И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Математический анализ в задачах и упражнениях (1111792), страница 27
Текст из файла (страница 27)
зю Зв Вычислим отдельно каждое из трех слагаемых, пользуясь свойством 3. 1. Для 51 имеем, что зз- Р'1 7ЪУ7(*,'Рыю= д 4з, н, следовательно, и силу симметрии области интегрирования и не- четкости нодынтегральной функции Ц (х+у+г) з(5 = П (х+ у) сЫу= О. 3, и+з~~зай 2. Для 5з имеем, что х, г и 2 г„' = — — г,'= — — с(5 = )/'1-1-(г:,)'-1- (ф' з)х~(у = — з(хз(у г и, следовательно, Д(х+у+г)Н5= Д (, +а + 1) а)/2Ихдд зв а' з,з'+зэ~ЗФ = аззз ')/2 3. Для 5з имеем, что г,= — ° г„'= У, а5 =')/1+(г„')'+(г')зйхйу= у'2йхс(у и, следовательно, Д(х+у+г)а5=У2 Д (х+у+]гх'+у)г(хну= зв к*+у'~а' гя а — )г2] Фр ~ г'аг= =. 2 ° ЬГ2 з о з Итак, окончательно, Д(х+у+г)д5 = Пример.
Вычислим Цг'худ, где 5 — часть поверхности цилиндра х'+у'=2ах, лежащая внутри конуса у'+г'=х' и выше плоскости г=О (а>0). Р е ш е н и е. Запишем поверхность 5 в виде 5: ((х, у, г): х'+ у' = 2ах, у'+ г' (х', г) 0). Как уже говорилось раньше, наиболее простым и часто употреб- ляемым способом параметризации цилиндра с образующими, па- раллельными оси ОЯ, является следующий: х=х((), у=у((), г=й, (ела [а, Ь], И ев(т, где х=х(г), у=у(г), (ен [а, Ь] — параметрическое задание линии пересечения етого цилиндра с плоскостью ХУ.
В данном случае таким способом получаем пара- метризацию цилиндра: х = а (1+ сов (), у = а з(п (, г = й, ( ез [О, 2п], И ~н (т. Чтобы найти область 0 значений параметров ( и й, перейдем к переменным ( и И в неравенстве уг+г'(х'. Получим неравенство агз)п'(+Из~=аз(1+сов()г, или й' ='4а'соз(созз —. Последнее не- равенство показывает, что соз(>0, т.
е. (еи[ — л(2, и/2]. Итак, 5:(г=г((, И)), ( ~и [ — п(2, п(2], й ен [О, 2асоз — ]'соз(~, 2 г(г, И)=(а(1+созг), аз(п(, й). Отсюда получаем, что г',=( — аз1пй асозг, 0); г,',= (О, О, 1); Е = ( г',[' =- а' 6 = ! г,',! з = 1; Г = (г', г') = 0; а'5=]гЕΠ— гз уз~(И=СИИ. Следовательно, ~ гохуа = Д лвав (1+ соь /) ь!п' сас(/с(Ь = 3 о с ао сов — В сов / а л/а =ав ] (!+сов!)янам '] ЬЧЛ= -в/г о л/а — (1+ соь !) ь! и' ! 1бав соьв — соьа И! = 4 ) 2 — л/а л/2 и/а =ав ] (!+соя!)вь!па/сова/49=2ав $ [сова/ь(па/+ -и/2 в +3соь'!япа!+ 3 сов'! яп'!+сова 1яп*(] с(!= в [ Г (3/2) Г (3/2) 3 Г (2) Г (3/2) 3 Г (512) Г (3/2) Г (3) Г (7/2) Г (4) Г (3) Г (3/2) ] в [ бл 20 ] Г (9/2) ] [ Гб 21 П р и м е р.
Вычислим ]~ ..Л где 5 — поверхность, полученная при вращении дуги параболы х=асоьв !, у=а япв с относительно оси ОХ (а)0). Р е ш е н и е. Обозначим во избежание путаницы через хо (!) =асов'!, уо(г)=аз!пв! параметрическое задание кривой на плос- кости ХУ, а через х, у, г — координаты точек в пространстве ХУЛ. Воспользуемся выведенными раньше (при рассмотрении площади поверхности) соотношениями: если поверхность 5, полу- ченную вращением вокруг оси ОХ кривой хо=хо(!), уо. уо(1), !~[а, Ь], параметризовать следующим образом: х=х'(!), у=у" (/) соь/р, а=у*(/)япср, /~ [а, Ь], <рея [О, 2л], то асс ]/"ЕО Ра (/( / ! ] ( где /(з= у' (х/')а+(у,")а/(( — дифференциал дуги кривой х=х'(!), у= у' (().
