И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Математический анализ в задачах и упражнениях (1111792), страница 21
Текст из файла (страница 21)
х=О, х=а, у=0, у=Ь, г=О, г=с относительно осей координат. 429. у= )/х, у = 2~/х, г = О, 'г +х = 4 относительно осей координат. к' у~ , Р 430. — -1- — --, '— .=- 1 относительно осей координат. а~ Ь~ с~ 43!. х'+уг — ах==О. г'= 2ак., г=-0 (г>0) относительно осей координат. 432. г= — (у' + х'), г .= 1 относительно оси ОХ, 1 2 433. х+ у + г = 2, г = О, х'+ уг =- 2 (г ~ 0) относительно оси ОХ. 150 434. х'+у' — сг, г=-с, относительно оси ОЛ. 435. — + и-+ — ==1, х — -О, у — -О, г — 0 (х' сО, у) О, г~~О) а Ь с относительно оси 02.
436. ~ — )ь ' +( — ) +( — ) =1 относительно оси 02. а (,Ь),с) 437. х'+у'+гс=)с',х'-1-у'=г'1дса(г)0 хг-~-у' гс(8'а, а -л!2) относительно оси ОЛ. 438. х'+у'+г'=3, х'-1-у'=2г, г)0, относительно оси ОЯ. 439. (х'+у'+г')'=-а'г относительно оси ОЛ. 440. (х'+у'+г')'=Зхуга'(х)0, у) О, г) 0) относительно оси Ог. 441. Найти момент инерции однородного тсла плотностью р, ограниченного поверхностью тора х=(а+геохи)созе, у=(а+ +геохи)з1пп, г=гз1пи, 0«г«Ь«а, 0«и«2л, 0«п« «2п, относительно осей координат. Найти момент инерции относительно заданных плоскостей однородного тела плотностью р, ограниченного заданными поверхностями 442.
х'-(-у'=й'г', г =-- й, относительно ХЛ и ХУ. 443. аг =а' — х' — у', г = 0 относительно ХЛ и Хг'. 444. — + — "+ — '=1, х=О, у=О, г=0 (х~О, у)0, г)0) а Ь с относительно г'Л. 445. (х'+у'+гг)'=-а'ху, х~О, у)0 относительно ХУ. 446. а'=х'+ у'+г', 5'= х'+ у'+ г', х'+ у'= г', г ) 0 (х'+ у'« «г') относительно Хг'. 447. х'-~- у' -1-г' = 2аг, х' +.у' =Зг' (х' +у'«Зг') относительно ХУ. 448. Найти момент инерции однородного прямого кругового конуса плотностью р, радиус основания которого равен сс, а высота равна Н относительно его оси.
449. Найти момент инерции однородного шара массой М и радиусом Я относительно точки на его сфере. 450. Найти момент инерции относительно начала координат тела, ограниченного поверхностями ха+у'+г" =4, у=О, у=х/'$ГЗ (х О, у 0), если плотность в каждой точке обратно пропорциональна расстоянию от начала координат. 151 451. Найти момент инерции относительно оси симметрии кру гового конуса, если высота конуса — Н, радиус основания — ЯЬ плотность в каждой точке обратно пропорциональна расстояникь от этой точки до оси симметрии конуса. Найти координаты центра масс однородного тела, ограничен ного поверхностями 452. г = О, х'-,'— у' = 2х, г = хх -1- у'. 453.
аг = а' — х' — у', г = О. 454. х+ у=1, г=х'+у', х=О, у=О, г=О. 4ББ. х'+у'+гх=1сх, х=О, у= — О, г=О (х>0, у>0, г>0). 456. х'+ух=Зг', г=н. 457. — = + —, — + — =~ 1, — — — =ь1, г=О. х~ у~ х Ь х у с а1 Ь~ а Ь а Ь 458. — + —" + — ' = 1, х = О, у = О, г = О. а Ь с 459. г=х'+у', 2г=х'+у', х+у= ь1, х — у =ь1. 460. ~ — ) +~ ~ ) +~ — ') =1, х=О, у=О, г=О (х' »О, у>0, г> О, сс«п/2). 461. г'=ху, х=а, у=Ь, г=О (г>0). 482. х'+у'+г'=а', х'+у'=-а(а — 2г), (х'+у'(а(а — 2г)). 463. х'+у'+г'=а', х'+у'=г'18'сс, (г>0).
