И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Математический анализ в задачах и упражнениях (1111792), страница 17
Текст из файла (страница 17)
",„, чп и» ежуткамн и произвольными ж~ рдюювыми мп ш егзиге ~ч, ра и згрим следующий Пример. Пусть 11п, хев 1и — 1, и — 1)2), 1(х) =- — 1!и, хс(п — 1(2, п), и. й1. 116 Тогда для В)0 имеем, что и (в1 в в 0 =~/(х)</х= ~ /(х) <(х+ ~ /(х)((х=О+ ~ /(х) дх~ о о (в] (в) следовательно, и 1пп ) / ((х = О, в-~ 0 + .' т. е. интеграл ~ /(х)<(х сходится. С другой стороны, так как ряд а О 1 ' — расходится, то существует строго возрастающая последовательп р 1 ность целых чисел р(т), такая, что р(рре<) р(!)=0 и ~ ' — )т.
1 й й=р( и+! Положим р<З) Р2=10, р(2)]()( () [<< — 1, << — 1/21), й=р(21+! рвр+1) Рр,=(0, р(т))()( () 1/2 — 1, )2 — 1/21). й=-р(я)+1 Тогда для любого тенУ множество Р жорданово как объединение конечного числа отрезков, Р„<с:(О, р(тЦс:Р .
Следовательно, (Р ) есть исчерпание луча 0=10, +во). Так как р(ро р(т+1] й-!(2 '1 /(х)<)х= ~ )<(х)((х+ ~' ') /(х)((х= в р й=р(ро+1 й — 1 р(т-(-1) — -О+ 1 1' 1 > '-"- й=р(т)-~-1 то последовательность ) /(.1) ((х расходится. вт Посколь"у, лй; (.гочерного случая имеет смысл только абсолютная сходимость несобственного интеграла, то все дальней- 117 П р и м е р. Исследуем сходимость интеграла ~ ) (х, у) охоу (хо + уо)о о где О=((к, у): 0<ко+ух <1) и для любого к я О, 0<М, << <))(к, у, г))<М (евС(0). Решение. Так же, как и в предыдущем примере, получаем, что рассматриваемый интеграл сходится илн расходится одновреох оу менно с интегралом ,) (хо+ уо)о О Последовательность Р„= ((к, у, г): — <х'+у'<1~ яв- оР ляется исчерпанием множества О.
Переходя к полярным координатам, получаем, что оя ! 1 П " =~ й<р~ ~~, =2я ~ в о н 1,'т Следовательно, 1 1 о )),, М 2 ),, -2) —, л\ а~ (х +у)о т ао Г Го и 1/и о откуда получаем, что рассматриваемый интеграл сходится при р<1 и расходится при ръ 1. Теорема о замене переменных в несобственном интеграле.
Пусть множества О~с:Р", Оос:Л" н отображение й : О,— Оо удовлетворяют условиям: . Множества 01 и Оо открытые. 2. Существуют множества 5, и 5о меры нуль, такие, что множества Р, 5, и Оо ~5, — открытые и <р:0~' „,5~- Оо '~5о— днффеоморфизм. Тогда для любой функции )':Оо — Я+ из сходимости интеграла 1дк следует сходимость интеграла ~ 1(р(1)))~у'(1))й и равенЬа в~ ство величин обоих интегралов. Пример. Найдем условие на параметры р и д, при котором ох оу интеграл ~~ г р, где ,) )х)' +)у)о О" О=((к, д): О</к)+ (у/<1) сходится. 119 Решение.
В силу симметрии множества Р и четности подын- тегральной функции как по х, так и по д сходимость данного ии- Ы» //у теграла эквивалентна сходимости интеграла ) 1 р х, где ,! !х! + !у12 о, Рх=((х, д): О<!х)+ !д!<1, х>0, у>0). Если хотя бы одно иэ чисел р и а неположительно, то функция 1 ) (х, у) = „х непрерывна и ограничена на жордановом !х)" +)у1 множестве Р„следовательно, интегрируема в смысле Римана на Р,; поэтому будем рассматривать данный интеграл при усло- вии р>0, у>0. Для любой такой пары (р, у) существует число а>0, такое, что кривая !х!х+ (у)у=а лежит в множестве Р. Пусть Р=((х, у): (х(х+ !у!'<а, х>0, у>0), так как для (х, у) ен Р," Р )х!'+ !у!'>а, то функция 1 /"(х, д)= х„ интегрируема в смысле Римана на Р1ЧК следовательно, сходимость рассматриваемого интеграла эквивалентна сходимостн интеграла Ц а Переходя к переменным г, ф по формулам х=(гсоэхф) /", у= 1Ф =(гэ!п'1р) ~2, получаем, что = — ~~ соэ2/х — ' 1у э!п2/2-1 ф г'/у+чу-' /!ф /!г, ах ду) 2 где 6 = ((г, /р): 0 < ф < н,/2„0 < г < а).
