И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Математический анализ в задачах и упражнениях (1111792), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Пусть 5 — ориентированная гладкая поверхность, /Ч=(п)— ее ориентирующее поле нормалей. Тогда ~~ ь>= )') (а,соза+а,соз()+а,созу)>/5, где а, )1, у — углы вектора п~У с осями ОХ, ОУ, ОХ соответственно, т. е. п=(соз а, соз р, сову) (связь поверхностных интегралов первого и второго рода), п>=а,дуЛ>/г+ аг>(гЛа>х+ а,с(хЛ Л "у.
Пр им ер. Вычислим ~~ угНУ /> аг-)-х'г/г /~ а>х+ узах /> ду, где 5 — внешняя сторона полусферы х'+у'+г'=а', У~О (а)0). Р е ш е н и е. Поскольку уъО, то уравнение полусферы 5 записывается в явном виде: х=х, г=г, у= 1/а' — х' — г', (х, г) си Р, где область параметров Р = ((х, г): х'+ г' ( а'). Для отображения >р: Р- Н': х = х, у = 1>/аз — х' — г', г = г имеем (р„' Х р,')=- ~' 1 а' — х> — г> )' ел — х> — г> ) 257 Следовательно, ориентация (х, г) области 0 определяет вектор нормали к 5, направленный к центру полусферы, т.
е. эта ориентация противоположна заданной, Итак, в нашем случае ориентированная полусфера записывается в виде 5 =- (х = х, д = р~ а' — х' — г', г = г, (г, х) е= г)) . Согласно определениям находим соответствующий подынтегральной формы ьи перенос ~р*ы + х'г[г Д с(х — гЧх Д Нг = (х'+ г'+ хг) Нг Д Йх. Следовательно, ~в=ЦдЫд Д дг+х'дг Д дх-!-дух Д дд= = Д~(х +г + хг) с(г Д дх = Д (х +г +хг) (Мх= 2я а = ~ сЬр~г'(! +сезара!п~р)юг=в о о П р и м е р. Вычислим ') ~ (4х'+ г') г(д Д бе+ 4хддг Д ох+ гЧх Д с(д, ! 5 = ~х = — 1/а'+д', д= д, г=г, (д, г) еи О, 2 Р=((д, г): 4г'+Зд'~ а')~. Согласно определению находим соответствующий перенос ч ~со подынтегральной формы вн 258 где 5 — правая сторона части гиперболического цилиндра 4х'— — дг=а', лежащей внутри конуса х= д'д''--'';-г' (а) 0). Р е щ е н и е.
Поскольку задана правая сторона поверхности 5, выразим ее в виде 5=((х, д, г), х=х(д, г), д=д, г=г, (д, г)ен еи0). Используя условие х> О, получаем, что х(д, г) = — д и'+д'. Область 0 значений параметров является проекцией заданной части цилиндра 4хг — да=аз на плоскость ЛУ, границу ее находим как проекцию линии пересечения поверхностей 4х' — д'= а' и х= ="дд'+г', исключая, переменную х из этих двух уравнений: аз+ +д'=4(д'+гг) или Здг+4гг=аз Итак, пх = у у, ~р'оо = (а'+ д'+ г') ад /~ о(г+ дЧг /~ Ид = =(а'+г') ад /~ о(г. Следовательно, ~оо= ~Д(4хо+го)ад /~ аг+4хдо(г /~ дх+гЧх /~ дд= э 5 = ~~(ао+ г') Ид /~ о(г = ДгЧдаг+ о о В полученном двойном интеграле сделаем замену: д = = ьчп р, г = — соз р. 1'3 2 Тогда ~оа ! а' с а' яа' ~гЧдаг=-= ( ойр ~ госозо~чх(Г 2Р 3 ),) 4 32У3 о о о Итак, окончательно + яао яа41 яао 17 324 3 2 т'3 32Р"3 П р и м е р.
Вычислим ~~ хйд /~ дг — до(г /~ о(х+ гах /~ ад, где 5 — внешняя сторона части конуса го=хо+у', лежащей выше плоскости г=0 и внутри цилиндра х'+до=а' (а)0). Р е ш е н и е. Внешняя нормаль к поверхности конуса го=хо+ +до направлена от оси 02, и в точках конуса, лежащих выше плоскости г=О, образует с этой осью тупой угол (см. рис. 47). Следовательно, задана нижняя сторона конуса.
Используя условие г~О запишем 5 в виде 5=(х=х, д=д, г=1/х'+д', (д, х)ен ен г7). Областью г) значений параметров является круг ((х, д): : хо+до<а'). Находим соответствующий перенос ~р*ь подынтегральной формы ен о)г = хах + уау , хо —, <р'м= йд/~ дх— 1' хо+ уо )' "о ' уо уо — 2о — АД дх+1/х'+д'дх /~ о(д= " о(д/~ о(х. т' г'+ у' )' хо+ у' 239 Следовательно, ~ ~ ы — ~ ~ хду /~ дг — удг /~ дх, гдх /~ ду з 3 О о 2и а зпдв = — 2 ~ дср ~ гз з|пг <рдг=- — = —. 3 и о Ряс. 47 При мер. Вычислим ~ ~ худу /~ дг+ угдг /~ дх+ хгдх Л ду, где 5 †лев сторона поверхности х=из — о', у=и'о, г=ио', (и, о) ~/мок н,п. Р е ш е н и е. Проверим сначала корректность задания стороны поверхности 5, т. е. проверим, что существует непрерывное поле И нормалей к 5, такое, что соз(п, ОХ) ~0 для любого вектора пе= ыУ.
