И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Математический анализ в задачах и упражнениях (1111792), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Чтобы границы интегрирования выражались гладкими функция. ми, как н выше, разобьем интервал (О, и/2) изменения угла /р На ПОДЫНтСРВаЛЫ, ГДЕ ФУНКЦИЯ (П)П(СО5 ф, сйн ф) СОВПаДаЕт С ОДНОЙ из функций соз ср или 5!п(р. Окончательно получаем, что Р = ((г, ср, ср): — н/2 < тр < и,/2, 0 < ф < н/'4, 0<г<2аз!пфсозср) ((((г, ф, ф); — н/2<ф<н!2, и/4 < (р < и/2, 0 < г < 2а со- (р соз (Р) и, следовательно а/4 2аипхсоо( Я (х' -(- г') 4!х с!у /(г = и СО52Р/(4Р ~ ((ф ') /' (СО5 фС05 4Р.(- — и/2 о (! и/2 па/ 2асоп(со(Ч +5!г! (Р) (Ь'-т- ~ с05(Р 4((Р ~ (/ф ~ г~ (с05 (Р с05 ф+5!п 4Р)((г= и 4 о 100 где Р— область, лежащая внутри обеих сфер х2-, 'у'+г2=2ах и х2+у2+г'=2ау, пользуясь переходом к сферическим координатам. Р е ш е н и е.
Так как точки области Р лежат внутри обеих сфер, то их декартовь( координаты должны удовлетворять системе х'+ уа-(- г' < 2ах, х' -(- у'-(- г' < 2ау. л/2 л/4 32 = — а' сов' ф 4(ф сов'ф 31п' ф 4(ф+ 5 — л/2 о л/2 Л/4 32 + — а 1 сов фв(п 114(ф ~ в!пвф/(ф+ 5 -л/2 о л/2 л/2 32 + — й ~ СОВ ф/(ф ~ СОВ/ф/(ф+ 5 — л/2 л/4 Л/2 л/2 32а4 + — ~ СОВ фВ1П ф/(ф ~ СОВ4 ф 4(ф = 5 — л/2 л/4 '(В ~ — ')" ~ сОв ф(1 — сов ф) 4(совф— 5 Г (5) 0 л/4 32а4 Г (7/2) Г (3/2] ~ (1 — соваф)24(сов ф+ 5 Г (5] о Г(1)/2) Г ~ — ~ л/2 + — ав 32 2 2 ~ (1 — в(п2 ф)34(в(п ф+ 5 Г(5) л/4 Г (7/2) Г ! — ' л/2 /3 32 + — й' 5 Г (5) ~ (1 — в1п'ф)24(в!пф= л/4 1 1 — — — — (1 — 1 )2!'й+ — — — — ~ (1 — 12)2/И-л 32а4л/7 5 3 1; 222 5 3 1 1 524 (,2 2 2 2 ) 2 2 2 2 1/2/2 1' 2/2 + — — — — (1 — 12)2 4(!+ — — -- — ~ (1 — 12)'й) = 7 5 3 ! 5 3 2 2 2 2 ) 2 2 2 2 Ф 2/2 ~ (1 — !')Ч/= '"" ~1 — — ', + —,' — (/2 ~ —,' — 1 + 2~ 2/2 — ~ 1 = (64 — 43 )//2), 40, ! 160 101 4.
Обобщенными сферическими координатами точки М(х, у, г)~/!' называется тройка чисел г, ф, ф, связанная с числами х, у, г формулами х=агсоз" фсозаф, у=бгяп" фсозвф г- сгз!паф. При этом г=0, угол ф меняется в промежутке (О, 2п] или [О, и/2!, угол ф — в промежутке ( — и/2, и/2) или !О, и/2) в зависимости от параметров а и )) аналогично тому, как зависел промежуток изменения угла ф в обобщенных полярных координатах (см. с. 53). Так же, как в двойном интеграле, при переходе к обобщенным сферическим координатам может возникнуть несобственный интеграл от неограниченной функции по жорданову множеству (который всегда сходится).
Якобиан при переходе к обобщенным сферическим координатам равен абсгс(г' соз" — ' р яп" — 'ф х Х з!пв ' ф созга ' ф. Пример. Вычислим интеграл !!')гдхс(удг, где Р— об'б ласть, лежащая в первом октанте (х>0, у>0, г>0) и ограниченная координатными плоскостями и поверхностью хиг~~ху — + — + — ) = — — —. ,а Ь с~ Ь Ь Решение. Положим х=пгсоз'фсоз'ф у=бгз|п'фсоз'ф, г=сгз!и'ф.
