И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Математический анализ в задачах и упражнениях (1111792), страница 18
Текст из файла (страница 18)
ченная связная компонента множества ((х, у): ср,(х, у)'- О, 1=1„ 2, ..., и), если условие на 0 задано в виде ср;(х, у))0, с'=1, 2, ..., п. 1. 0 — треугольник с вершинами 0(0, О), А(0, 1), В(1, 0). 2. 0 — треугольник с вершинами 0(О, 0), А(1, 1), В(1, — 1). 3. 0 = ((х, у): х' + у' ( х). 4. Р=((х, у): ха+уа)1, 0(у<1, 0(х 1).
3. 0=((х, у): !х/+1у/ (1). 6. 0=((х, у): ха+уа) 2х+2у — 1, 0<х<1, 0<у<1), -1. о ' Величина интеграла ) е а» соа Ьхо» находится ме«адам днфферештярое вания яо параметру. *' Все буквенные параметры в дальнейшем считаются положительными. 127 7. В =- ((х, у): х' + у' ) 2х + 2у — 1, 1» х» 2, 0» у» 1).
8, Р=((х, у); 0»у '1~х, у) О, х) О, у — 2х»0, у — 1,'2х~ О). 9. Р = ~(х, у): д )х', у — хь+ — ) . 1 ! 1 2 2 1 10. Р= ~(х, у): у) х', у» — х'+ —, у) — х'+ —, х)0~. 1 л 1 1 11. Р=-((х, у): х'+у'. «1, (х — 2)'+у!) 1, (х — 2)'+(у — 2)7) 1, хзт(у — 2)2) 1) 12. Р =- ((х, у): х'+ у'»4а', (х — а)'-1-у')а', (х-1-а)'+у!)а'). 13.
Р=(х, у): х'+2д'(8а', х' — у')2а'), М(2а, 0) еиР. 14. Р=((х, у): х'+2уа»16а', х' — у!»а'), 15. Р ограничена линиями 2х=а(пуп, у=(1+х)', у=-О. 1 16. Р ограничена линиями х=соа7ту, у' — — — х=-О. 4 17. Р ограничена линиями х=1у), д'=-4(х — 1), М(172, 0)~Р. 18. Р ограничена линиями у= ~х~ — 1, у=соя(их/2). 19. Р ограничена линиями (х — 1)'+(д — 1)'=1, х'+'у'=1, у=-0.
20. Р=((х, д): х'-'у'»а', (х — а)'+(у — а)'»а'). 21. Р=((х, у): х — у — 1»0, х+у — 1 О, у!»2х+Ц. 22. Р=((х, у): (х+1)'+у') 1, (х — 1)'+у!) 1, 0»у» 1). 23. Р=((х, у): х'+у')а', у'»а' — ах/2). 24. Р=((х, у): у'»х+2, у) х). 25. Р=((х, у): (х+1)'+(у — 1)') 1, х-1-у — 1»0, у)0). 26. Р=((х, у): х'+у'»1, х-1-у — 1»0, д) 0). 27.
Р=((х, у): х'-1-у'»1, х+у — 1»0, х+у+1)0). 28. Р=((х, у): — х '2у»х, х' — у' 1). 29. Р = ((х, у): х'+ у' » 1, (х + 1)'+ (у — 1)! ) 1, у ) 0) . 30. Р=-((х, у): у! 2х — 4, у')4х+4). Переменить порядок интегрирования в следующих интегра. лак: а « 31. ~ 7(х ~ ( (х, у) 7(у. о о" 4 7 х 32, ~ йх '! ((х, у)7(у. ! — к+! б х — 1 33. ~()х ) )(х, у)(зу, О 29 — 1 1 х' 35. ~ (зх((х, у)((у. о 1 сав(ду(г) 37. ~ (у ~ Кх, д) П . О !+У 2 «+2 х ~ )(х, у)((у. — 1 хв 1 2+ )~1 — 6У вЂ” У' 41, ')' ((у ) 7' (Х У) ((Х.
— 1 2 — У7 — бу — У' 34. ~ ((у ) )'(х, у)((х. 4 — гу' 1 29 — у' 36. ~ ((у ~ ~(х, д)((х. о о 2 (х-1) ' 38. ) дх ~ У(х У) "У. о о 2 ЗУ.« 40. ~НХ ~ )(х, У)дд. О Уг — „„в 1'З вЂ” у* 42. ~ ((у ') )с(х, У)5(х. 1 — У' г 1 У з 1 43 ~((д ') о 1 1 — ув ув 9 9 з 9 !Π— У 44. 4) 5(У ) 1(~' д) ((~+ ~ 9)у 9)у Уз 72 о 45 ~ "У У вЂ” У 2 72 2 1' 5-х' 46. ) («х (к — 1) ' зп)4 в!п х к в!ах а а-(-1 аа х* 53. ~()х ~ )" (х, у)((у. о 1 2ах-х' 1' ав )(Х, д)((х. о 48. ~ ((х ~ ~(х, у)йу а)4 сав .в 50.
