И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Математический анализ в задачах и упражнениях (1111792), страница 19
Текст из файла (страница 19)
ь/ ь 133. 1~ — +1~ — у=1, х=о, у=о (х.-ьо, у~ 0). 1зв. у ( — * -~ )/ ( — ") -1. Ь»2" + ау~" = ах (ху) — 1 138. бхха+ ау'" = с'х'" — '+ Руь" — ' Найти площадь петли кривой; 139 (х+ у)4 ахсу 140. (х+у)'= аху. 141. (х+у)'= ах*у'. Производя надлежащую замену переменных, найти площадь, зграниченную следующими кривыми: 142. ху=р, ху=а, у'=ах, у'=Ьх, 0:.р(а, 0(а<Ь. 143.
ху=р, ху=а, у=ах, у=йх, 0<р<д, 0(а< 5. 144. х' = ру, х' = ау, у = ах, у = 1)х, 0 < р ( д, О < а < 6. 145, у=ахх у=Ьх' у'=рх, у'=ух, 0(а =.Ь, 0 ..и .д. хс хс у~ у", 146. у= —, у= —, х= —, х= — ' х>0, у- О, а~ Ь' с' а4 О<а(Ь, О<с(б. х' х1 ~ хс х' 147. у= —, у= —, у'= —, у'= —, 0<а<Ь, 0<с(с).
а Ь с х' хс х~ х~ 148. у= —, у=- —, у= — ', у= —, 0(ас Ь, 0(с<с). с Ь с х4 хс 149. у= —, у= —, ху=с', ху=-сР, х~О, у ~ О, ов Ос ас Ь, 0<с<с). 150. х'+ух=ау, х'+у'=Ьу, х=ау,'х=йу, 0 =.а<Ь, Ос а()). 151. у'-=-2р(х — рф, у'=24(х — д(2), ух = 2 г (х — г~2), 0 ( р < д ( г (х ) О, у ) 0).
152. а) (х+2у — 1)х+(2х+у — 2)'=9; б) (х — 2у+3)'+(Зх+ 4у — 1)х = 100. 6 3. Вычисление объема с помощью двойного интеграла Найти объемы тел: 153. 0 =г(х', х+у(5, х — 2у~~2, у~О. 154. х+у+г(а, Зх+у)а, Зх+2у(2а, у)0, г:О, 155. х+у 1, г(х'+у', х;:О, у)0, г О. 166. х+у 'а, 0 =2Ьг(у', х вО, у)0. 167, г'(2рх, у(х(а, у' О. 204. 205. 206. 207. 208. 209 210.
211. 212. 213. 214. 215. 216. 217. 218. 219, 220. 221. 222. 223. 224. 225, 226. 227. 228. 229. 230. 2аг = — х'+ у', если х'+ у' ( а', у х, х ) О, у » )О. 2аг = х'+ у', если х'+ у'+ г' ( 2сг. х'+д'+г'=)с', если х+д(!с, х) О, у) О. х'+у'+г'=Щ если х'+у'<г'!8'а, г. О. х'+у'+г'=Я', если (х'+у')'()с'(у' — х'). х'+у'+г'=2!сг, если — "+ ~ а~ Ь' ся г'=х'+а', если у'(2х'+а')(а'х', 0(х(а. у'+г'=2ах, если у'(ах(а'.
х'+у'+г'=а', если х'(а'х' — Ь'у', а(Ь. х'+д'+г'= а', если у') а(а+х). х'+у'+г'=а', если х'+Ьу'(а'х, Ь) а. х'+у'=2ах, если г'(х'-(-у'. у'+х'=2ах, если 0(аг(х'+у'. х'=у'-1-г', если х' — у' а', )у!(Ь. х'=у'+г' если «я+у' -'а'. х'=у'+г', если х'(ау, х'+г'=2ах, если д'(2рх. хг/Я+г'/Я=а'/Я если д'(2рх. «2/я+ гя/я а2/3 если уг/3 ! «2/я ( а2/я к'=2с(с — г), если 0(у(ах, г)0. х'=2с(с — г), если г) О, х'у'(а'х' — с'у'. х=гсоя<р, у=гя!п/р, г — -Ьр, если а) 0(<р(г, 0 ='г 1; б) 0(/р(п/4, 0(г~(~р.
