И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Математический анализ в задачах и упражнениях (1111792), страница 22
Текст из файла (страница 22)
51, ~дд зссв!и у У О вЂ” зз 3 )'2 зз 3 ~ ( ' у) У + ) (вх ~ / (х, У)(1У. О 4 Π— УЗ 2 52. ~ ((у ~ )( О а — У'З о — !'ав 2 2 а У аз зв Оа Увоз. /(в в)в" 4 (зв ! /(„в)з„ О а О а У аз )'4аз 54. ) ((х ( ' ')/2 56. а) !п —; б) !и —. 57. а) — агс162; б) —. 58.!п —. 23 23 1 2л 2+ ~с2 24 24 3 3 1 -(- )/3 59.
— — . 60. О. 61. †. 62. — . 68. 4. 64. и. 24 3 80 65. 4+я. 66. 9 — —. 2л а л а 67.' ~ ((!Р ) )1 (г, (Р) г ((г. 68. ~ (((Р ~ г(1 (г, (Р) ((г. О О О 2л а л/2 а соз О 69. ~ (1(Р ~ г~!(г, (Р)дг. 70. ~ (((Р ~ гр!(гв (Р)с(г л Π— лс! ° В задачах 67 — 96 /!(и !р) обозначает ((/ сов(р, г з(на/). 163 154 л аз1по л 1 71. ~ 4(ф ') г/1(г, ф)41«. 72. ~ 4(ф ~ «/2(», Ф)4(г+ о О в)п гр 2л 1 л/2 14сов Ф+41п Ф) + ~ дф) «~1(г, Ф)й. 78. ~ /1гр ~ гЯгг Ф)4(г. О о Зл/4 1/з!п Ф л/4 1/совгр 74. з, 4)ф ~ «)!(т, гр)й.
75. ~ взф ') г/'1(т, Ф)4(г. л/4 О о о л/4 1/соз Ф зз/2 1/в)п вр 78. ~ 6р )( «~1(г, зр) 4(г-)- ~ йр ~ «~1(г, ф)дг. о о л/4 О агсгб 2 1 л/4 2 з)и Ф 77. ~ Фр ~ г~!(г, Ф)дт, 78. ~ /(Ф ~ т)з(г, гр) 4(г+ вгс16 11/2) О о о л/2 2 соз Ф л/4 2 сов гр + ~ дф ~ т),(г, Ф)4(г. 78. ~ 4(Ф ~ «/в(». Ф) "т+ л/4 Π— л/2 О л/4 1/соз Ф л/2 2 сов Ф + ~ РЬр ~ «~1(г, гр)4(г+ ~ 4(ф ~ т)1(» Ф)4(' — л/4 О и/4 О л/4 2 сов Ф з/3 2 Ф 88. ~ 4(ф ~ «~1(г, Ф) йг.
81. ~ »/Ф ~ «/1(» Ф) б(т. — зг/4 1/сов Ф -л/з 1 л/6 1 л/2 1 82, 1~ 4(ф ( т/зз(Р' ф) 4(»+ ( Дф ~ т)1(тг Ф) 4(»+ — л/6 сов ЗФ л/6 О бл/6 1 7л/6 1 4(ф ~ «~1(г, гр)4(г+ ~ 4(ф ~т(1(т Ф) "т+ л/2 сов ЗФ бл/6 О Ззг/2 1 !1:г/З 1 + р,(Ф 1»Р (1, зр) 4)т-»- ~ бзф ~ «/з (т, зр) дг.
7л/6 соз ЗФ 372 О л/6 а 1'2 соз ЗФ Рп/6 а Р 2 сов 2Ф ( 4(ф ( г/' (т, ф)дг+ ~ 'Ф ~ ~ ( ' Ф)4(« — л/6 а бл/б а бл/16 2а в!п ЗФ 17л/13 2а в!п ЗФ 84, ') 4(ф )»/з (г, Ф) 41«+ ~ дф ~ г/1(» Ф) "т+ л71а а' !Зл/!3 а 29л/13 2а в)п ЗФ 2г/3 24(!+сов Ф) + ~ йр ~ «~1(г, гр)4(г. 85. ~ 4(Ф ~ «71(г, Ф)4(г.