464. (х'+ у'+ гх)' = ахуг (х > О, у > 0). 465. (х'+у'+гь)ь= 486. х+у+г=2а, х=а, у= — а, х=О, у=О, г=О. 467. х'+у'+г'=За', х'+у'=2аг, (х'+у'(2аг). 468. х'+у'=г, х'+у'=2г, ху=1, ху=4, у==х, у=2х (х>0, у>0). 470. Найти положение центра масс однородного шарового сег мента плотностью р, радиус основания которого равен гь, а высота равна Ь.
152 480. Найти объем части и-мерного шара М=(х=(хмх„...,х„):хог* +х',+... +хо(ао, х'+хо,(Зхо о, х зО), (и >2). 481, Доказать равенство ((енС(О, х]) .х х~ х х -1 х ~ о(х, ~ дхо... ) 1(х„) о(хх =- ~~(и) о(и. о о 482. Доказать формулу Лнувилля Ц...~ 1(х,+х,-„...+х)х', 'х',-'„,х„'='ах,...(х„= «,>о,,>о,...,х„~о, х'+"'+" '+хх 1 г(р,) г(р,) ...г(р„) ( „+„+ +, Г и и о где 1'(и) — непрерывная функция, р;>О (1=1, 2,,а). 483.
Вычислить потенциал на себя однородного шара радиу- сом 1г и плотностью ро, т. е. найти интеграл Ро ЦДД о(ххоухогхоххоухохх 2 2 о ххл х1+о1+г~~яь хо+о,+хо<я* 2 2 2 где гьо = у(х, — х,)'+ (у, — уо)о+ (г, — го)оь 484, Пользуясь формулой (5~ =-) ~/)де16! о(и, о где 5=-(г: г(и), и~Р), г:Я'-х-)с" (й(п), Рс:Р», область Р жорданова, б — матрица Грамма (б=(дц), дп=(г„,г„, найти площадь поверхности и-мерного шара: х М =- (х =- (хо х„..., х„): 1 ' х', ао~, 5 1О.
Несобственный кратный интеграл Исследовать сходимость интегралов 4 д мп (х'+ у') (хх -(- ух)х 488. ~Я и ?Ь?(у. кк+у'<1 487. О " ' г)х?)у (р' О, д О, г «О). )к)Р+ )У1'7+ 1?(г 14+ЬЬЬ~?'.< ~ — ?<?<к,к~О 489 Я ~.(?*+У~+?*) а™УЛ? 1?'-1- у'-~- ?к)к о 0 = ((х, у, г): х + у+ г ) 1, х ) О, у О, г ) О). 499 ('(' (х+ у+?) Ыкоуа? . ~('(' ),) (ху — , 'у?+?к) у ??+у?+?к о Р=((х, у, г):х+у+г) 1, х(0, у'- О, г) О). 491. Я + У ' ?)х?(удг, о 0= ((х, у, г): )х) + )у) + )г! <„1), 0 = ~(х, у, г): х'+ у?+ г' ( к?+у 1' Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость 493.
Я вЂ” ?(х?(у, 0=((х, у):х 1, — 1(у< 1). о 494. () У Их?(у, 0=((х, у):х~1, — 1(ху< 1). к 495. ~ ( ~(ХЫу, 0 = — ((х, у): х > О, у > О, х+ у > 1). о 496. Ц~ " ?(ХИу, 0=((х, у):х>0, у)0, х+у)1). О 497. 1( =?(х?(у, 0=((х, у): х>0, 0(?у<1).
.).) УУ 155 ау — часть тела, полученного при вращении трактрисы х а(!п1дф2)+сов(), у=па(п( относительно оси ОХ, лежащая в $ оптанте (х>0, у>0, г>0). 612. ~Ц~ Ухуе'Ух/7х/(У/(г, 1/=((х, У, г): У>1, г>1, 6 0(хуг(1). 616. Д~ "",("+,"",;), (х(убг. 614. ДГ "" (" "+ '), 4(~4(уа(~. ,) (ух+ ух -1- «х)2/2 4!4, Я )/14 ",«',4 — ", «*«д««у !/, х, 1: '4«'4- /2 + г'(1). ОТВЕТЫ 1 1-х 1 — у 1.