Последовательность (6„), 6„=((г, 1р): 1/2п</1р<л/2 — 1!2п, а/2п <г<а), является исчерпанием множества 6. Так как ~ соэ2л ' ф э!п2/х — ' ф г1/2+1/х — 2 /(ф/(г = ох х/2 — 1 пи Π— соэ2/х-1 1р 21п2/х — 1 1р /(ф ) ~г1/»+1/х — 2 /!г =( 1/2х а/2х 120 то 1пп ~~ соз2'Р ) срз(пэм — ) срг!мь)ск — 2 с(срс(г= о„ ккС2 к ),) ), соз)м 'срз1пэм ' с))с(с)) ~! г)~'. ы2 — 2с(г.
о о / (х, у) с(у, х ~ М", Е; Ф(х) .= мск) О, хек Е. Сходнмость повторного интеграла — это существование предела 1пп ~~ /(х, у) с/х с(у по некоторому исчерпанию (Р„) множества л-ккк О Р= — ((х, у): х~ М, у = М(х)). Т е о р е м а (сведение несобственного кратного интеграла к повторному). Пусть Р=-((х, у): хе= М, у с= М(х)) и /(х, у) >О, (х, у) а= Р.
Тогда соотношение '1')/(х, у)с/хс(у=~с(х ~ /(х, у)с(у о М М(к) (2) справедливо в том смысле, что либо кратный и повторный интегралы одновременно расходятся, либо одновременно сходятся и равны по величине. Итак, для неотрицательной функции переход от кратного интеграла к повторному дает возможность или вычислить кратный интеграл, или установить его расходимость. )21 Первый сомножитель является сходящимся интегралом для любой пары (р, с/), р>0, д>0. Для второго сомножителя необходимым и достаточным условием сходимости является выполнение неравенЫк с)у ства 1/у+1/с) — 2> — 1 (р>0, с/>0). Итак, интеграл 121 +)у1 сходится для пары (р, с/), если ппп(р, у) (О, или 1/у+1/с/>1, и расходится, если 1/р+1/с/<1 и ппп(р, у) >О. Повторный интеграл ) с(х ) /(х, у) с(у называется сходящими мск) ся, если интеграл 1 /(х, у)с(у сходится для всех хек)Е, где М!к) Ес:М вЂ” множество меры нуль, и сходится интеграл ~Ф(х)с/х, где м Пример.
Вычислим или установим расходимость интеграла — — — — --, где О=((х, у):0(у(оо, — оо(х(+оо). уоЫ» ф' у+ уз (хз + уз) Р е ш е н и е. Функция 1 (х, у) = у) 'у+ у' (х' + у') неотрицательна на множестве О. В силу предыдущей теоремы +о уу (. ,) -р/у ! „з (хз ! уз) ~ у †„ ,. уз ) хз + уз 30 з у 1 -)- язу — агс(я — ~ г(у = ~ о ")/у~+ уз у у — зз ~/ у Г»З о В(, ) Г( ).
Итак, интеграл Я уохоу сходится и равен — Гз ( — ) . '~/й з г 1 У» + уз(х* + у*) П р и м е р. Вычислим или установим расходимость интеграла ыуаг Д (хз+ у')(хо+ го)(уз+ гз) в где О=((х, у, г): х'+у'(г', г)0), Решение. Функция ((х, у, г) неотрицательна на множестве О. В силу теоремы =' Л охоуог (' ! уха» ,зз,гз (х' + у')(х' -)- г') (у' + г') ) 3,) (х' -)- у')(х' + г')(у' + г') ' в о в!з! где О,=((х, у): х'+у'(г'), и так как интеграл =Г ( ог (х'+у')(х +г ) (у +г') ),) Г(г'+Г сох~в) (г~+Гзз)взе) .) .) О о о расходится, то, следовательно, расходится и интеграл Я ы о (х'+ у') (х'+ г')(уз+ г') Если функция )(х, у) иа множестве О не сохраняет знака, то расходимость повторного интеграла в соотношении (2) показывает, что и кратный интеграл расходится, а сходимость повторного показывает только то, что в случае сходимости кратного инте- 122 грала его величина равна повторному.
Поэтому в таком случае необходимо убедиться в сходимости кратного интеграла. Наиболее простым н распространенным методом для этого является рассмотрение интеграла )1)'(х, у))с(хв(у в силу эквивалентности схоо димости кратного интеграла и абсолютной его сходимости. Сходимость интеграла от неотрицательной функции 11(х, у) ~ исследуется или сведением к повторному, как было рассмотрено выше, или применением мажорантного признака. сов (х + у] Пример. Исследуем сходимость интеграла ~~ + в(х1(у, (ха+ да)Р о где 0=((х, у): х+у) 1). Решение. Сделаем поворот осей координат так, чтобы косинус стал функцией одного аргумента; а именно, положим х+ у =и)~ 2, х — у = о ~ 2 . Так как поворот — изометрическое преобразование плоскости и сумма квадратов координат является инвариантом этого преобразования, то (' сов(х+у) „('(' сов(у'2 и) О ,) (ха+уа)Р,) ) (ив+ са)Р о "о,' где Вв=((и, о): и) 1Д/2, — оо(о(+со).