Збл/!3 а -2л/3 а л/4 1/соз Ф л/2 1/з!и Ф 88. ~ ~р ( рв(т, ф)4(г+ ~ 4)ф ) г/1(т, Ф)41». О л/4 1 л/4 2 87. ~ Нф ~т/в(т, Ф)41«. агс)61!/2) 1 Л«4 ." 51п О ол«5 1 ВВ. ~ Фр ~ «Л(г, (р)«)г+ ~ «йр ('г(3(г, «р)а(г. о л«5 О и 25!» О л«2 2 сов О ЬЭ. ~ «(«р ~ т!"! (т, «р) «(г. 90. ) «((р ~ г)„(г, »р) «(г. л«2 о — л«'4 О л«2 а У»1п 2О«2 ол/2 а Ув!и 23«2 91. ( «(«р ) «~3(г, «р)«(г+'~ «(«р ~ т)»(г, «р)«(г. О О л О О 2«(сов Π— 5)п О) л«4 2/(сов о Ьз1П о) 92. ~ «(«р ~ «~3(г, «р)«(г+ ~ 5р ~ «))(т, «р)«(г.
— л!4 О О О л а (1-р»1п О) л«3 а«ОО 93, ) «(«р ~ т)3(г, »р)5т. 94. ~ «(«р ~ г~!(г, «р)«(т. О а О О л/4 2а соз О и 255(по 95. ) 0((р ) «Г! (г, «р) «(т+ ~ а««р ~ «1 (г, р) «(г. л/2 О л«4 О л«3 2а оп«3 2а 96 ~ «(«р ( «13(т, «р) «(г+ ( «((р ( г(!(т, «р)«(т. — л/3 оа (!',— сов О) л«3 а (1-р«оз О) 97. ляшп'. 98. л((1+а')!п(1+а') — ав).
99. Злаз(16. 100. ' — 'а'. 9 101. — 1(5. 102. - - а'. 103. — +-- 103. 104,', ', 105. —. 32 2 3 3 7 , 25)п2 )7 45 3 2 0 3 18 106. 3. 107. 215/22. 108. О. 109. — '(а о'5 — Ь вЂ” 5«5) (43«.! — РО«5). 48 1 10 ! (Ь» 4) ( !О () 13) 1 11 5(П РЬ вЂ” 5«П Ра 51и»(Ь вЂ” 5)П 43 40 р 112. 2 Ь. 113.;, ! а»ойв 114 2 117. Г(Р+!) Г(О+!)Г(т+1) 2! 840 с'5 )5 !' (Р+4+г+3) 118. — ла'. 119. —, ла'. 120. -- ла'. 121. — + 8 4 2 8 Ьз — ав а аЬ азйв и + а«018 — — —. 122.
—. 123. — аЬ(а'+ Ьз). 4 Ь 4 2 со 2 и азЬ 7л ав(,з 3 «а» и' 124. — —. 125. — —. 126. — лаЬ ( — + — ). 2 сз 512 с»о 8 й» й» 127. — —. 128. ( — + — ) аЬ. 129. — лай( — + — ~. и )»'2 азЬП и 1 2 « ав Ьз ( 2 « а' Ьв ) 15 св 2 !» Ив йз 3 (,й» йв~' 130. — аЬ, 131. — —. 132,— )2 10 й» 4йз а Ь И й !33. " ' (авйз+Заййй+352)!2). 134. — аЬ ( — + — ) .
8йз (ай»+ Ьй)з ( Из 166 135. аЬ "' . 136. ' лаЬ. !37. —, и =- 2й+ 1; (2а)! 2" (и!)' и ')/аЬ 4 в(п— 2а 139. —. 140. —. 141. —. 142. — (д — р)!п —. 2!О 60 !260 3 а 143. — (д — р) 1п —. 144. — (в/в — р')(Ь' — а') ! Ь ! 2 а 6 145 (дав р4м) (а-вм Ь-вм) 146 (а Ь) (с с() !2 3 !5 св ) (2 ~ Нв св 149. — (с' — в(в)!п —. 150. — (а' — Ьв)1~ )( ' " +агс(8 !.