~ 4(х ~ ~(х, у)уу = ~ 4(у ~ ~(х, у)дх. а а а ! х а 1 1 2. 14(х ~) (х, у)4(у = ~ 4(у ~ )(х, у)4(х +~йу~ ((х, у) 1с. а — ! — у а у 1 Ух — «« 1/2 1/2+У 1/4-2' 3. ( 4(х ~ ((х, у)4(у = ( уу ( /" (х, у)4(х. а -1'х — «« 1/2 — У 1/4 — у« 1 ! ! 1 4.
~4(х ~ )(х, у)а(у = ~4(у ~ )(х, у)4(х. а у —,',; а а «+! 1 — х а „+! 6. ~Нх ~ 1(х, У)6У+~4(х ~ ~(х, У)4(У = ~ф ~ )(х, !/)Л 1- — ! — « — ! а — ! у ! ! — у + 1 4(у 1 /' (х, у) 4(х. а у-! ! — У~ — !х- П ! — У'1-!у- П* 6. ~4(х ~ ~(х, у)6у=~4(у ~ )(х, у)4(х. а а а а 2 1 — У ! — !«-1)' 1 2 7 147 ~ /(х, у)4(у=14(у ~ /(х, у)4(х. а 1«у! ! — и« 167' 1/1 2 2х У2 1/х У2/2 2у 8. ~ ((х ( / (х, у)((у + ~ ((х ~ )' (х, у)((у = ( ((у ( /(х, у) ((х+ О х/2 1/Уг х/2 Уг !/у + 1 ()у ) /(х, у)с(х. у г /г ы/2 х'/2+1/г !/г 9. ~ ((х ) /(х, у)()у = ) (гу ~ )(х, у)с(х+ — 1 х* о у„— 1 — У2у — ! У'у + ) (Яу ~ ) (х, у)()х + ~((у ~ /(х, у)((х, 1/2 у'ы у'гу — ! 1/2 1/2+ха/2 1 1/2+кй/2 $0.
( ((х ( /(х, у)((у+ (((х (' ((х, у)((у = О 1/2 — хл !/2 х' 1/2 Уу 1 )у =~ (у ~ 1(х, у)а + ~ (у ) ~(х, у)(х. 1/4 У !/2 — у 1/2 ! 2 — У! — х' г 2 — У) — (х-г)* г!. ~((х ~ / (х, у)((у + ~()х ~ 1(х, у)()у = У! —.Я* 1 1 — (х — 2)* 1 2 — У'1 — у* 2 2 — У 1-[ы — 2)* = ~ду ~ /'(х, у)(гх + ~ с(у ~ )(х, у)((х. о !/! 1'! — (ы-2) л о — 1 а' — ( 4-ар О 1'Яа" — л" Их ( ~(х, у)((у+ ( ((х ( /'(х, у)Ну + — 1' Яа' — х' У а*-(х-)-а)' 2а — У а' — (х-а) ° 2а 1' 44'-х* + ~ с(х ~ )'(х, у)((у+ ~ ()х ~ /(х, у)()у = Π— !" 4а' — х' о у', ( ) ° — а 1 4а — Ыл а — а — У а" — у' ((у ~ 1(х, у)(й + ~ ((у ~ /(х, у)((х+ — 2а !/яаз ° а у я л а а — 1 а~ — уа а 1 4а' — у' + ) Йу ') /"'(х, у)()х + ~ ()у ~ /" (х, у)()х + — а+ Уа'-у» а+ У а*-у' 2а У 4ЯЯ вЂ” УЯ + ~ ()у ~ /'(х, у)(гх.