В переменных г, ф, ф уравнение данной поверхности примет вид / а а Ь г= ( — соз'ф — — з!п'ф) созаф, , Ь А Дополнительных условий на угол ф нет, следовательно, фен ен(0, и/2). Угол ф должен удовлетворять двум условиям: ф ~(0, я/21 и — соззф — — з!п'ф> О, б Ь следовательно, фен(0, фа), где фавн(0, и/2) и а Ь вЂ” соУ ф, — — з!п' ф, = О. ь ь Итак, прообразом множества Р при переходе к обобщенным полярным координатам является множеслво Р,=((г, ф, 1): 0<1<и/2, Оа-.ф ~(фо, 0<г<г(ф, ф)), где через г(ф, ф) обозначено для краткости произведение (' ' — соз'ф — — з!и'ф ) соз' ф, и, следовательно, Ь Ь аг2 Оъ и р,ч! Ягбхс(ус(г=~ с(ф~дф ~ сгз!п'ф4абсг'созфз(пфз(пф х о о о о 102 и/2 Хсозофпг=4абсо~ созофяпогрс(ф~созсрз!порйр 1 гоа1г= о о о =айса ~ соз" фяпогРс(гР~ ( — созоор — — япоор~ созсрз|порбср= й й — — — + — ) 81п'ф~ с((81п'ср)= 4 Г(8) .1 '.
й ой й о айсо 1 'а (а Ь' . о .о~о аойсой 1 — — ( — + 1япоор1 4 6 7 6 / а Ь ' ~, й 1 й й 7 ! йр, 840 (ай + Ьй) ~ — + — ) ' ', й й В этом и следующих пунктах будем рассматривать тела из соо, ограниченные кусочно-гладкими замкнутыми поверхностями. Как следует из предыдущего (см. с. 8), такие тела являются жордановыми множествами, и для любых ограниченных функций и=1(х, у, з) с не более чем счетным множеством точек разрыва (в частности, непрерывных) существует ~~~ ~(х, У, а)с(хс(ус(з.
3. Объем тела Объем ~ У( тела У (из указанного выше класса) вычисляется по формуле (У1=- ') '1) с(х бу с(з (как объем жорданового множества). р П ример. Найдем объем тела У, ограниченного поверхностями з = хо + уо, 2 (хо + уо) = з, х = у, у = 2х, а = й, находящегося в первом октаите. Р еш ен не. Способ К Проекция тела на плоскость ХОУ изображена па рис. Зб. Разобьем тело У на два тела У~ и Уо: У~=((х У* а): (х У)ен еиРп хо+Уо<а ' 2(хо+Уз)) и Уо=((х, У, а): (х, У)еиРо, хо+Уз< о-.а(й), где область Р, ограничена линиями у=х, у=2х и 2(хо+ +у') =й, а область Р, ограничена линиями у=х, у=2х, хо+у'=Л и 2(хо 1уг) В свою очередь область Р, представим как объединение двух областей Р1' и Р о: Р1 = (х, у): 0 (х: 1! — ", х ~у (2х, т 1О 2 -~ й 103 а область Ву — как объединение трех областей Рис. 36 Теперь объем тела У найдем следующим образом: У оно Ух О1'+д'1 с(х ~ ду ) пг+ о х «'+у* уй;4 у од — «~ Мк +у'1 о(у ) с(г + к'-сд' 4'йДО уй/5 и И14 Уй — к* й дх ) с(у ~ с(г+ Уйуо у й'у — кв к +д' + 1 с(х ~ 4(у ~ с(г+ 4'йДО Уй~г-х* «'~'-д' + ) б ~ бу ') (..
1 — ", / й х х'оу' Не вычисляя интегралов, читатель уже может видеть нерацио нальность предложенного способа ре1пения. Способ 11. Сечением данного тела плоскостью г=а, 0(а(Ь, является фигура АВСЛ=Я(а), представленная на рис. 36, б. 104 ««у~= (х, у) «ко= (х, у) Е4о~= (х, у) — ~(х( —, — — — х'(у -.2х, у' У вЂ” (х <1. —, ~/ - — хо(у('Укй — ху~ 'У вЂ” "«ч У "-, ~«~Уй —,'), Тогда искомый объем найдется по формуле (У ! =- ~ о(а Д дх о(у. о а<а) Интеграл Ц)(х)(у равен 15(а) ( — площади 5(а). Эту пло- В(а) щадь можно вычислить как разность плошадей двух круговых секторов с центральным углом гр=агс1д2 — п14 и радиусами у' а и 7а/2 соответственно, т.
е. )о(а)/ = — — (а — — ~ (агс1п2 — л/4)= — агс1п —. 1 ! а ', а ! 2, 2 3' Следовательно, ь а 1 аа ! У) = ~ — агс1ц — )(а = — агс1п —. 4 3 8 3 3 а и еч а н и е. Поскольку границами области 5(а) являются линии уровня функций и=х'+уг и п=у1х, то для вычисления ) ') дхду сделаем замену х'+у'=-и, у)х=о. а)а) Отображение )у:и=х'+у', и=у/х есть биекцня области В=((х, у): а/2(ха+у' - а, 1(у)х(2) на область 0)=((и, о): а/2(и(а, 1(п(2). Так как 1 1)(х, у) 1)(а, а) 2х У~ 212 У В (а, а) 1)(х, у) — У/х 1/х ~ то ь ь г а ((г) = ~ о(а Ц дх о(у = ~ с(а ~, ~ )(и = о яа) а ао а) Ьа 1 = — ~ ( агс1п 2 — — ) — г(а = — ( агс1п 2 в — ~ = — агс1п — , 2 4 ) 2 8 4 ~ 8 3 о 105 Способ 1П.