( ((х ~ )(х, у)ду. о о а )'2ах-ха 52, ~ ((х ~ ~(х, у)((у, а)2 о ) а 54. ~ ду ~ ~(х, у)НХ+~ йу О 1 а* — гау а)2 гав!(ав+хв) 47. ~ ((х а 4а —.— асс!И ~ — ~ х З вЂ” гу 40 ~ ( ~ 7(х, д)((х. О 1'у З 1' 25 — Ув 51. ~ ((у ~ 7' (Х У) "х' У 9 — у' а а — Ум — у' О ы 55. ~з(у ~ )'(х, у)дх+) ду ~ ((х, у)Нх+ зчза О дЬУди М ыУГ 2а + ~ ду 1 )(х, у)с(х. О ммО Вычислить интегралы: з х'-1 : 1х1+1у!(1). 1х) + ~у~з-'1).
62. Д хуйхт)у, где область Р ограничена осями координат и крив вой х=асозз1, у=аз)пз1, 0(1(п)2. 63. Ц((х]-)-[у))дхз(у, где область Р есть квадрат с вершинами Ъ О(О, О), А(0, 2), В(2, О), С(2, 2). 64. Язеп(хз+уз — 4)дну, где Р=((х, у): хз+уз(9). 65. Ц у' ~х — уз! з(хну, где Р=((х, у): )у~(1, 0(х(2). о 66. ) '1 1хз+уз) охду, где Р=((х, у) .
"х+у(3, х)0, у) О). и В двойном интеграле Д ~(х, у) з(зт(у перейти к полярным коордии натам г и З~, полагая х = г соз ~р, у = г з1п Ч~, и записать интеграл в виде и. вин ~ йз 1 у(г, ср)дг. ч'а о им 130 56. а) ~дх~ з б) ~дх~ з 1 1 хдз .1 1 11+ „з+ „~)з~з о о 60. ~~хзузйпу, где Р= — ((х, у) о 6! . Д хЧхг(у, где Р = ((х, у): 1 з 57. а) ~дх~ з о б) ~з(х~ о о ! ! — к 59. ~с(х ~ худу. 67. Р=((х, у): х'-~-у'~(а').
68. Р=((х, у): х'+д'(а', у)0). 69. Р=((х, у): х'+у'«а', у(0). 76. Р=((х, у): х'+у'(ах). 71. Р= ((х, д) . хй+у2 (ау), 72. Р=((х, у): х'+у'(1, х'+(у — 1~2)') 1~4). 73. Р— треугольник с вершинами 0(0, 0), А(1, 0), В(0, 1). 74. Р— треугольник с вершинами 0(0, 0), А(1, 1), В( — 1, 1). 75. Р— треугольник с вершинами 0(0, 0), А(1,0), В(1,1). 76. Р— квадрат с вершинами 0(0, 0), А(0, 1), В(1, 0), С(1, 1). 77. Р= ~(х, у): х'-1-д'<" 1, у — 2х(0, у — — х»О, х~) 0~ 2 78.
Р = ((х, у): (х — 1)Я + у' ( 1, хЯ -+ (у — 1)Я ( 1) . 79. Р=-((х, у):(х — 1)'+у'~1, 0(х(1). 86. Р = ((х, у): ( — 1)'+ д' ~ 1, 1 ~ х ( 2). 81. Р=((х, у):(х — 1)'-)-у'(1, х'+у')1). 62. р — область, лежащая внутри окружности х'+у' 1 и вне кривеН «сов З~р (системы совмещены). 63. Р— область, лежащая вне окружности х'+ут=ат и внут- ри кривой (хт 1-ут)г 2аз(хг ф) 84. Р— область, лежащая вне окружности х'+ут=а и внут- ри кривой «=2а я)п Зр (системы совмещены). 85.
Р— область, лежащая вне окружности х'+у~=аа и внут- ри кривой «=2а(!+соя~) (системы совмещены). 86. Р =((х, у): хЯ - у') 1, 0 'х ~ ~1, 0 (д ~(1). 87. Р= ~(х, у): 1 ~(хт+д'(4, у — х(0, у — — х)~0~, я 88. Р = ((х, у): ха+ у' ( 1, хт + (у — 1)т 1).
