И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Математический анализ в задачах и упражнениях (1111792), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Найдем одну из параметризацнй окружности /.. Искл1очая г из системы х'+уз+ге=аз, х+у+ +г=О получаем, что координаты х и у точек окружности связаа~ ны уравнением х'+у'+ху=- —. Это уравнение на плоскости Ху 2 определяет эллипс, главные оси которого образуют угол и/4 с осями координат, поэтому х = =соя/+=я(п/ и у==соя/ — =гйп/, )/2 ~/2 г' 2 )/2 где а и )) — полуоси этого эллипса.
Для вычисления а и 3, подставив выражения х и у в уравнение эллипса, получаем соотношеяиа яЛ аз а ние — сояз/+ — яп'/= — откуда а ==, ))=а. Итак, 2 2 2 УЗ а а а /. = (х, у, г): х= — соя/+ — я1п/, д= — соя/— У' б т' 2 и' б — — яп /, г= — ~г — соя/, О(/(2п Т/2 Для требуемого направления обхода вектор р=(р„р„, р,)=[тХ ХМО! должен быть направлен в ту же сторону от плоскости х+ +у+г=О, что и нормальный вектор этой плоскости, определяю- 227 щий верхнюю ее сторону, т. е.
должно выполняться неравенство р,»0. Так как — — — сояЬ 1 ° — я1п1 аап~ а / 2 ~/6 г' 2 К' 3 Йу ' а~ и МО=( — х, — у, — г), то р,= ~ — у — + х — ! =- — — (О. ж и ~ )хз таким образом, полученная параметризация окружности Ь дает при возрастании т от 0 до 2п противоположное требуемому направление обхода. Заменяя ( па†и, получаем следующее параметрическое представление окружности: а а Р Ь = (х, у, г): х= —. соя и — =я!пи, у= =сояи+ т' 2 г'6 а +=я)п и, г= — у —" соя и Р'2 3 и поскольку сделано преобразование параметра с отрицательной производной, то такая параметризация задает противоположную предыдущей, а значит, требуемую ориентацшо окружности Ь = ((х, у, г): х+ у+ г = О, х'+ ух + г' = аз). П р и м е р.
Найдем параметрическое представление верхней петли кривой Вивиани Ь=((х, у, г):х'+у'+гг=4аг, хг+уз=2ах, г»0), такое, чтобы направление обхода при возрастании параметра на верхней стороне верхней полусферы 5=((х, у, г):х'+ +у'+г'=4а', г» 0) было положительным (а>0). Решение. Точка М=(а, О, а)~3) лежит внутри той части верхнез полусферы 5, которая ограничена кривой Ь, следовательно, на верхней стороне 5 вектор АМ, где А — точка на Ь, должен идти налево от вектора т, касательного к Ь в этой точке и направленного в сторону возрастания параметра. Найдем одну из параметризаций кривой Вивиани Ь.
Условию х'+у'=2ах удовлетворяет параметрическое представление координат х=2а соягг и у=2асоя|я)ой где ге=( — н/2, и/2) или ~ен(0, и). Из соотношения ха+уз+гя=4а' получаем, что г'=4аяя1п'1; учитывая условие г~- » О, получаем окончательно, что Ь = ((х, у, г): х =- 2а соя Ь у =- 2а соя | я! п Ь г = 2а сб п Ь 0(1(п). Для требуемого направления обхода векторное произведение вектора ду —, — ~, касательного к Ь в точке А (х, у, г), н вектора (и' и' и 228 АМ=(а — х, — у, а У'3 — х) вектор р=(р„р„, р,)=[т М АМ] должен иметь положительную координату р„так как вектор р должен быть направлен в ту же сторону от полусферы 8, что и нормальные векторы, определяющие ее верхнюю сторону.
Вычисляя р„имеем, что р,= ( — у — — (а — х) ~ =а )О, Йх ду з ш ш,) т. е. полученная параметризация кривой Вивиани 1.=((х, у, г):х=2асоз 1, у=2асоз~з(п~, г=2аз!пг', 0(Г<я) является искомой. Дальнейшее изложение % 2 — 5 использует понятие дифференциальной формы, опирающееся на определение и свойства косо- симметрической полилинейной формы из курса линейной алгебры.