Обозначим через <р: )тг-~/сз отображение х=из — о', у=иго, г = и от, тогда р„'=(Зи', 2ио, о'), ~р„'= ( — Зо', и', 2ио), (<р х <р ) (Зизоз Зо4 бизо Зи4+ биоз) Отсюда видим, что 5 =- (х = и' — о', у = и о, г = ио', (и, и) ен /ы,в <гл1) есть задание поверхности 5 с указанной в условии ориентацией. Находим соответствующий перенос срэьэ подынтегральной формы ак сэу/1 с(г = ~ " ~сЬ/1 асц= — ЗизозсЬ/1 с/и, 2ио оз ьв в = ~э" — в' в Ь в =~вь~з ~в в в,, оз Зи' с(х /1 с(у = ) Зо " ! с(о /~ с(ц=-( — бцо' — Зи')с(о д с(и, Зи' 2ио~ вр'сэ = — Зизоэиэо (и' — о') сЬ /1 с(ц+ и'о'(би'о+ Зов) с(о /1 сЬ— — цоз (из — оз) (биоз + Зи') сЬ /1 с(и = ( — 3 иэоз — ', 3 и'о' -(- + би'о'+ Зизоэ — 3иьоь+ Би'о' — Зи'о') ссо /1 с/ц.
Следовательно, ~ "=Дхуссу/'1 с(г+угс1г/'1 с/хтхгс/х Лс(у= Я~ ( — ЗиЪз+ Зцвоэ+ бивав+ Зцзоэ Зцьоь + с(э,ээ, !1.11 с ! + Би оз — Зисов) сввп Д с/и = ~ с(ц~(бцэоз+ Завоз+ Зисов Зиьоь+ +би'ов — Зи'о' — Зим)с(с= ( / 6 и'+ 3 цз+ 3 цв 3 ць+ в)'э9 8 7 6 о в 3 э зэ 2 3 3 1 6 + в э из', /ц + -)- — — — +— 5 4 / 9 32 35 12 35 3 1 359 32 9 1260 Пример. Вычислим ~~ уЧг /1 сэх+гЧх /1 с(у — хЧу Л с(г, где 5 — часть поверхности тела $' = ((х, у, г): 2х' + 2у' ~ аг ( хэ + уэ + аэ) (а > О), удовлетворяющая условию уъ.0, и вектор нормали л, характеризующий ориентацию 5 в точке М(0, а/2, Ба/4), образует острый угол с осью ОЛ.
Р е ш е н и е. Ориентация поверхности 5, определенная вектором л, была подробно проанализирована в примере на с. 226. Этой ориентации соответствует верхняя сторона части параболо- 261 нда 5з=((х, у, г): аг=х'+у'+а', х'+у'. а', у~О) и нижняя сторона части параболоида 5з=((х, у, г):аг=2хз+2уз, хо+уз(аз, у~О). Следовательно, ориентированная поверхность 5=5,05з, где 5, = (г: г(х, у)= ]х, у, ~ + ~, (х, у) о=ТЭ~ 5, = ~г:г(х, у)= ~х, д, ~ ~, (д, х) ев Р~], Р = ((х, у): х'+ у' - а', у '- 0). Находим ф1*оз — перенос формы аз =уЧг /! г(х — хЧу /~ г/г+ гЧх /! о(у а 5з на Р: дг= — (2хо(к+2дйу), ф',о!= — — з(у /! 4(х+ — з(д /~ дх+ ! 2кз 2уз о Я И + (к з д "- - — дх/! з(у= — (2ах' — 2ауз+(х'+у'+а')')о(х Д ду; а' дз фзоз — перенос формы оз=дЧг /! зух — хЧу /! дг+гЧх /! г(у с 5 на Р: 4(г = — (хук+ уг(у), 4 о ф',оз = — (дЧу /1 йх) — — хЧу /~ дх + —, (х'+ у')' о(х /1 о(у =- 4 4 з .
4 = — (адз — ахз — (х'+ у')') о(у /'! г/х. аз Следовательно, Д оз = — ~ Д оз+ ~Д оз = —,— ~Д (2ахз — 2адз -)- (х' -(- дз д аз)'] Дх /1,(у -(- в о, к. о 4 ! с + — ~~ (ауз — акз — (хз-(-уз)з] г(!Г /! дх= — ~(2акз — 2адз -~- аз,1,) оз „! + (х'+ у'+ а')'+ 4ауз — 4ах' — 4 (х'+ у')'] ах!(д = а 1 а = — ~ о(ф '] (гз (2а а!пз ф — 2а соаз ф)+ газ+ 2гза' — Згз] г!г = з ) о о оз'42~1+11~)~В й з. виктоиныи Анализ Еще раз обратим внимание иа то, что материал, изложенный в этом параграфе, рассмотрен в в 4* в терминологии векторных полей. Читател1о полезно сравнить определения, основные свойства рассматриваемых понятий и ход решения примеров. Пусть в области Ос:/гг задано векторное поле А=-(Л,„А„, А,).