89. Р=((х, у): х'+(у — 1)' ~1, — 1 (х(0). 96. Р=-((х, у):(х — 1)'+у'(1, у+х~~О). 91. Р --= ((х, у): (х'+ у')' ~ а'ху). 62. Р=-((, д): ~ — 1~+ )М ~1). 93 Р ((х у). аз(хо+ди~~а(у+Уха+у~)) 131 94. Р= ~(х, у):хв+уе ( — У (За', х) О, у~О~. 95. Р = ((х, у): х'+ у' ( тах (2ах, 2ау)). 96. Р=((х, у):ппп(а(у'х'+у'+х), За('у'у'+х' — х)) ( хв, ув '4а'). Переходя к полярным координатам, вычислить интегралы".
97. ~~ его(х'+у')ахну, где Р=((х, у);х'+у'(а'). Ъ 98. Ц !п(1+х'+у') ахну, где Р=((к, у): х'+д'(а'). о 99. Я г!хну, где Р=Цх, у):х'-(-у'(ах). о 100. Д'Ргх'+д'г(хну, где Р=((х, у):х'+у'(ау). и 101. Д у'~/)7' — х'ахи, где Р=((х, у): к'+д'(/7'). в ы~~~У г Р (( ).хв ! да~~ах) в Ввести поные переменные и и о и вычислить следующие интегралы: 103. Ц(х у'+у )дну, где Р=((х, у): !/х~у-. 2/х, х(у(Зх).
в 104. Д ( +"! Ыхду, где Р=((х, у):1 — х( в (у -'3 — х, х/2 ~у(2х). 105. Я (х'+у')ахау, где Р=((х, у):х'(у( Зк', в 1/х ~ 2у (3/х), 106. ~~ху(х-!-у)ахну, где Р=((х, у): — 1 ~х — у(1, в 1/х(у -2/х). 107. Ц х'г(хдд, где Р=-((х, у):х' -'у -'2х', х« 2у(бх). 132 108. ~~ ху(х+у) с(хс(у, где Р=((х, у):х — 1<у -х+1, о — х — 1(у ( — х+1). 109, ~бахус(хс(у, где Р=((х, у): ах'~<у ~(Ьхо, рх< у'<с)х), 110. Д хусЫу, где Р=((х, у); ах'(у'(Ьх', ах(у(5х). о 111. Я """ху с(хс(у, где Р=((х, у):ау(х'(Ьу, рх(уо(дх). о !!2. В ))( у —, у — ШЫу, ! !! ! 1' ° У ь) ограниченная параболой оуг — + туг — =1 и осями координат. Гх Гу 1' ь 113.
Вычислить Ц хус(хс(у, где Р— область, ограниченная о г х' у* ~о х'у петлей кривой ~ — + — ) = —, находящейся в первом коордв~у ь) Р натном угле. 114. Вычислить Я 1/ )Гх ( (Гус(хс(у, где Р обласгь, огранив ванная осями координат и кривой 1!х+)!у=1. 116. Доказать, что с ~ ~ су (х+ у) х» с у» ! с(хс(у = В (р, д) ~ су(и) и»+» — ' с(и, о о где су(и) — непрерывная на 10, 1) функция и Р есть треугольнин с вершинами 0(0, О) А(1, О), В(0, 1). 110. Доказать, что о/2 х/2 а!2 ) соз(2гз1п!рз(п0)с(!ус(0 =~ ~ соз(гз1пЛ)сГЛ1. о о о 117. Вычислить ~( х»у»(1 — х — у)'ссхс(у, где Р есть область, ограсг»о, »>о, »о] виченная осями координат и прямой х+ у=1. 5 2. Вычисление площади плоской области Переходя к полярным координатам х=гсоз!у, у=ге(псу либо пбобгденным полярным координатам х=аг соз" су, у=Ьг з(п" ср, вы° вслить площадь области, ограниченной следующ!нми кривыми: 118. (х'+у')'=2ах'. ! ! О.
(»2 ( у2)х ав (»4 + уа) !20. (х'+у')'= 4а'х'у' 121. к'.(-у'=ах, х'+у'=Ьу, М ( —, — ) ~ Я. ~2' 2/ ~ а' ь' !24 (» ( У ) х ~ а' ь' / й~ и 127. — "+--"-'= "'" ь1 с~ ь4 лв Гя !зо. ( — + — ) = ' —, у=о. ьх у~~ .т у (а ь) а ь 13!. ~ — + — ) = —, С х у ~х х" ь) ь х у х у !З2. ~ — + — ) = .—, у=О. ь/ ь (х у 1~ х' у' !зз. ~ — + — ) = — —, у=о. ь/ ь' у ~х х~ уз !34. ( — + — ) — — + —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
