И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Математический анализ в задачах и упражнениях (1111792), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Поэтому для верхней стороны 5 имеем равенство ЯЯг]х/~ г]у=Дую(х, у, г(х, у)) ' ~ /хт]у= 3 о =Я)т(х, д, г(х, у)) с(хпу, о а для нижней — равенство Дйг]хД с]у=ДЙ(х„у, г(х, у)) '" ахну= 3 и =- — Д Й (х, у, г (х, у)) дх ду. Точно так же для правой стороны поверхности Я=(с: г(д, г)=(х(у, г), у, г), (у, г) ~й), х=х(у, г) еп С'(ТЭ)) справедливо равенство ~~ Рйу Д дг= ~~ Р(х(д, г), у, г) дуНг, Б О а для левой — равенство ~~ Рф /~ с(г=- — ~~ Р(х(у, г), у, г) Идйг. 3 о 293 П р и м е р.
Вычислим ') ') (хо+у'+ г') ау Л о(г, где 5 — левая сторона поверхности, полученной вращением дуги кривой Е= ((х, у), х= х, д= соя х, х он [О, я/21) относительно оси ОХ. Решен не. Поскольку в условии задана левая сторона по- верхности 5, представим ее с помощью явного задания функции х=х(у, г)=агссоя')/до+го! 5= (г: г= (агссоя у'у'+г', у, г), (у, г).=:= Р), Р=((у, г): у'+г'(1). В силу следствия 2 свойства 4 ~ (х'+у'+го) ду Л о(г= — Я (агссоя' (Гу'+го )-уо+г') о(до(г= Г' ' ' я О оо 1 юо ! 1 1 = — ~ о(!р ~(го+ гагссояог)г(г= — 2я) — + — ~ гоя1п21'гд)= ( 4 2 о о о = — 2я( — + — ( — — — )) == — —. П р и и е р.
Вычислим ~~ уго(у Л г(г+х'г(г Л г(х+уго(х Л о(у, где 5 — внешняя сторона полусферы х'+д'+г'=и-', у>0 (а>0). Р е ш е н и е. Поскольку у) О, то уравнение полусферы можно записать с помощью явно заданной функции у(х, г): 5=(г: г(х, у, г)=(х, у ао — хо — г', г!, (х, г)- Р), где область значений параметров Р=((х, г):хо+г'(ао).
Для отображения г: Р- Яо имеем УР Р:и' '=( (г Хг) Таким образом, поле Ж= и: и= ', *, является полем нор) 1г„' ос ~,'11 малей, направленных к центру полусферы 5, т. е. определяет ориентацию я, противоположную заданной. Следовательно, заданная 294 ~угФЛс(+х'с(г Л (х+угдх Л у= о +г усах — х' — г' "' ") 1с(хс(г. 0 (г, х) ) Далее, ду ду дг дх д. дг дг дх )с а' — хг — г' )Г'аг — хг — гг 0(у, г) 0(, х) 1 О 0(г, х) 0 (г, х) дг дх ду ду дг дх 0 (х, у) 0 (г, х) — х )ссаг — хг — г' )с' а' — хг — у* Следовательно, ~угс(у /) с(г+х'с(г /') с(х+дгс(х /') с(у=-Д~(хг+х'+г')с(хс(г= гя ° яа' =~ с(ф ~ го(1+созфейпф) с(г= —, 2 о о П р и м е р. Вычислим ') ~ (4х'+ г') с(у /) с(г + 4ху с(г /) с(х+ г' с(х /) с(у, где 5 — правая сторона части гиперболического цилиндра 4хг— — у'=а', лежащей внутри конуса х= )ссуг-(-гг (а)О).
Р е нс е н н е. Поскольку х~ О, то уравнение поверхности мож. но записать с помощью явно заданной функции 3= (г: с(х, у, г)= |с — ')ссра+ах, у, г), (у, г) ~/)). ( 2 295 (~,к~ 1 ориентация определяется полем М=(л: п=,',' . Приме11с,'х.,'И няя свойство 5, получаем, что Область 0 значений параметров является проекцией заданной части цилиндра на плоскость ЛУ. Границу 0 находим как проекцию линии пересечения поверхностей 4ха — ух=ах и х= )Гуг-)-г"', исключая переменную х из этих двух уравнений, получаем ах+ уз=4(у'+ ге) или Зуг+ 4гг=аг.