5 Ь 4, (((+авК(+зв) !+аб! 151. — (~lд — )/р)((/г — у'д)()' г — )/р) ()/р +ф'г+ кд) ° 152. а) Зл. Указание; сделать замену х — '2у=о, 2х+у=и; б) 10л. 153. 32. 154. а'/18. 155. 1/6.' 156.. 157. — ав )/ 2ар . 24Ь 5 158. — —. 159. ла' Урд. 160. 1/8. 161. 4лав. 162. — (9л+10).
20 рч !2 163. ав(л/4 + 1). 164. пав/4Ь, 165. 16аЬ'/3. 166. 88/5. 167. 8/15. 168. 45лав/32. 169. пав ( — (3 )/'3 — 2 )/2 ) — — ). 170. л/вв/2а. 3 4 / 171. пав. 172. — —. 173. —. 174. (7а' + 5Ь'). (05 а !6 !40авд 175. пав/6. 176. 1/27. 177. 8. 178. — а'. 179.
—. 180. —. 3 2 ' (5 181. 4)/2 пав. 182. — (8и — 6 )/3 ), 183. — — (Ь' — а')Гв — (. 184, — а'. 185. а) — п(с — а)'! б) — и (с — а)'. 186. лаЬс. 187. 2лаЬс. 188. Объем части 3 тела, расположенного над и-м кольцом есть (8и — 6)аЬс. 189. л/4 аЬс. 190. —, аЬс. 191. (! — з' — ') (! — з' ') л' ' ' (Ь-!) (!-!)"-!Ь'-1 ' 192. — (1 — е — а'), !93..= . (! — е — "'), 194. (созл(вв— 4 9 1/3 (2л — соз ляв). 195.
(((а -ав! (ав -тв) ~- (ав. щв) (рв ав) ! 2св 262. —. 253. —; —. 254. — (44 — 9п). ЗМйк МЬк Мао М 4 4 4 Зб 255.; — Ма"". 256. — Мр'; — "- Мр'. 14 10 35 35 257. — Ма'. 258. Ма'. 259. —. 16 48„!п 2 260. /с ( — + — ); /с ( — + — ), где й — коэффициент пропорциональности.
261. —, 262. (3/4; О). ир34 8 ' 263. На осн симметрии сектора на расстоянии! — 64п(а/2) от вер4й За шины. 264. (13/8; 39/10). 265, (23/50; 2/5). 266.4(1; 12/5). 267. (1; 4/Зп). 268, (215; О), 269. (45,128 2?9/70) 270. (49/Зп; 45/Зп). 271. (О; 46/Зп). 272. (44/(Зп — б); 22/(и — 2)). 273.
(?а/12; 355/Зб). 274. (5а/8; О). 275. (25ба/315п; 25ба/315п). 276. (и/2+8а/9п; 5а/6). 277. (па; ба/6)..278. (па/8; па/8). 279. (4'$/Зла/27; 4 у'3 па/2?). 280. (Зла/54; Зи/7/64). к 2 )/2 акЬ 1 акЬк 1 ° 64 акЬ 33 осок 281. ( — —; — — ~ 282. Зи ск 4 со 1, 147и со 448 с' 2!126/ 5'53 292. /7! где 7 — гравитационная постоянная, 293.
—. б 294. — ао?оп(2с — /соаа); — ао?оп(2с+/соаа). 295. 7,а ( — и — — ), 296. а//'. 297. —, 298. —. З к 9 7 2 3) 2 36 299. — (1 — 1п2). 300. — (1 — 64п!)..301. О. 302. 2!пЗ вЂ” —, 8 2 3 1 1-к 1-к-к 1-О 1-к-„ 303. ~дх ~ с(г ~ /(х, у, г)с/у=~с/у ~ с/г '! /(х, у, г) дх= о о о о о о 1-О ! — к — С 1 1 — к 1 — к — к =~ с/у ~ Их ~ /(х, у, г)с(г=- ~ с(г ') ах ') /(х, у, г)с(у= и о о о о о 1 — к ! — к — о =- ~ дг ~ с/у ~ /(х, у, г)с/х. о о о 168 х х 1 1 у 304. ~ йх~ йг ~:~(х, у, г)йу= ~ йу ~ йх ~)(х, у, г)йг= о 1 у ! ! 1 к = ~ йу ~ йг ~ ((х, д, г) йх =- ~ йг ~ йх ~ ( (х, у, г) йу = о о о г г 1 1 1 1 4 — к 4 — х — г =~йг ~йу~~.(х, у, г);йх. 300.