Перейдя к цилиндрическим координатам, имеем агаы2 а Л/2 2И алы22 !ВЛ Л г(/р ~ гг(г ~ г(г+ ~ /(/р ~ гг(г~/(г= я/4 0 )В аа/а Ф'Л/2 )', и 1 / йа Ьа аа //а Ла агс122 — — ) ( — + — — — — + — ) = 4 ) , 1б 2 4 4 !б / йа л' Ла ! = — ( агс1и 2 — — 1 = — агс1й — . 8 (, 4 / 8 3 Способ 1У. Сделаем замену переменных х'+у'= и, ха+ иа 9 =о, — =и/. Е х Отображение х'+ иа и /р: и=ха+уа, о= н/ =— 2 х 2х 2у О 2х/г 2у/г — (х'-(- у')/г' — у/х' !11/х О Р(и, и, и) Р (к„у, г) Условие и<и/о</п(п(2и, й) эквивалентно условиям — (о(1, если О(и -.й/2; 1 и/й(о(1, если й/2(и~ й.
Следовательно, Л/2 ! 2 Л 1 2 (У) = ~ //и ~ Ио ~г(и/, " + ~ г(и ~ /(о~/(и/ О !/2 О '- Л/2 л/Л л 1 /аа агс(д 2 — — 1(2 — 1) — — + — ( агс(п 2 — ' ! х 4 / 2 8 2 4 Л /и 1 йа 1 х ~ ( — — 1) и//и= — агс(д —. (, и ) 8 3 Л/2 10б является биекцией данной области )/ на область 1/, = ~(и, о, и/): 0(и(й, 1(н/(2, о( и ( и!1п(2и, й)~ и П р им е р. Найдем объем тела, ограниченного поверхностью ( хч у' гч ' г гг — -1- — + — +ач ~ =4 —, ах<1, ач Ьч сг / с' Решение. В силу симметрии тела относительно координатных плоскостей рассмотрим '/ч его часть, находящуюся в 1 октанте. Перейдем к цилиндрическим координатам, тогда имеем (' ' ')= г 'ч гч ч ч г' 2г г'+а'+ — 1 = 4 —, т.
е. г'+а'+ — = —, сч / сг сч с ' откуда 12г гч 2г гч г= ~/ — — — а, если — — — — а ~О. ч ч с сч с с' Это означает, что гч 2г — — + — <ач т. е. 1 — 1/1 — а' ( г/с ( 1+'1/1 — а', Следовательно, с+с 1'1 — 1 ч ам 1'гг7с-г*!с'-ас 1Ц =-8 ~ с/г ~ йр ~ габс/т= с-с Г1-а' с+с С 1-и' =8аб л/4 ~ ( — г — г — ач) с/а= с с' с — с М1-са ! гг гг, 1 !с+сУ3 — ас Ва 375 = 2паб1 — — — — а'г) ~ = — абс (1 — ач/ П р н м е р. Найдем объем тела, ограниченного поверхностями ( —— хугзсгху15 — + — + — ) = ( — — ), х=О, у=О, г=О. а Ь с) ~Ь А)' Реп1ени е. Положим х = аГ сох ф со5 ф, у = бг 51 и' 1р созч чР, Х=СГ51П'гР. Тогда ( — — -)'-' — — = ( — + — + — ) = т'с — — — — — г ( — соз' 12 — — 1151ич ф) созч чб.
,а Ь -с) ' Ь вЂ” 7:=~а 107 Из условия получаем условие на изменение ф — созоф — — япоф аО, т. е. !(0ф)('(/хай/Ьй и, следовательно, 0 =ф (агс1н')/гойей. Таким образом, имеем, что О Удх/ЬИ /2 (-И.г г 'à — -И- г "Г) ' 5 (У) =4аЬс ~ г(ф ~ г(ф о о о агсго Уао/М а/2 ХЗ(нфа!ПГРЙ.= — 1 С(ф' ! ! — СОБоф — Б)ноф) Х о о созо 1р соз ф Х я/2 Х сОБ гр соя ф Б!и ф Б1п1(го(гр= — ~ соБоо ф51п гр г(1р х 3 о о/оГБГУаг/ОИ ( — соз гр — — яп ф~ д ! — соз гр — — яп ф~ х ( — — ) /а оЬ.2!12'а оЬ (» И ');И о — ИИ 4аЬс СОБ гР— а И Х а Ь 1 $2 (аь + ЬИ) 3 34.16 -'( — — ~ И+ И/ Ь . у 16 !агсгя Уао/ОИ аьс — — яп'гр) о 24 34 1! / а 14 а Ь,И/ + И И 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
