, 169. Р = уехз1+ хе'з)'+ хуге, Е=-((х, у, г): хз-(-уз=(г — 1)', х=О„у=О, г=0„(х~~О, у~~О, г~ О)), положительно ориентированная на внутренней стороне конуса. 334 170. Р=ху(+уг)--, 'хгя, Е==-((х, у, г): х'+у'=1, х+у+г= 1), положительно ориентированная на верхней стороне плоскости. 171. Р=х(+х)+гК Е=((х, у, г): х'+у'-+г'==а', х+у+г=-О), положительно ориентированная на верхней стороне плоскости. 172. Р= у( — 2г/+хй, Е=((х, у, г): 2х' — у'+г'=а', х=у), положительно ориентированная на правой стороне плоскости. 173.
Р=х) — УЕ 1 — окРУжность (х — хе)'+(У вЂ” Уе)'=)7г с положительным направлением обхода. 174. Р=-(х+г)1+(х — у)1+хй, к~ у~ Š— эллипс — + — =-1, положительно ориентированный на верхвз Ьа ней стороне плоскости г=5. 175. Р=(х+Зу+2г) ~+ (2х+г)1+ (х — у) й, Š— контур треугольника МУРМ, где М=(2, О, 0), М=(0, 3, 0) „Р=(0, О, !). 176. Р=(х+ у) 1+ (х — г)1+ (у+ г) я, Š— контур треугольника АВСЛ, где А=-(0,0, 0), В=(0, 1, 0), С=(0,0, 1). 177. Р=(Зх — 1)1+ (у — х+г)1+4гй, Š— контур треугольника АВСЛ, где Л, В и С вЂ” точки пересечения плоскости 2х — у — 2г+ л-2=0 соответственно с осями координат ОХ, 01; Ог.. 178. Найти работу поля Р вдоль кривой Е, если Р=2ху(+х'1 и Е есть наименьшая дуга окружности хг+у'=1 от точки А=(1, О) до точки В=(0, 1), 179.
Найти работу поля Р вдоль кривой Е, если Р=2хд1+уг1— — хЧ и Š— часть кривой хг+уг — 2гг=2, у=х от точки А=(1, 1, О) до точки В=(12, 12, 1). 180. Найти работу векторного поля Р вдоль кратчайшей дуги эллипса хе асов Е у=Ь э(п1 от точки А=(а, 0) до точки В=(0, Ь), если: а) Р=-(у, а); б) Р=(ху, х+у); в1 Р=(2ху, х'); г) Р— сила, имеющая постоянную величину Р и направление; 1) вдоль оси ОХ; 2) вдоль оси О)'; д) Р— упругая сила, направленная к началу координат н пропорциональная удалению точки от начала координат. 181. Под действием силы тяжести у, направленной по оси ОХ, тело единичной массы скатывается от точки Л= (а, О, 2пЬ) до точки В=(а, О, 0) по спирали хг а соз юр, уг а з1п ср, г=Ь(2п — <р). Найти работу поля при таком перемещении.
Найти поток векторного поля Р через поверхность 5 в направ- лении внешней нормали. 182. Р =- (хз-)-уг) 1-г (уз+ хг)1-г (гз-)- хд) й 5 — верхняя полусфера: хз Н у" + гз = 16, г ) О. 188. Р=(ху+х')1+(2у — 2ху))+(г — дг)Ф, 5=((х, у, г): х'+у'=г', 0 <г -'Н). 1 84. Р = (х — у + г) 1+ (у — г --, 'х) ) + (г — х + у) Й, 5=((х, у, г):(х~+ ~у~ + ~г! =-1). 186. Р = — 2х1+2у1 — гй, 5=((х, у, г): г'=х'-(-д', 0<г< Н). 186. Р=2х1 — у)+гй, 5 — поверхность тела х'+у'+г'<4, Зг -х'+у'. 187. Р= — зз+дз) — гзй., 5 — поверхность' куба 0 <х<а, 0<у<а, 0<г <а.
188. Р= х'уз'+хуз)'+хугй, 5 — поверхность х'+у'+г'<)сз, х)0, у)0, г' О. 189. Р=хзз+уз)+гзй, 5 — нижняя полусфера: х'+ у'+г'=1, г< О. 190. Р= уз -Рг)+х)г, 5 — поверхность пирамиды х+у+г <а, х)0, у) О, г)0. 191. Р=уз/+гй, 5 — часть параболоида г=х'-'у', г<2. 192. Р=хзр — уз/+гзй, 5 — поверхность тела зх'+уз+гз:- Зйз, 0 =- г < '(,Рхз+ у' — гтз, 336 193. Р=х/ — ху/+гК 5 — часть цилиндра хз+-у'=Щ ограничен- ная плоскостями г == О и х+ г = К.