~йх ~ йг ~ )(х,у,г)йу= о г у о о ,3 1 4 — к — у 3 4 — у 4 — х — у = ~йу ) йх ~' ((х, у, г)йг+У!йу 1) йх )У '((х, у, г)йг= о -! о з -'$ о 3 1 4 — к — г 3 4-г 4 — г х =~йг ('йх ~ ~(х, у, г)йу+ ~ йг ( йх ( ~(х, д, 2)йу= — о з о з а — у 3 а-у 4-у-г = ') йд ~ йг ! ~(х, у, г) йх+ 14 йу ( йг ) ~(х, у, г) йх+ о о о' з-у а а — у 4-р — г 3 а — г +') йу ~ йг ~ ~(х, у, г)йх=) йг ~ йу ) С".(х, у, г)йх+ а о 3 а †4 — у г 3 3 — г 4 — г-у +~ йг ~ йу ) С'(х, у, г)йх+) йг ~ йу )( )(х, у, 2)йх.
о з-г з о 1 1 р 1 2 2 — у 306. ~ йх ~ йу ~ ) (х, у, г) йг+ ~ йх ~ йд ) )' (х, д, г) йг = о о о" О 1 О г-г г — г = ') йх ~ йг ~ Цх, у, 2)'йу= ~йг ~ йх ) )(х, у, г)йу= о о г 1 2 — г 1 ! 1 р = ~йг ~ йу~~(х, у, г)йх= ~йу) йх ~~ (х, у, г) йг+ о г о о о о 2 1 2 — р ! у 1 + йу) йх ~ ((х, у,"гг) йг= ~йу ) йг ~((х, у, г)йх+ о о о о о 2 2 — у 1 + ~ йу ) йг ) ~(х, у, г) йх. ! о о 1 д х+1 з з— 307. ~ йх ~ йу ! ~(х, у, г) йг+ ) йх ') йу ') !'(х, у, г) йг= о Г о о о !+» з '2 З-х З = ~йХ ~ йг ~~(Х, У, 2)йд+~ йХ ~ йг 31! ~(Х, У, г)йУ= о о о о о 3 ! г а г з-г =~ йу ~ йг ) 1(хэ д, 2) йх+ ~ йу ) йг ) ((х, у, 2) йх= о о О 1 г ! ««1 з 2 3 — х = (, с(у ') с»х 1 С" (х, д, г) с(г+~.сд') с(х ~ С'(х, у, г) с(г= а а о а 1 О з 2 3 — «3 = ~ ссг ~ с(х ~ С(х, у, г) с)у+ ~ с(г ') с(х ~ 7 (х, д, г) с(у = а о о « — 1 О 1 3 2 з 3-« = ~ с)г ~ с)д ~ )' (х, у„г) с)х+ ~ с)г ~ с(у ~«)с (х, у, г) с(х.