В данном случае получаем, что 8=((х, у, г):х=асоьс/, у=аз!пс!соь р, г=аь(пв/яп~р, ~хт За (11 г о м 4Я=Др(х, у, г) ут(Я= Духот(В = 1 ! т а'-к' = Ц ау )(/аа — х' — у' с(хну = а ~ ( — (аа — ха — уа))а1' = 3 (о о о мм е = — ( (и' — ха)ма дх =— 33 3 о созе й(( = о аь) 1: Г (5/2) Г (1/2) нль Г (3) ~х'3 За Уо= — =— М 8 уй=Яр(х, у, г)хоЮ=Яхгас(я = = Дох 1/аа — х' — у' т(х1(у = —, 15 о ~й Зп ,го ма Фм М 8 ЗАДАЧИ * $1. Параметрическое задание кривой ь Все буквенные параметры в дальнейшем считаются положительными. 205 Написать какое-либо параметрическое задание в виде Е (х(С), у(т), (епТ) следующей линии (если кривая задана уравнением в полярной системе координат, то х и у есть координаты точек этой кривой в совмещенной декартовой системе): !.
отрезка АВ, соединяющего точки а) А(1, 2) и В( — 1, 3); б) А (2, 3) и В (3, 3); в) А( — 1, 2) и В ( — 1, 3). 2. части параболы у=х', соединяющей точки А(1, 1) и В(3, 9). х* де 3. гиперболы — — — = 1. и' Ьа 4 Ъ вЂ” +1;г — "=1 от точки А(а, 0) до точки В(0, Ь). т а 3' з 5. хггз+уз!з азиз 6. а) (х+у)згз (х — у)ггз азгз. б) 2(х+д)=(х — д)з. 7. азуз = хз (а' — хз) 8.
(у — х)'=а' — хз. 9. х' — дз+ху=О от точки А($/2!15, 2 дг2/15) до точки В(0, 0). 1О. х'= аху'+ау'. 11. х'=аху — ау'. 12. хз.з-уз=а'х'+Ь'у'. 13. уз(а — х)=х'(а+х). 14. г=асозс~. 15. г = а (1+ соз р). 15. г=асоз3<р. 17. г = ~, <р ) О. 1+ р з!пз ф сзз ф 19. (Хз+уз)з= 2ху. 20. (хз-(- уз)з = 2а' (х' — у').
Написать какое-либо параметрическое задание в виде 1.=(х х(г), у=у(1), г=г(1), (енТ) следующей линии: 21. отрезка АВ, соединяющею точки а) А (1, 2, 3) и В ( — 1, 3, — 4); б) А ( — 1, 2, 1 ) и В ( — 1, 2, 4)„ в) А(1, 3, — 1) и В(2, 3, 0). 22, а) х'+у' = Щ г= 2; б) хз+уз=Щ х+у=г. Л~ 23, а) х" +уз+гз=Яз, х'+у'= —, 'г~)0; б) хз + у'+ гз = Щ х+ у + г = 0; в) хз + уз + гз = Лз, хз+ уз = хК. у 2 24.
х'+У =сг, — = 19 — от точки А ~ — "зрг —. — зрг —. — ( х с (, 2 р 2 2 р б б до точки В(х„у„г,). 206 25. х' — уо=918го, (х — у)'=а(х+д) от точки А(0, О, 0)'до точки В(хо уо го) 26. хо-)-до+го=ао, 'д хо+до си ~агс18 — ") =а (г) 0) от точки х ! А(а, О, 0) до точки В(х„у„г ). $2. Вычисление криволинейного интеграла первого рода Вычислить криволинейный интеграл первого рода по указанной кривой Е: 27.
1 ', Е есть отрезок АВ, где А=(0, — 2), В=(4, О), д х — у 28. 1уаз, Е=((х, у):у=япх, 0(х(п), 29. ~(хо+у)аз, Е есть отрезок АВ, где А=(0, 1) и В=( — 2, 3). 30. ) хуана, Е есть контур квадрата, ограниченного линиями х~ -4- д = 1, х -+- у = — 1. 31. хдо(з, Е есть четвеРть окРУжности хо+Ух=1, хлежащаи в зтервом квадранте. 32. ~ уЧз, Е = ((х, у): у = опах (2 дх, 2х), 0 ( х '2). 33.
~ хоуо(з, Е=((х, у); х=4созЕ у=з(п 21, х~О, уоо0). 34. ) уо(з, Е есть дуга параболы д'=2х от точки А(2, — 2) до точки В(8, 4). 35. ~(х+д)сЬ, Е=((х, у):х=асозй у= аз1пд 0(Г(п12), 36. ~ (4хо — уо) с(з, Е = ((х, у); х = а созо Е у = а з1 по Г). 37. ~ 4хуаз, Е = ~(х, у): у = пни ( -" —, 1/2ао - — хо ), х ~ 0 ~, ~ а 38. ~ (хо + у')" аз, Е = ((х, у): х = а соз Е' у = а яп г). т 62. ~ уела, Ь = ((х, у, г), х'+ у'+ г' =- а', х+ у+ г = а). 63, ~'~Гх~+у аэ, Ь=((х, у, г):х= у гсов $~г, у= у г Яп у г) о'г Е точки А(0, О, 0) до точки В( — и, О, и').