Делая в интеграле +аа В (иа + оа)Р замену о=и1и(, получаем, что и12 +аа 00 1 — ~ СОВ2Р— 'Ид 2Р— 1 — 2112 (иа+ Ра)Р Интеграл ц~ сходится или расходится одновременно о 1".1" сов(')/2 и) в(ийс (ив+ оа)Р о, интегралом О (.",'.)". ""'"= .1 '" ~'"~ 1 ""."" о, 111'2 Этот интеграл сходится тогда и только тогда, когда 2 — 2р<1, т. е.
р>1/2, и равен при этом условии К(р)/игу — '. Итак, для р<1/2 ис. ходный интеграл расходится, а для р>1/2 имеем, что 00 (' (' )сог у 2 и) 1 1 К ) (' )сог )! 2 и( ,) (иг -1- 55) у,), 25-1 о, н г'2 512 К(р) = ~ созгх — 2/с(/. — х!2 Этот интеграл сходится тогда и только тогда, когда 2р — 1>1, т.
е. р>1. 1 сО5 (х+ у) Итак, интеграл ~) У с(хс(у сходится при р>1 и расходит.) ( * + у')2 о ся при р<1. 3 а м е ч а н и е 1. Обратите внимание иа то, что повторный интеграл ОО +СО соз(У2 и) с(и ~, ", = ~ ' ) К(р)1/и иг" ' 1! г 2 сходится при р>1/2, но при 1/2<р с1 интеграл ОО сог(У2 и) и р и 1!Ф 2 сходится условно. Здесь опять играет роль отсутствие условной сходимости в и-кратном (пъ2) несобственном интеграле. 3 а меч ание 2.
1гтверждение, что рассматриваемый интеграл сходится прн р>1, можно получить, используя мажорантный при- 1 ссг(х + у)) 1 г Г уха знак: < а интеграл О схо- („5 4 уг)5 (х' -1- уг)2 ( хг + уг)д о днтся при р>1 (см. выше). Но таким образом нельзя проверить, что этот интеграл расходится для р(1. Мажорантный признак в данном случае дает только достаточное условие сходимости интеграла. Пример. Вычислим нли установим расходимость интегралов а) Д, У с(хс(у; б) ~~ " с(хс/у, о о где 0=((х, у): к+у>1, к О, у- О). 124 П р и м ер.
Вычислим или установим расходимость интеграла () ~ (2)и х) е-"'(мч "1 О(хп/у((г, где Р=((х, у, г): х)О„у- О, г) 0). Р е ш е н и е. Рассмотрим повторный интеграл +с -(-о Х/2 ю ~ з(их((х ~~ е — х'(О*е и/((у((г= ~ з(пх((х ~ (((р ~ е — и" гй.. О О)0,2 О О О О я/2 ю Интеграл ~ (((р ~е — х*"/О(г сходится для всех х)0 и равен л/4х2, а О О Ю г и 51пх интеграл ~ — ((х расходится. Итак, рассматриваемый интеграл 4 ХО О расходится. П р и и е р.
Вычислим или установим расходимость интеграла ~ ~ соз (х+ у — г) е-('*+О'+**1 О(х((у()г, где О=((х, у, г): — оо Сх(+ оо, — оо(у~+ оо, — оо(г(+оо). Р е ш е н и е. Начнем с проверки сходимости этого интеграла, Так как ~ СОЗ (Х -) у — г) Е (х~+М ( х~) ~ с' Е (х~+М +5~1 и интеграл 2Я л/2 СЮ Ц~ е-(** "О'+м1 ((х((у((г = ~ Йр ~ соз (р(2(р ') е-" гЧг 'о Π— П/2 О сходится, то сходится интеграл ~ Я соз (х+ у — г) е — ("' О'+"1 ((х((у((г. Сделаем поворот координатных осей так, чтобы косинус зависел только от одного переменного, т. е. ось ОУ берется перпендикулярно к плоскости х+у — г=О, а оси О'(/ и О((/ берутся по любой паре ортогональных векторов в плоскости х+у — г=О. Так как поворот координат — изометрическое преобразование пространства и сумма квадратов координат является инвариантом этого преобразования, то 1226 ~~ сон(х-1-у — г)е '«»«н»-т»пахе(ус(г=- Г = ~ ~ ~ соз (и ')АЗ )е-саар".тмп Никос(св.
Ф Переходя к повторному интегралу, получаем, что Ц соз (и )ГЗ ) и — ов+"+мн с(ис(псйо = и» +ь« ав = ~ соз(и ~/3) е-"' ~ с(р ) и — '*ге(г= Ф о о » = 2и ~ соз (и у'3 ) и — "' = и ) ' и е — и'". ЗАДАЧИ *" $1. Расстановка пределов интегрирования в двойном интеграле и его вычисление В следующих задачах в двойном интеграле ~~~(х, у)с(хну, о где функция 1(х, у) непрерывна в области О, расставить пределы интегрирования в том и в другом порядке для указанных замкнутых областей 0 (под 0 всегда будет подразумеваться ограни.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
