И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Математический анализ в задачах и упражнениях (1111792), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Это, в частности, показывает, что лист Мебиуса нельзя задать как простую гладкую поверхность никаким способом параметризации. Так как в каждой точке гладкой поверхности имеются два и только два различных единичных нормальных вектора противоположного направления, то для ориентнруемой поверхности существуют два и только два ориентирующих ноля нормалей Ж~ и Уг, причем векторы этих полей в данной точке яя~5 взаимно противоположны. Для простой гладкой поверхности такими полями яву„Хг,'1 1 ляются поля Й,= п:а " ' и ~ги м го~ Ф,= п:и= О п р е д е л е н и е. Ориентнруемая поверхность с выбранным ориентирующим полем нормалей называется ориентированной поверхностью.
222 Ориентированную поверхность будем обозначать парой (5„ Ж), где М вЂ” выбранное ориентирующее поле нормалей. Не строго можно сказать, что выбор направления нормали определяет сторону поверхности. Поэтому ориентацию поверхности часто называют выбором стороны поверхности — отсюда термин «двусторонняя поверхность», Например, на сфере можно задать непрерывное поле внешних — направленных от центра— нормальных векторов или сказать, что задана внешняя сторона сферы; если же задать поле внутренних — направленных к центру — нормальных векторов, то можно сказать, что задана внутренняя сторона сферы. О п р е д е л е и и е. Точку з поверхности 5 назовем внутренней, если у нее существует такая окрестность У(з), что множество 0(з) ',5 несвязно. Точку з поверхности 5 назовем граничной (краевой), если для любой ее окрестности У(з) множество 1l(з) ',5 сняв~но.
Определение. Пусть контур Е лежит на поверхности 5. Если часть 5~ поверхности 5, для которой точки Ь вЂ” граничные, не имеет других граничных точек и является связным ограниченным множеством, то скажем, что контур Е ограничивает часть 5~ поверхности 5 или что поверхность 5~ натянута на контур 1.. Если незамкнутая поверхность 5 ориентирована, то для любого контура, лежащего на 5, определяется положительное (согласованное с ориентацией 5) направление обхода такое, что ограниченная этим контуром часть поверхности 5 оставалась слева при обходе контура по соответствующей стороне поверхности.
О п р е дел е н и е. Пусть незамкнутые ориентированные поверхности 5~ и 5з пересекаются по кривой Ь. Возьмем на 5~ и 52 контуры С, и Сз соответственно так, чтобы кривая Е или ее часть составляла часть как контура С„так и контура Сь Если положительное направление обхода контуров С~ и С, индуцирует на Е противоположные ориентации, то ориентации поверхностей 5~ и 52 называются согласованными. и Опр ед еле ни е.
Кусочно-гладкая поверхность 5 = (~ 5р,. д=! где 5,, 1(д Я,— простые гладкие поверхности, называется ориентируемой (двусторонней), если на каждой из поверхностей 5ч, 1(д(Я, можно выбрать ориентацию (5„Л',) таким образом, чтобы для любой пары 5о 5ь имеющей линию пересечения, ориентации были согласованными. Векторное поле Л', составленное полями М, (1(д(Я), назовем ориентирующим полем нормалей 5. Для кусочно-гладкой поверхности 5 ориентирующее поле нормалей определено и непрерывно на 5, за исключением, быть может, конечного числа кусочно-гладких кривых, лежащих на 5. Так же, как и для гладкой ориентнруемой поверхности, для кусочно-гладкой ориентируемой поверхности существуют два и только два ориентирующих поля нормалей У~ и Уь составленные взаимно противоположными векторами.
223 О п р е д е л е н и е. Пара (5, Ф), где 5 — ориентируемая кусочно-гладкая поверхность и У вЂ” выбранное ориентирующее поле нормалей, называется ориентированной поверхностью. Так же, как на гладкой незамкнутой ориентированной поверхности, определяется положительное направление обхода контура на незамкнутой кусочно-гладкой ориентированной поверхности. Любая кусочно-гладкая замкнутая поверхность ориентируема. При этом одна ориентация соответствует выбору внешних нормалей (внешняя сторона поверхности), другая — выбору внутренних нормалей (внутренняя сторона поверхности). Для указания ориентации (стороны) поверхности будем пользоваться следующей терминологией.
Для замкнутых поверхностей, как уже говорилось, определяются внешняя и внутренняя стороны. Будем считать это отпределение наследственным для любых частей замкнутых поверхностей. Например, внутренняя сторона полусферы — это сторона, соответствующая выбору нормалей, направленных к центру, Для эллиптических цилиндра и параболоида, двухполостного и однополостного гиперболоидов и эллиптического конуса внутренней нор.
малью считаем вектор нормали, направленный внутрь полости, и соответственно определяем внутреннюю и внешнюю стороны. Определения внешней и внутренней стороны также будем считать наследственными для любых частей таких поверхностей. Если (5, Ж) — ориентированная поверхность и косинус угла вектора и с осью ОХ не меняет знака для и~У, то назовем соответствующую сторону 5 верхней, когда соз(и, ОЦ ~0, и нижней, когда соз(и, ОХ)(0.
Аналогично назовем сторону поверхности (5, Ж) правой, когда соз(и, ОХ)>0, ияУ, и левой, когда соз (и, ОХ)(0, иен[Ч. В частности, если поверхность 5 задана явной функцией г=г(х, у), т. е. 5=(г:г(х, у)=(х, у, г(х, у)), (х, у) сиР), [г„хг ! ( — »»,— г, 1)! .г(х, у) енСт(Р), то поле М = и:и— ,~ зада- 1; х .„1 )/1 «,„+, ( [г,Хг! (г, »„,— 1) [г. Х г„1 ~/1 1»'~ 1 нюю стороны 3. Точно так же для поверхности Ь =(г: г(у, г) = (х (у, г), у, г), (у, г) ен Р), х(у, г) ен С' (Р) [г„Хг! (1, — к„, — х) [ [„х,[ У1+„+„ [г Хг»! [ — 1, к„, к ! 1~» Хг»1 Г/ 1 1»' 1„»'з 224 Пример.