194. г ==хга+дг/--, 'гзя, 5 — часть сферы х'+д'+г'=9, отсечен- ная плоскостью г-.::2 (г ~2). 196. Р ==:хза'-Руз/+гзй, з ~ з 5= — [(х, у, г); ха+уз= — г', 0(г(Н~, Н' '196. г"=(д — х) а 1-(х+у)/+д/г, 5 — верхняя сторона треугольника АВС, где А=(1, О, О), В= =. (О, 1, 0), С=-. (О, О, 1). 197. г == (Зх — 1) с'+ (д — х -( г) / + 4гй, 5 — поверхность пирамиды„ образуемой плоскостью 2х — у — 2г+2=0 и координатными плоскостями. 198. г=(х — Зд+бг)1, 5 — поверхность пирамиды, образуемой плоскостью — х+у+2г — 4=0 и координатными плоскостями. 199.
Вычислить поток жидкости в направлении внешней нормали через верхнюю половину окружности х=Я соз 1, у=/7 31п 1, у~О, если скорость потока о постоянна по величине и направлена вдоль оси ОХ. 200. Вычислить поток жидкости в направлении внешней нормали через правую половину окружности х=/7соз/, у=/7 з(п/, х~ ъ0, если скорость потока о образует угол л/4 с осью ОХ ([о[=- сопз() . 201. Вычислить поток жидкости в направлении внешней нормали через часть окружности хе асов/, у=аз|о/, лежащую в первой четверти, если скорость потока о=(х+у, у). ОТВЕТЫ 1 — 17 2 11 3 — л, Л лз Л из †4 Л лз Л па вЂ З Л лз Лл .
4. 4ла /~ лз /~ лз + 16лз Л лз /1ла бл~ Л лз /~ ла 2лз Л лз Л ла- 6. 64. 6. — 14. 7. (хзх +х.хз) а(хз /~ а(хз /~ а(хз+(хах." — хахз)а(хЯ Л г(хз Л а~ха + (хаха хзхз) а~ха А а~ха Л а(ха + (хатха т х ха) а(хз Л /~ дхз Д дха. 8. [(х,хна-г-х~хзха)а(х, /~ г(хз+(х х,ха— х~х + хзха хахзх~з) а/ха Л а(ха[ 2хахзхз а(ха Л а(хз + (хзхзха х ~хзха) а/хз Л Д а(хз+ 2х,х,х,х, а(хз /~ а(ха — (х,х,'х, +х',х,х,) а(хз Д а/ха[.
9. 4х,х,х, а(х, Д а(хз /1 дха+ 4х,х,х, а/х, /1 а(хз Д а/хз. 10. О. 337 11. (хзх — 2х~х хз) е(хг Д г»х + (хзх — 2хзх х ) г(хз Д г!хз+(хзхз— — 2х,х,х,) дхз Д г(хз+ (2х,х,хз — х,х,') г/хз Д дх,. 12. 4хг г(г Д г(х+ +4хуе(хДе(у+4угг(уДг(г. 13. бхдгг(х Д е(уД г(г. 14. 2соа(х,+ + хз) соз (х, + х ) [е»хз Д г»хз Д г»хз+ е»хз Д е»хз Д дхз1 — 28!п(хз+ -, 'х,) яп (х, + хз) [г(х, Д г(хз Д е(хз+ Нх, Д <(хз Д йхз[. 15. — (хз+хз)(г»хз Д г»хз Де»хз+е(хгДггхзДг»хз) (хз+хз)[ггхзД "хзД Д дхз+г»хз Д е»хз Д г/хз), 16. Замкнута. 17.
Нет. 18. Замкнута. 19. Замкнута. 20. Замкнута. 21. Нет. 22. Нет. 23. Замкнута. 24. (яи хсозх — х'яп х — х) йх. 25. — уг»у. 26. азЬ(яи1созг — 1)й. 27. Зазб(зе»Г. 28. — ху(созх+ +сиз у) йх Д Иу. 29. 2 агс!ц ~ йу Д г»г, 30. — 2хгг»г Д г(х. 31.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