Итак, ~(4х'+ г') 0у /( аг+4худг /~ с(х+г'г(х /( Ну = =~Д1(а'+у'+г') у' ) +2у у'а'+у' ' 1+ 0(у, г] О(у, 2) +г' ( ' 1 ~ ~(у~(г Р (у, г) Далее, дг дг ду дх 0(г, х) Р (у, х) дг дх 0 2У '+у* ' ду дх 2 (Гат 1-уа дх 0' 2 )/ах+ух 0 (х, у) ду ду ~=0, о( 0 (у, г) ду дг Следовательно, ') '1 (4х'+ га) ду /~ да+ 4ху г(г /( Нх+ г' дх /( ду = = ')') (а'+у'+га — у') дуда= ') ') (а'+г') г(уйг. о и 296 я= ~г: г(х, у, г)= ~х = — угаа+у', у, г), (у, г) = 0~, В=((у, г): 4г'+Зу' -'а') Далее, г„= ( — у, 1, 0~, г,=(0, О, 1), "(г„,сг,1 = 2 1Гах + ух 1, У,О(. 2 Рга'-~- у' Следовательно, заданная ориентация поверхности 3 определяется (г„'хг,1 ~ нолем М= а:и= ",,' . В силу свойства 5 игах„)1 Имеем, что ~ аз о(у з(г =.
аз (0 ~ = ™ 2 )/3 о а а В интеграле Ягз~(ус)г сделаем замену: у= =а(и~у, г= — соз Ч>, = .)/З ' 2 о тогда за ! а' «' а' з з ~г'ЙУйг= — ~ йй ) — ГзСОЗзгР1(Г= .— П= 2 (/3 ) „4 3 )/3 4 32'$/3 о о Итак, окончательно, ~(4хз+гз)з(у/( о(г+4хуйг /1 дх+гзо(х/) 1(у= + 2 '$' 3 па' па'17 32 ')/3 32 1/3 П р и м е р. Вычислим ~ ~ х Щ /( 1(г — у йг /( о(х+ г ах /'1 о(у, где 5 — внешняя сторона части конуса го=хо+уз, лежащей выше плоскости г=О и внутри цилиндра хо+у'=а' (а>О).
Р е ш с н и е. Используя условие г> О, записываем .С= (Г1 Г(Х, У, г)=-(Х, У, '(/Хз+.Уз), (Х, У) ЕНф, /)=((х, у): х'+уз«" аз). Внешняя нормаль к поверхности конуса г'=х'+у' направлена от оси ОЛ и в точках конуса, лежащих выше плоскости г= =О, образует с этой осью тупой угол (см. рис. 47).
Следовательно, в условии задана нижняя сторона конуса, т. е. В силу свойства 5 ~ хф /( з(г — удг /1 о(х+гг(х /'1 Ну= =Д~~ '" ' — у ' '+)/' +у ' ")1о(~о(у 1)(у, х) 0 (у, х) 0 (у, х) ) и 297 ду дх ду ду дг О О!у, г) Р !у, х) 1/х'+ уг !г хг + у' (/х'). уг у х ду дг дх дх дх дг )/хг -)- у' (/хг + уг О 0(г, х) х) (у, х) ду дх )/х~+ уг ду Следовательно, ~хну Д Иг — уг(г /! их+гг(х /! Ну =~~( х — у — ~/хгг+ г~ (х ! Д 2у и о 2гг а = — 2 ~ йр ~ г з!и ~р Ыг = — — ', Гг.г 2агл о о П р и и е р.