Определим, внешняя или внутренняя сторона по>0). верхности 5=((х, у, г):х'+г'=2аг, г(а) является верхней (а> Р еш ен и е. Условие г<а показывает, что ориентирующее поле нормалей к 5, определяющее верхнюю сторону, есть /у=(л), л=( — х/а, О, (а — г)/а). Внешняя и внутренняя стороны поверхности 5 как части цилиндра ((х, у, г):х'+гз=2аг) определяются полем нормалей, направленных соответственно от оси симметрии этого цилиндра и к оси симметрии. Осью симметрии цилиндра является прямая г=а, лежащая выше точек поверхности 5, следовательно, вектор и=( — х/а, О, (а — г)/а) направлен к этой прямой.
Итак, верхняя сторона 5 — внутренняя (см. рис. 42). Рис. 42 Рис, 43 П р ни ер. Определим, правая или левая сторона поверхности =((х, у, г): х'=уи+гз, х>0) является внутренней. Решение. П оверхиость 5 является частью конуса хи=уз+ +г', следовательно, внутренняя сторона 5 определяется †( ), разленных внутрь полости этого конуса, г>О ол т. е. к оси ОХ. Такой вектор а=(п„а, и) в о (,, ) 5, должен иметь отрицательную координату и. Ото чаем, что о иенти ю и,. тсюда йолу- р ру щим полем нормалей внутренней стороны 5 является поле Л'=(и), п=-(1ф2, — у/х — / ). Т то вн т —, — у х, — г/х). ак как п,=1/22>0, нутренняя сторона 5 является правой (см.
рис. 43). Пример. Проверим, что сторона поверхности 5=((х,, г):х=а —, у, ): = сиз исоа о, у=аз!писоз'о, а=аз)п'о Ф ! 0(и( я, 0(о(и/2), определенная полем М= м = , †верхн. ~ ~.„ Х г„~ ~' 225 [г„Х г„[ Решение. Координата и, вектора а= " " равна [[г„хг [[ (х„'у,' — х,'у„') = 4а' соэ' о з[п в» О. [[г„х г„) [ ~ [г„Х г„Н Полученное неравенство показывает, что соответствующая сторона 5 — верхняя. П р и м е р. Поверхность 5 есть часть поверхности тела =((х, у, г): 2х'+2у'(аг(х'+у'+а'), удовлетворяющая условию у»0. Вектор нормали, определяющий ориентацию 5, в точке М= =(О, а/2, ба/4) образует острый угол с осью Ог,. Дадим характеристику ориентаций гладких поверхностей, составляющих кусочно-гладкую ориентированную поверхность 5 (а»0). Р е ш е н и е. Поверхность 5 состоит из части 5, параболоида ах=хи+у'+ах и части 5и параболоида аз=2хт+2у' (см.
рис. 44), Рис, 44 линией пересечения 5, с 52 является полуокружность хи+у~=а~, г=2а, у»0. Обе поверхности 5, и 5т заданы явными функциями 5,= ~(х, у, г):г= — (х'+у'+а'), х'+у'(а, уз О), ! а 5, = ~(х, у, г): г= — (хи+у'), х'+у'(а, у) 0), и Поэтому их ориентация характеризуется указанием — рассматривается верхняя или нижняя сторона соответствующей поверхности. Точка М=(0, а/2, ба/4) лежит на 5ь следовательно, на 5, задана верхняя сторона.
Чтобы определить согласованную ориентацию поверхности 5м возьмем на параболоиде ах-хи+у'+аэ контур /., составленный дугой АВ линии пересечения 5! с 5и и пара- болой ЛВо!: аг=х'+у'+а', у=а/2, а на параболоиде аг=2х~+ +2у~ — контур Ьм составленный той же дугой ЛВ и параболой 226 АВа~; аг=2хт+2уз, у=а/2. Координаты точек А и В находятся из системы: у=а/2, х'+уз=аз, г=2а, что дает А = (а 1/ 3/2, а/2, 2а), В=( — а)/3/2, а/2, 2а). На верхней стороне параболоида аг=х'+ +у'+а' — поверхности 5, — положительное направление обхода контура 1, индуцирует направление АВ дуги полуокружности х'+у' а', г=2а, д~ 0 — линии пересечения 5 с 5м следовательно, при согласованной ориентации параболоида аг=2хз+2у'— поверхности 5, — положительное направление обхода контура /.я должно индуцировать направление ВА этой дуги.
Оказывается, контур /, с положительным направлением обхода находится на нижней стороне параболоида аг=2хз+2уз. Итак, заданная ориентированная кусочно-гладкая поверхность 5 состоит из верхней стороны части параболоида аг=х'+у'+аз и нижней стороны части параболоида аг=2хз+2д' (х'+у'я 'аз, д~ 0). Пример. Найдем параметрическое представление окружности /.=((х, у, г): хя+д'+ге=аз, х+у+г=О), такое, чтобы направление ее оохода при возрастании параметра было положительным на верхней стороне плоскости х+у+г=О (а>0). Решение. Точка О=(0, О, 0) лежит внутри рассматриваемой окружности, следовательно, на верхней стороне плоскости вектор МО нз точки М окружности В в точку О идет налево от вектора т, касательного к окружности /. в точке М и направленного в сторону возрастания параметра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