Такое рассмотрение криволинейного и поверхностного интегралов второго рода включено в общие структуры геометрии и теории интегрирования и широко используется в современной математике. Поскольку в некоторых учебниках изложение темы «Криволинейный и поверхностный интегралы второго рода» ведется без использования аппарата дифференциальных форм, то параллельно в В 2", 3*, 4» проведен анализ соответствующих понятий и разбор задач в такой форме. Параллелизм изложения подчеркивается прямым повторением текста там, где это возможно, и разбором одних и тех >ке примеров. Среди задач, помещенных в конце этой главы, задачи )Хз 1— 35 посвящены непосредственным действиям с алгебраическими и дифференциальными формами — они относятся сугубо к материалу В 2.
Остальные задачи, начиная с )чз Зб,— это задачи интегрального исчисления; онн решаются так же, как разобранные примеры, и тем и другим методом, в зависимости от формы изложения темы «Криволинейный и поверхностный интегралы второго рода». $2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЪНЪ|Е ФОРМЫ В КУРСЕ АНАЛИЗА. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЪНЫХ ФОРМ. ОБШИЕ СВЕДЕНИЯ А) Алгебраические формы Напомним некоторые необходимые для дальнейшего факты из курса алгебры. О п р е д е л е н и е.
Пусть Х и У вЂ” линейные пространства. Полилниейная форма Е:Х«- У порядка д, определенная на упорядоченных наоорах ($„~,,...,й,) векторов из Х и принимающая значения в у, называется кососимметрической формой, если ее значение меняет знак при перестановке любой пары аргументов, т. е. 1. («ь ..., $ъ ..., $ ъ ..., $,) = — 1. (Вь ..., $ъ ..„Ь, ..., $«) .
229 В частности, если ~;=$; прп некоторых ( и 1', то независимо от остальных векторов значение кососимметрической формы равно нулю, следовательно, кососимметрическая форма, порядок которой больше размерности пространства Х, равна нулю на любом наборе векторов (так как среди векторов, на которых она задана, по крайней мере два вектора обязательно совпадают). Например, если Х вЂ” двумерное подпространство )гз, то векторное произведение (Д,ХвД векторов $~енХ, $,АХ есть кососимметрическая форма второго порядка .со значениями в ортогональном дополнении Х. В самом деле, во-первых, ]($,+ $,) х $,] = К, х ~,]+ К, х г„] В, х (~,+$,)] = [$, х Ц+ В, х Я, т. е. векторное произведение линейно относительно как первого, так и второго сомножителя и, во-вторых, ]Ц~ХЬ]= — (ДгХЬ! Вещественнозначную кососимметрическую форму порядка д коротко будем называть д-формой.
Множество д-форм является линейным пространством. Линейную форму естественно называть 1-формой. Определение. Пусть Е,ь 1,м..., Е,— 1-формы. Внешнее произведение 1 Д!.зД ... ЛЦ есть д-форма, которая на векторах ($ь ~„...,$ц) принимает значение ~ (а) ~ (л) .. ~ч'(в) 1., (а,) 1 Ы... ~., йа) ~. Л~ Л~ ($ $ %)= Из определения следует, что справедливы равенства: ~г Л ).а Л ~.с А ~.з г~ 1ч= ~х Л ~.а Л ° Лй~ )1 1..
Л Е„ (~г + ) д /~ 1 з Л ~ч ° А 1 а = 1 ~ Л ~ э Л 1'а+ +ьвд~ д ... дь,. В силу линейности пространства д-форм всякий однородный многочлен степени д от 1-форм есть д-форма. Из свойств внешнего произведения 1-форм следует, что внешнее произведение г)- форм находится по правилам умножения алгебраических много- членов с добавлением условия сохранения порядка сомножителей. П р и м е р. Упростим выражение (гч Л ~4 2Ь| А 1,з) Л (2Ц вЂ” 4Ьз+ Зги, где 1-ь Ем 1м Е~ — 1-формы. Решение.