О п р е д е л е н и е. Если координаты А„, Л„, Л, векторного ноля А являются гладкими функциями в /1, то дА, дАу дАг 1. скаляр — '+ — "+ — ' называется дивергенцией поля дх ду дг А и обозначается б1ч Л; 2. вектор 1 й д д д дх ду дг А, А„ А, называется ротором (вихрем) поля А и обозначается го1 А; 3. дифференциальная 1-форма гв' = А,дх+ А„г(у+ А,г(г называется формой работы поля А и обозначается вх1; 4.
дифференциальная 2-форма юг=А„г(у Д дг+Агг(г /1 дх-ЕА,пх /1 г(у называется формой потока поля А и обозначается аЯ Определение. Пусть в области 1г заданы векторное поле А=(Л., А„, А,) и ориентированная кривая Ь. Обозначим через т единичный вектор касательной к Ь, направленный соответственно ориентации Ь. Интеграл А 1( )~1 й 1 называется работой поля А вдоль кривой Ь. Если кривая г.
замкнута, то этот интеграл обычно называют циркуляцией поля вдоль кривой Е. Определение. Пусть в области О заданы векторное поле А=(А„, А„, Аг) и ориентированная поверхность 5. Обозначим через п единичный вектор нормали, характеризующий ориентацию 5. Интеграл ~ ыгд — — ~ ~ (А и) г(5 называется потоком поля А через поверхность 5.
Оп р е делен не. Кривая 0 называется векторной линией поля А, если в каждой точке М~Ь вектор поля касателен к 0. Из определения следует, что векторными линиями поля А= (Аи, А„, А,) являются интегральные кривые системы уравнений Кх ди дг А Аи Аи О п р е д е л е н и е. Область, ограниченная поверхностью 5, называется векторной трубкой поля А, если в каждой точке М~5 вектор поля ортогонален вектору п нормали к 5.
Из определения следует, что поток поля А через поверхность векторной трубки равен нулю. О п р е д е л е н и е. Вектор ное поле А, заданное в о 6л асти 0с: ~Р', называется потенциальным, если существует функция и: ди ди ди :0- Л, такая, что йга«)и= ~ —, —, — ~ =-А. Функция и нади ду д« зывается потенциалом поля А. Потенциальность поля Л эквивалентна точности формы «ои' работы этого поля: о«и«=«(и.
Следовательно, работа потенциального поля вдоиь кривой АВ равна разности значения потенциала в конечной и ьзчальной точках этой кривой: ~ (А т)«Ь ~)Лиях-гА„«(у+А,Аг=и(В) — и(А). АВ лв Необходимым и достаточным условием потенциальности поля является равенство нулю работы его вдоль любого кусочно-гладкого контура йс:0 (см. свойство криволинейного интеграла второго рода). О и редел е иве. Векторное поле А, заданное в области 0с: с:Яг, называется соленоидальиым, если в области 0 существует векторное поле Ж', такое, что го( )Г=А. Поле ((и называется векторным потенциалом поля А. Соленоидальность поля А эквивалентна точности формы потока этого поля: «о'„= «((«о',).
Следовательно, для соленоидального поля справедливо равенство йч А=О, так как «(«о' = «( (А,«гу /«««(г + Аи«)г /~ «(х+ А,««х /«««(у) = «« дАк дяи дА« = ( — "+ — ' — и+ — *-) (х Л Ф А дг =и дх ду дг Теорема Пуанкаре показывает, что если область 0 такова, что любую замкнутую поверхность, лежащую в О, можно непрерывно стянуть в точку, не выходя из О, то поле А, определенное в этой облзсти и удовлетворяющее условию йчА= — О, солеиоидально. Так как для потенциального поля г" имеем, что аы' = ««(««и)= =О, то векторный потенциал соленоидального поля определяется с точностью до слагаемого, являющегося потенциальным по- 264 лем. Одни из векторных потенциалов %'=(%',-, Ф;,, Му,) соленондального поля А=(А„, А„, А ) получают следующим образом: полагают Ю'„.=О; за Иг„берут одну из первообразных функций А, относительно переменной х; тогда (у', будет та из первообразных функций — Л„относительно переменной х, которая отвечает уравнению двг дп'у 2 у ду дг Запишем это так: К„= 1 Л,дх, й7, = 1 А,,(х+ р(у, г), где функция ~р(у, г) удовлетворяет уравнению — -= Ах пс — й' + — ~ А ~(х, де, д д и ду д " ду Выбирая одно из решений этого уравнения, окончательно определяем функции В'„.:=-О, В'„, 1)г,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