Вычислим '1 ') ху г(у /1 дг+ уг г(г Д г(х+ гх г(х Д г(у, где 5 — левая сторона поверхности 5=(г: г(и, о)=(2и+о', и' — 2о, 2ио), (и, о) ==0), 0=((и, о): О -и<1, О<о<1). Р е ш е н и е. Проверим сначала корректность задания стороны поверхности'Я. Так как ги = (2ю 2и~ 2о) хо = (2о~ 2 2и)~ то для (ггмгг! 4(их+о, ог — и, — 1 — ио) 1(г„Хг,11 !1гхХгх!! получаем, что соз(л, ОХ)=,, аО. Огс1ода следует, что поле 4иг+ 4о 1! ~Х,)! (г;Хг„'! $ И= л: л= ', ", определяет левую сторону поверхности Я, 11ггмгх)1 В силу свойства 5 ~худу /~ г(г+угг(г Д г(х+гхг(х Д г(у= = Д ~(2и+ ох) (их — 2о) У' + 2ио (и' — 2о) ' + 0 (о, и) 0(о, и) о +2ио(2и+о') ' " ~ Ни!(о, 0 (о, и) дд ду до ди дх дх — 2 2и = — 4и' — 4о, 2и 2о 0(у, х) 0(о, и] дх 2и 2о до дх Р(х, х) = 4и — 4о', 0(о, и) дх ди ду ди ах 2о 2 =4ио+4, — 2 2и' до ау 0(х, у) 0(, ) ~ ху г)у /~ !(г+ уМг /( !(х+ гх Ых Д !(у = = 4 ДЦи'+ о) (2и + о') (2о — и') + 2ио (и' — 2о) (и — о)+ о + 2ио (2и+ ох) (4о+ 1)) Ии Но = ! ! = 4 ~ !(о ~ [2о'+ и (4о'+ 2ох+ 4о') + и' (4о — 4о! + о'+ 2о') + о а + их (2 о+ 4о' — 2ох) + и! (2 о — ох) — 2и'] !(и = ! =4 ~ ~2о!+2о!+ох+2о'+ — о — — о'+ — о'+ — о'+ з з з з о 1.!19111%9 + „+ох ох+ ",,х ~! д 2 2 Б 3 З~ 90 П р и и е р.
Вычислим ~ ~ у' !(г /( !1х+ г' их Д !(у — х' Ну Д Нг, где Я вЂ” часть поверхности тела: У=((х, у, г): 2хх+2уг<аг<хг+ +ух+аз) (а)0), удовлетворяющая условию у>0, и вектор нормали и, определяющий ориентацию Я, в точке М=(0, а/2, ба/4) образует острый угол с осью 02. [~„х~„[ И~„'х~„[[ ' и ориентирующее поле нормалей к 5г есть [гухг„[ ~ 2«~.1- 2у~ 1 [[~„хг„[1 1 а В силу свойств 3 н 5 имеем, что ~ ух ах /( а[«+«'ах /( ау — х'ау /1 аг= =~~у~аг /) Н«+г ах /) ау — «хау /( аг+ 3, +Ду'Иг /( ах+г'ах /1 ау — х'ау /( аг= а. о где г,(х, у)= — (х'+у'+а'), г,(х, у)= — (2х'-[-2у2), й а )) = ((х, у); х' -[- д' ( а').
Так как 2х 2у~ д«, ду д« ди дк дх 2у Р (го «) Р(х, у) ду ду дг, ду ду дх д«1 дх О 1 2« Р(у, и) Р(х, у) 2х 2д аоо Р е ш е н и е. Ориентация поверхности 5, определенная вектором а, была подробно проанализирована в примере на с. 226. Этой ориентации соответствует верхняя сторона поверхности 5,=((«, у, г):аг=хг+ух+а', х'+у'(а', у~О) и нижняя сторона поверхности 5,=((х, у, г):аг=2х'+2у', ха+ух(а', д>О). Следовательно, ориентирующее поле нормалей к 5~ есть дг, дгз 4у 4х ду дх дх дх Т) (г„х) 0 (у, к) ду дк ду ду ду дх дгз дг, 1 О 1) (у, г,) ьг (у, х) а,),! а ду дх то ~ у' г(г /~ ь(х -, 'г' ь(х Д ь(у — х' г(у /~ ь(г = =--~Д ~ '" + — '(ха+уз+аз)з+ — "'+ — '"'— Π— — (хз+ уз)з " ~ ь(х ь)у ~~ '12пуз 2ахз аз а аз,! "о — 3 (х'+ у')'+ оь+ 2азхз+ 2азхз! ь(х г(у = = — ( ь(ьа ~ (2а гь (з(из ьр — созз ~р) Згз + гпь + 2пзгз) ь(г— аз ) 1 Г 1 ь аь 1 ! 2 а' 4 4 г я 8 аз ~ 2 2 2 ~ 5 аз 3 , 2 15 / й 4*.
ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ 30! Еще раз обратим внимание на то, что материал, изложенный в этом параграфе, рассмотрен в $ 5 в терминологии дифференциальных форм. Читателю полезно сравнить определения, основные свойства рассматриваемых понятий и ход решения примеров. Пусть в области ))с:)1з задано векторное поле А(Р, Я, Р). Порядком гладкости поля Л назовем наименьший из порядков гладкости функций Р, (',), Я в области (г. В дальнейшем, если не оговорено противное, всегда будем подразумевать, что рассматривается векторное поле достаточного порядка гладкости (не менее второго).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