х=исояо, у=ияпо, г=4о, г)0, х'+у'(9. х=(а+Ь соя о) соя и, у=(а+Ь соя о) я!пи, г=Ьяпо; 0(о(и, 0(и(п/2 (а)Ь). х = а соя' и соя д, у = а сояг и яп /р, г = а яп'и, О ( и ( и!2, 0 (<р (п соя и. х=а~!п(18 — (+спят), у=ая!п!сояср, г=ая!и!я!п/р, 0(1< и)2, 0<(р(п!2. х=Зи+Зиоя — и', у=о' — Зо — Зи'о, г=З(и' — о*), 0<о (1, 0 <и(о. 136 231. Найти объем и площадь поверхности тела Вивиани ха+у'+г'(4а', х'+да(2ах, 232. Найти объем и площадь поверхности тела х'+г'(а', г'+уг(аг.
233. Найти объем и плошадь поверхности тела 0(г(аагс18 У, х'+у*(1г", х) О. х ' 234. Найти объем и площадь поверхности тела х'+ у'(2ах, х') у'+г'. 235. Найти объем и площадь поверхности тела хг + уг ( гг, аг ( 2аг — (хг+ уг), 9 5. Механические и физические приложения двойного интеграла Найти массу пластинки плотности р, ограниченной линиями.- 236. у+х', х+д= 2, у — х=2 (х) 0), если р=х — 2.
237. х = у, х — Зу = 1, у = 1, у = 3, если р = — у. 238. х'+у'= 4х, хв-1-у'= 4у(ху) 0), если р=х. 239. у'=х+4, у'=4 — х, у=О(у.. 0), если р=у. а ~Р „а уа 240. — + — =1, — + — =--1, если р=4х'+9у'. 9 4 18 8 241. х'+уг=1, хг+у'=9, х=О, у=О (х)0, у)0), если р= =х+д. 1 х~ у~ ~~ А~ у~ 242. ( — + — ) = — — — (х) 0), если р=-х'. 1,а Ь) а Ь"- 243. Найти массу круглой пластинки радиусом Р, если плотность этой пластинки в каждой точке пропорциональна расстоянию от этой точки до центра пластинки и равна р, па краю пластинки.
244. Плоское кольцо ограничено двумя концентрическими окружностями, радиусы которых равны соответственно 1 и 3. Зная, что плотность материала пропорциональна расстоянию от центра окружностей, найти массу кольца, если плотность на окружное~и внутреннего круга равна едшп1цс. 246, Найти массу пластинки, пмеюшей форму кольца„радиусы внутренней и внешней окружности которого равны соответ- 189 ственно г и К, если плотность пластинки в каждой точке обратно пропорциональна расстоянию от этой точки до центра кольца. 246. Найти массу квадратной пластинки со стороной а, если плотность пластинки в каждой точке пропорциональна квадрату расстояния от этой точки до одной из вершин квадрата и равна рз в центре квадрата. 247. Найти статический момент однородного прямоугольника плотности р со сторонами а и Ь соответственно относительно его сторон.
248. Найти статический момент однородной пластинки плотности р, занимающей область, ограниченную одной аркой циклоиды, х=а(1 — з1п 1), у=а(1 — соз1) и отрезком прямой у=О относи. тельно оси ОХ. 249. Найти статический момент однородной пластинки плотности р, занимающей область, ограниченную линиями у=хз и у = 2 относительно осн ОХ. 1+ х~ 250. Вычислить момент инерции однородного круга массой М и радиусом Р относительно точки на его окружности. Вычислить моменты инерции относительно заданной прямой однородной пластинки массой М, ограниченной линиями: 251. хз+уз=)Р относительно прямой, проходящей через центр круга и лежащей в его плоскости.