Раскрывая скобки с сохранением порядка сомножителей, получаем, что (/ч Л Е4 — 2Ь~ Л /э) Л (2Ьз — 4/з+3/а)=21 Л / Л /. — 4/ч Л 1з Л Ьз — 4/з Л /ч Л /з+8/,,'Л /з Л /з+ + 3ц~ Л 1.~ Л /ч — 8/ч Л /-з Л /ч. Учитывая, что при перемене местами двух сомножителей внешнее произведение меняет знак, и, следовательно, внешнее произведение, включающее два одинаковых сомножителя, равно нулю, окончательно получаем, что (/.г Л /.а 2/.г Л /.з) Л (2/е 4/.з+3/ч) = = — 2/ч Л / з Л / а+ 4/ ~ Л /ч Л / з+ 4Еь Л /а Л ~а Ич Л /з Л /4= 4/д Л /-з Л /-з 2/ч Л /е Л /-ь — 2/а Л /-з Л /.а. Символом яо 1<1<п, будем обозначать оператор проектирования пространства Я" на координатные оси, т.
е. для х=(хп хм...,х„)ен/т'" по определению я~(х)=хь Проекторы ао 1<1<и, представляют собой простейшие 1-формы. Всякая д-форма представляется в виде линейной комбинации простейших д-форм— внешних произведений 1-форм яг (однородным многочленом степени д от я;): .л....,,Л;.Л "Л.;, 1(и(и(...(3 Такое представление называется координатной записью или записью в координатном виде формы /. Из определения следует, что 5зА з..$,, Ц=(йьь ~ь ~ь.) 1</<д.
П р и и е р. Найдем значение 3-формы ы=4п~ Л из Л па Зпг Л пз Л па+пг Л яз Л па+ 5я1 Л пв Л яе на векторах 6, = (1, О, 3, О); ~ = (5, 3, 4, — 3), $, = (2, — 1, 1, 2), Решение. Так как 1 03 лхЛлзЛпзЯ1 $я $з)= 5 3 4 = 28 2 — 11 231 0 0 и, /~ пз /~ п,($о Сз, сз)= — 5 3 — 3 =3, 2 — 1 2 1 3 0 пз /х эхз/э пз(зьэ И зьз)= 5 4 — 3 = — 37, 2 1 2 03 0~ пэ /~ пз Л зээ(зьо зьз зьз)=- 3 4 — 3 = — 9, — 1 1 2 то гз = — 104 — 9 — 37 — 45 = — 195. Пример. Пусть [$, х Ц вЂ” векторное произведение векторов $,= = Йн ззэз зьээ) ~ /1 и зьз'= (зьэм зьзз зьзз) ив = )х".
Запишем в координатном виде 2-формы зз, ([й, Х Ц), мз(Я, Х йэ[), Яэ Я, Х йз]). Решение. Таккак [Зз Х Зз ) — ~ 'Ьз зээ[ [з1з зьн[ ~$н зьэз, '') ьзз ьзэ ! ! $эз ззэ ~ ! $зг ьзз ~ ! то и ([з и $[)=~$1эвзз~ з Взз С другой стороны, по определению и /1 и (з з ) — ~ ~з 6~) п~ 6~) [ — [ ь1з ьгз ~ пэ (ьз) ззз (ьэ) ~ 1 ьээ баэз Следователыю, зг„([вх х Ы) = пэ Л з'з(ьэ вэ).
Аналогично получим, что пз ([йл Х Ы) =- ззэ Л пэ ззэ (йз Х %а[) = пз Л пэ. В) Дифференциальные формы Пусть область Р лежит в И". Совокупность всех п-мсрпых векторов, приложенных в точке хзевР, называют касательным пространством в точке хз и обозначают ТР„. Каноническим базисом в ТР„является базис е,(хз), е,(х,),...,е (хз), где ез(х,) — вектор, коллинеарный вектору е; базиса еь ем ..„ е„ исходного пространства /с". Пусть /енС'(Р), Р~/(». Тогда дифференциал г//(хз) определен в каждой точке хзевР н является линейной формой б/(хэ) = — (х„) г(х,+ — (х ) г(хз+ .. + — -(х ) г(х„, д/ д/, д/ дхэ дхз дхэ 232 определенной на векторе смещения й=-- (дх,дх„..., Нх„) ~ ТР,, При переходе от точки к точке в области Р форма с(/(хо), вообще говоря, меняется. Таким образом, гладкая функция /:Р-~-Я, порождает поле линейных форм или 1-форм, определенных на соответствующих касательных пространствах ТР„, хенР.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