— У 4а* — у' 3БЗ Е 1- )'1-(к+ц 1 1 — к 23. ~ 4(х ~ ~(х, у)ду+ ~((х ~ ~(х, у)4(у = — ! о о о 1 1 — у ~4(у ~ )(х, у)((х. О !4.У!' 1 .1)* О )/1-." 1 1 — х 26. ~ Их ~ /(х, у)ау+ ~ дх ~ /(х, у)о(у = о 1 1-у = ~ ((у ~ /(х, у)дх. О 71 ух у ):к* 1 1 — к 27. ~ 4(х ~ )(х, у)((у+ ~ ((х ~ )(х, у)с(у = — 1 -к — ! Π— )'1 —.ха О 7'! — //' 1 1 — у = ( йу ( /" (х, у)дх+ (йу 1 )(х, у)йх. -)-у 1 кх'2 2/) З (4.)а 1 /(*, х)444 ) х* ( )(*. 4)444 -х/2 1 — х/2 2/72 х/2 о )'!+у + ~ о(х ~ /(х, у)()у = ~ с(у ~ )(к, у)с(х+ 1'к':! — !/)/з — 22 1/УЗ У) ).у + ~ ((у ~ /(х, у)дх.
о оу О 1 — ) ! — (х+И 1 )/1-х* 26. ~ ((х '~ ~(х, у)йу+ ~о(х ~ )(х У)о(У = 1 о у 1 — у* =~ 4(у 1 /(х, у)дх. -1+ У 1 — (у — !)' 7 2к+4 Π— )/ах+4 3(). ~ ((х ~ ~(х, у)((у+ ~ о(х ~ )(. У)Ф+ — ) 2х+4 — 1 ) 24+4 О 7 2х+4 2 (у* — 1)/4 + (',(» (' у (х, у),(у = ( (у (; ~ (х, у)(х. 1' 4х+4 — 2 (ух — 4)/2 а а 3 22-2 7 7 — у 31. ~((у~ ~(х, у)дх. 32. ~ ду ~ )(х, У)/2»+ ) 4(у ~ /(х У)4(х о у о з о В заа. Оз 1)И 1'1 — х' У2/2 х 43.
~ 42х ~ 1(х у) б(у+ ) 4)х ~ 1(х, у) 4)у. У'2 /2 15 Уб — У» у)с(х+ ", //у ~ 1(х, у)//х. о о — х 1+ У У 46. ~ б)у ~ 1(х, )б2 5 У 52+ 5 о 2 33. ~ 4)у ~ 1(х, у)б(х. 34. ) 5(х ~ 1(х, у)4!у+ — 1 у+1 — 4 4 У4 — х 1 4/У + ~42х ~ 1(х, д)4(у. 33. ~4)у ') 1(х, у)дх.
У 2- »/2 УУ ! 1 о 11+к) ° 36. ~4(х ~ 1(х, у)б(у. 37. ~ б(х ~ 1(х, у)с(у+ 1 — 1/б-х — 1 г — В»440» Х 1 я + ~б(х ~ 1(х, у)4)у. о 1 1 — !'у 1 2 38. ~б(у ~ 1(х, д)с(х +~ 5(у ~ 1(х, д)дх. о о 1+УУ УУ 36. (4(у ( 1(х, у)дх+( б(у ~ 1(х, у)42х. У вЂ” -" 1 1 — )Г! — У» 1 2 40. ~ 4(у ~ 1(х, у)с(х+~ 42у ~ 1(х, у)б(х + О У*/9 О 1+)'! Зуз б — З ~.Ч'15 — ! — 2)» + ~ б(у ~ 1(х, у)4)х.
41. ') 5(х ~ 1(х, у)б(у. У»/9 -2 3 У 1б-)х — 2)» 1/2 У гх Уг 42. ~ ах ~ 1(х, у)б(у+ ~ б(х ~ 1(х у)б(у+ о о 1/2 О !'з У з-к + ~ Ь ~ 1(х, д)(д Уг З 1'» з 19- 43. ~И ~ 1(х, д)ау 44 ~ (х ~ 1( д) (у. о 1' 9/х а а (В(лу/4о) за У 2 а/у~ ° ! )зв ) /(, в)з 4!зв ( /(, ав*. -а (Н(ау/4а) — )' 2 а*/у — а' 1/ Ув л — огсз!и у 1/ У 2 2л — авссоз у 4$ ~ ((у ~ )(х, у)с(х+ ~ Ну ~ ~(х, у)с(х+ !/ )Гз пассов у — 1 агссоз у 1 л †ас!а у + ~ ((у ~ / (х, у)((х. 1/)'2 ввоз!и у 1 зв З (З-,)/2 ,) Р(х У)((у+ ~ ((х О О 1 л-в!сап у 3 3 ~ "У ~ ~(х, У)дх.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