а о а О «-1 Я к* 1 й' — к' Я Я» )~й*-к* 308. ~с(х~ с(г ~ )(х» д, г)с(у+ ~ с(х ~ с(г ~ )(х, у, г)с(д= о о о ) х — х' Я 1'й* — у' «'+у' = ~с(у ~ с(х ) с(х, у, г) с(г= а о о й у* )'й» вЂ” у* Я Я» )«й' — у' = ~с(у) с(г ') )".(х, д, г) с(х+ ) ссу ) с)г ~ с(х, у, г)с(х= о о о у )« — у» Я» )'«У Я» — к» Я» Я Уй» вЂ” « = ~ с(г ~ с(х ~ 7 (х, д, г) ссу + ~ Нг ~ с(х ~ 7'(х, у, г) ссд = о о а Я* )'* )'Я»-у й» Я )й» вЂ” у» = у)с(г ~с(у ~ ~(х,у,г)с(х+ ~ дг 2) с(у ~ )".(х, у, г)с(х. о о о,—, о Я ) й» у» й 1«й х у» 309. ~ с)у ~ с)х ~ )(х, у„г)с(г= — й )кй у о й й — уй' — х у й* — х' = ') с(х ') с(г ) 7(х, у, г)с(у+ — й о — у й» вЂ”.т» Я Я вЂ” 1 й'-х* — сй — х) ° + ~"' ~ (г ~ 1(х д г)Ф+ -я я-~4 — -к» вЂ” )«й'-х» Я Я ', )кй» вЂ”.«» + ) с(х ') с)г ~ 1'(х, у, г) с)у= Я вЂ” )сй» вЂ” х' у Я»-к» вЂ” СЯ-х)» й й — ) й» вЂ” у' У й'-у' = ~ с(у ~ с(г ~ )(х, у, г)с(х+ — Я о — У'Я* — у» Я й — У'Я вЂ” у» — сй — )» + ~ с(у ~ ссг ') 7"(х, у, г) дх + 170 й Я )сй» вЂ” ав + ~ йу ~' йг ~ Р(х, у, г)йх= я — )'й» вЂ” у» Уя уа — (й-«Я Й вЂ” Уя*-(я- )» )'я*-.
* =( йг ) йх ~ )(х, у, г)йу+ — й — у я» — «" я у я' — (я — )' — Уя» — («-й)' — ' + ~йг ~ йх ~ 1'(х, у, г)йу+ — У я» — (й-«) ' — У й' — аа й й Уя — « + ~йг ( йх ~ ~(х, у, г)йу-+ )'йа — (, я) Уя» „» й Уяв — (в — й)» у й' — «' + ~йг1 ~ йх ~ 1(х, у, г) йу= ) у» — («-я)» у й' — («-Й)' — «' Й вЂ” Уя' — (й — а)» у я»-у» = ~с(г '~ йу ~ )(х, у, г)йх+ о — я — )' Я» — у» Я ) Я» — (й — ) ° — уяв — ( — я) -„ + ~йг. в) йу ~ )(х, у, г)йх+ — Уу» — (я — *)а — Уй» вЂ” ув Я УЙ» — уа + йг ~ йу )у 1(х, у, г) йх+ УДЕ:с(«-й) ° у яа уа й Уй» вЂ” 1« — йу У я»-ув + ~й~ ~ йу ~ )(., у,.)й.
— )ся» — (.— Я)» у я» — ( — й)* — у» й у й» вЂ” «' ) й» вЂ” «»-у» 3!О. ~ йх ~ с1у ( 1(х, у, г)йг= — й Уяа о й Уй~ — у Уй — «~у* = ~ йу ~ йх ~ 1'(х, у, г)йг= — й — у"я — у о й Уйв — «' Уй' — «* — у» =- ~йг ~ йх ) 1(х, у, г)йу= у"Дв «а Уяв « ув )'й» вЂ” ' у я' — «' — «в йх ') йг ~ с (х, у, г)йу= — й о у'я» «в «в у яа — уа — аа .
~ йу ~ йг ~ 1(х, у,г)йх. — Уяа ув а 171 В дальнейшем во всех примерах, где делается замена х =х(и, п, в), у=у(и, и, си), г=г(и, и, си), через «'(и, о, ш) обозначена функция 1'(и, и, си) = с (х (и, и, ш), у (и, и, ис), г (и, и, со)). Н 2л Я и я гл 311. ~с(г ~ дф ~«('(«, ф, г)Н«= ~с(г ~ «ст« ~ )*(г, сР, г)с(ф= о о о о о а гл я и 2л И Я = ~ с(ф ') «с(« '1 с" («, ср, г) с(г = ~ Йр ~ с(г ~ ««' («, ф, г)с(« = О о о я И 2л я 2л Н = ~«сс«~ с(г ') )*(«, ф, г) с(ф=~«с(« ~ с(ф ) )'(«, ср, г)с(г. о о о О О О Н гл 42 Н Ол 2л 312.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