54. ~ 1у~ Нэ, Ь=((х, у, г):х'+у'=г', х'+у'=ах). й 3. Механические приложения криволинейного интеграла первого рода 55. Найти массу участка кривой у=1п х, 0(х,~~х(хм если плотность кривой в каждой точке равна квадрату абсциссы точки. 56. Найти массу контура треугольника с вершинами А (О, 0)„ В=(3, 0), С=(0, 4), если его плотность в точке М(х, у) равна л д — +- —. а 57. Найти массу участка цепной линии у= — (е'и+е — ™), если а 2 плотность р в каждой точке равна й/у.
66. Найти массу полуокружности х'+у' Щ расположенной в верхней полуплоскости, если плотность в каждой ее точке пропорциональна кубу ординаты этой точки. 59. Найти массу дуги винтовой линии х=асоэ|, у=ба)п1, г=Ы, 0~1~~2п, если: а) плотность в каждой ее точке равна квадрату аппликаты; б) плотность в каждой ее точке равна радиусу-вектору точки. 60.
Найти статический момент однородной полуокружностн х'+у'=)т', у» О, плотности р относительно осн ОХ. 61. Найти статические моменты однородной дуги эллипса к' у' — + — = 1 плотности р, расположенной в первом октанте, ота' ь~ носительно осей координат (а)5). Найти моменты инерции однородных дуг Ь плотности р.
62. Ь=((х, у): х+2у=З, 1(х(2) относительно осн ОХ. 63. 1 =((х, у): у'=-х, 1(х<2) относительно оси ОХ. 209 64. 1.=((х, у): х' — у+1, 0 х(1) а) относительно оси ОУ; б) относительно оси ОХ. Ь вЂ” ломаная АВС, соединяющая точки А (1, 1), В (2, 3), С(4, — 1) а) относительно оси ОХ; б) относительно оси ОУ. В=((х, у): х= а сов!, у=па!п!, 0(((и) а) относительно 68 66 оси ОХ; б) относительно оси О)'. 67. Ь=((х, у): х=а(1 — а!п!), у=а(1 — сов!), 0 =1я и!2) относительно оси ОХ. 7.= ((х д): Ух+ угу=)/а, 0~(х(а~ относительно оси ОХ.
Е.=((х, д):хмг-~-у"г=ам' х>0, у)0) а) относительно оси ОХ; б) относительно оси ОУ. Е= ~(х, у, г): х=асоз1, у=аа!пС, г=, О(!<2п~ ы 2л 70. а) относительно оси ОХ; б) относительно оси ОУ; в) относи- тельно оси ОЯ. Найти момент инерции витка конической винтовой линии х=а!соа(л, у=-а!а!пл1, г==о!, 0(~я 2и с плотностью р=йг: а) относительно оси ОЛ; б) относительно плоскости ХУ; в) относительно начала координат. Найти координаты центра масс дуги однородной кривой Е, если 2!О 72. Е.=((х, 73.
Е= 1(х 74. Х.= ((х 75. В=((х, 76. ~=~( 77, Ь=((х, 78. Ь=((х, 79. Ь= !(х, 80. Е=. ((х, 81. Е=((х, 82. Е=((х, у): х~+у'=Щ х)0, у «О). у) ° д (ехм+г-к!'а) а (х (а ! у): у= — (е'1" +е-"и), 0(х~а~, 2 у): у' = ах' — х'). 1, ! д): х= — у' — - !и у, 1 «у(2~ у): х=а(! — а)п!), у=а(! — соз!), 0(((п). у): х=а(! — в)п7), у=а(! — соа1), 0 =!(2и), у): у'х+у у=у'а), у): хгм+дмг =аиг, у' «О), д): х'~'+д'~'=ам' х.-«0, у .О). у): х=асоат, у=аяп(, О(!(Я (0(~«2л). 83.
С.= ((х, у, г): х=а созС, уг аз1пС, а= бС, 0 =С ~2п). 84. С.=((х, у, г): х=е~ созС, у=с'з1пС, г=е', — со (С(0). 85. 1.= — ((г, ~р): г=а(1+соз р), 0 =ср(п). 86. В=((х, у, г) 1х'+у'+г'=а', 1у~ =х, а~О). 87. Найти координаты центра масс дуги винтовой ликиих = а соз С, у = а а( и С, и = 6С, О ( С ( и, если ее плотность в каждой точке пропорциональна аппликате. этой точки. 88.
Найти координаты центра масс дуги й= ~(х, у, г): х=а(С вЂ” сйПС, у=-а(1 — созС), г= 4аэйп —, О (С ~ ~2п~, если ее плотность в каждой точке пропорциональна аппликате. 89. Найти координаты силы притяжения однородной полу- окружностью массой М и радиусом СС массы сп, помещенной в центре соответствующей окружности. 90. Найти координаты силы притяжения бесконечной однородной прямой плотности р материальной точки единичной массы, находящейся от прямой на расстоянии Й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