262. х'+уз=)7з относительно касательной к окружности этого круга. х~ у' 253. — + — = 1 относительно большой и малой осей. а 254. у=з1пх, 0 ' х:-- л, у=О относительно прямой у=1. 255. ау=х', х+у=2а относительно каждой из осей координат. 256, хз=2ру, у'=2рх относительно каждой из осей координат. 257. г=а(!+сов~у) относительно полярной оси. 258. гз=а'соз 2~у относительно полярной осн.
259. ху=4, ху=8, х=2у, х — у, (у)О) относительно оси Оу. 260. Плотность в каждой точке прямоугольника пропорциональна квадрату расстояния от этой точки до одной из его вершин. Найти момент инерции этого прямоугольника относительно его сторон, проходящих через эту вершину, длины которых соответственно равны а и Ь. 261. Найти момент инерции относительно начала квординат однородной пластинки плотности р, занимающей область, ограни« ченную линиями х'+у'=9, х+у=О, х — у=О (х~О). 140 262.
Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, занимающей область, ограниченную линиями: у=х, у= — х, х=1, если плотность пластинки в каждой се точке численно равна рас. стоянию от этой точки до начала координат. 263.
Найти координаты центра тяжести однородной пластин. ки, имеющей форму кругового сектора с углом а и радиусом )с. Найти координаты центра масс однородной пластинки плотности р, ограниченной линиями: 264. у=х', у=Зх', у=Зх. 265. у=-2х — 1, у'=-х, у=О. 266. у=4 — х', у+2х=4. 267. у=~/2« — ха, у=О. 268. у=4«+4, у'= — 2х+4. 269. у=х', у=2х', х=1, «=2. 276. — + ~ =1, х=О, у=О (х звО, у ивО). 271. — ', + — "* = 1, у = О (у» О). 272. х + — "=1, Зх+2у=6, х»0, у»0. 4 9 273. — + — =1, — + — = 2, — = —, х д х д х у Зх у а Ь а Ь а Ь а Ь 274. у'=ах' — х4 275. х=-асоэа(, у=ав1п'1, х О, у=О (х»0, у»0).
276. х=а(С вЂ” в)п(), у=а(1 — сов(), у=О, х=па (О~х .ла). 277. х=а(1 — в(пг), у=а(1 — совЕ), у=О, 0(х(2пп. 278. (ха+у«)'=2а«ху, х эО, у»0. 279. хх+у'=За«у, х»0, у»0. 281. — +- — = —, х»0, у»0. '«~ а4 х~а а4 Ь~ «а ' 1а Ьх! 283. г=п(1+созф), 0 ф и, ф О. 141 284. г- — а(/-' гоз</1, 0~ <, (2л. 286.
г'=а'соз2~р, 0(<р ~л'4, ~Г=.О. 286. г=-9созт,, г.: 4созй. 287. г' =- а' соз 2ср, 0 ( ~Г л,'2, 288. Найти массу и координаты центра масс пластинки в форме прямоугольного треугольника с катетами а и Ь (а>Ь), если плотность в каждой ее точке равна расстоянию ее от меньшего катета. 289. Пластинка лежит в плоскости ХУ, занимая область О, ограниченную кривыми х=-2, у'=2х, у=О (у)0). На пластинке распределен электрический заряд с поверхностной плотностью о=х+у/2. Найти полный заряд пластинки.
290. Пластинка лежит в плоскости ХУ, занимая область Е~, ограниченную следующими линиями: х=1, у=О, у=2)/х. На пластинке распределен электрическин заряд с поверхностной плотностью о=7х+у. Вычислить полный заряд пластинки. 291. Пластинка лежит в плоскости ХУ, занимая область В, ограниченную кривыми у=О, у=2, х=О, х+у=4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
