И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Математический анализ в задачах и упражнениях (1111792), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Преимуше- ство такого метода в том, что решение задачи перестановки пре- делов интегрирования в двойном интеграле существенно облегча- ется наглядным геометрическим представлением соответствующе- го множества на плоскости, а геометрическое изображение про- странственной области на плоскости страницы или доски из-за не- избежных искажений часто не облегчает, а затрудняет переход к нужным неравенствам на координаты точек рассматриваемого множества. Пр имер. Расставим пределы интегрирования во всех воз- могкных порядках в тройном интеграле ~~~)(х, у, г)((х()уаг, где Р— область, ограниченная поверхностями х=О, х=а, у=О, у=()хах, г=О, г=х+у, ) ев С(Р). Р еш ен не. Данные поверхности являются границами ограни- ченной области Р=((х, у, г): 0<хеа, 0(у('1/ах, 0(г(х+у).
Из этого представления области получаем, что а Уах к»-у ) Ц)(а, х, )х*ххх*-)х* ') ха |П*, х, )а. ь о Запишем: ,0=((х, у, г); (х, у)сиРм 0(г<х+д). где Р =((х, д): ОСх<а, О<у <Уох) и Р=((х, у, г): 0<х<а, (у, г)о- :Р.) где Р,=((у, г): О.с-у~ '(/ах, 0«-г~.-х+у). Этим представлениям Р соответствуют представления тройного интеграла ла-у ~ ~~ 7" (х, д, г) дхйус(г = ~~ с(хс(у ~ 7 (х, у, г) Иг= Я Ф(х, у) с(хс(у Ь Оа а ~~~ 7" (х, у, г)с(хс(усуг= ') ох~~ ) (х, у, г)с(усуг. О о к Чтобы изменить порядок интегрирования в интеграле ~~ Ф(х, у) с(хс(у, сделаем чертеж множества Ро (см.
рис. 27), откуда получим, что Ро — — ((х, у): 0(у(а, уа7а х(а) и, следовательно, «-~-у б) ~~~ ~(х, у, г)с(хНудг=. ( ~с(хс(у )' ~(х, у, г)с(г= 'о о, о а а «+д а ~ф ~ ох ~ 7(х~ д1 2)6(г=~йд~~~(х, д, г)с(хс(г, о у~а о о од где Ру=((х, г): д~/а(х~а, Ои г -'х+у). Рис. 27 85 Сделаем чертеж множества Р„(см. рис. 28). Из этого чертежа получаем, что Р,=((х, г): 0(г(у+у'/а, уо)а(х(а)() () ~(х, г): у+ — "(г(у+а, г — у(х а~ а и, следовательно, а о+уа>/а а В) ~Д ~ (х, у, г) с(хугуугг= ~ у(у ~ сгг ~ )>(х, у, г)с(х+ О о о уОа а а+а а а у)уу» у* ( уо, у, уу =Цууу*» уу*, у, у+ау>а у-у О, ан>а + ) ~ с>уйг ') ~(х> у, г) >>х> Оо где Ро — — ((у, г): О(у' -а, 0(г(у+у>/а), Ро — — ((у, г): 0(у~~а, у+ус/а (г(у+а» Рис 2В Сделаем чертеж множества Ро (см. рис.
29). Из этого чертеже получаем, что Р,=((у, г): 0(г(2а, у(г)(у(а), где у(г)= — (у а'+4аг — а) — решение уравнения у'+ ау — аг О 2 у удовлетворяющее условию у(г)) О. Следовательно, а Оа а а Ц ((у((г ~ ~ (х, у, г) ((х = ~ с(г ~ ду ~ ) (х, у, г) Нх. Р (з)а О у[а) у(!а Сделаем чертеж множества ВОО (см. рис. 30). Из этого чертежа получаем, что 0О = ((у, г): 0 < г < а, 0 < у < у (г)) () Ц ((у, г): а < г ( 2а, г — а < у у (г)) О 2= ау+у Рис. 29 Рис. 30 и, следовательно, а а у(а) а ~~ с(у((2 ~ ~(х, у, 2) ((х= ~ ((2 ~ ((у ) 1(х~ у~ 2)((х+ и' а и * — у О Оа у(а) а + ~ (г ~ у ( 1(х, у, 2),(. а и — а свау Объединяя полученные равенства, получаем, что а т) Я~~(х, у, 2)((х()уйг = ~~ ((у((г ) ('(х, у, г) с(х+ О) Оа у/а а Оа а а + ~~ ((Ус(2 ~ ~(х~ У, 2)((х = ~ ((2 ~ ()У ) ) (х, У, 2) Нх+ а — у О у(а) у'/а О а фа) а Оа у(а) а + ~((2 ~ Ф ~ ('(х, у, «)Их+~ ((2 ~ ((у ~ ) (х, у, 2)а(х.
О а у — * — у Возьмем теперь равенство Ц~~(х, у, г)йхг(уйг= — ) о(хЦ)(х, у, г)дую, 'о о вк где Р„=((у, г): 0<у<Уйх, 0<г<х+у) и сделаем чертеж множества Р (см. рнс. 31). Из этого чертежа получаем. что Р, = ((у, г): 0 < г < х, 0 < у < ~/ох ) () () ((у, г): х < г < х + )~ ах, г — х < у < 'д ах ) Рас, 31 Рас. 32 и, следовательно, а к Так д) ~~~~(х, у, г)йхйуйг=~о(хейг е) ((х, у, г)о(у+ 'О о о о а к+ так мак т ак + 1дх ~ Нг ~ 1(х, У, г)дд= Цй;Щ ~ )(х, у, г),(у+ о к к — к гм о мак + ~~дхйг ~ 1(х, у, г)ду, оо где Р,=((х, г): 0<х(а, 0<г<х) и Ро = ((х, г): 0 < х < а, х < г ( х+ у их ). Сделаем чертеж множества Р, (см. рис, 32). Из этого чертежа получаем, что Р,=((х, г): 0<а<а, г<х<а) 88 н, следовательно, У ах а а Уак Ц(гх((г 1 ~(х у г)((у=,') [)г 1((х,) ~(х' у' г)[(у' ов о а к а Сделаем чертеж множества Воа (см.
рис. 33). Из этого черте« жа получаем, что 0о=((х, г): 0(г(а, х(г)(х г)() ()((х, г): (2(г(2а, х(г)((х(а), 1 где х(г) = — (22+а — ')/ах+ 4аг ) — решение уравнения х+ )У ах=2. 2 Рис. ЗЗ Следовательно, У ак а к Уак ~~йх((г ) ~(х, д, г)ф=~((г ') ((х ~ ~(х, у, г)()у+ о* х — х а х[х) *-х о 2а а ) "ах + )" ((г ~ с(х ~ )(х, д, г)((у. а к(х) х-х Объединяя полученные равенства, получаем, что а а Уак е) Ц~~(х, д, г)()хс(у((г= ~ [)г ~ ((х ~ ~(х, д, г)()у+ а * о а к Уак 2а а так + 8) ()г ) (Хх ~ )(х, у, г)йд+~((г ~ с(х ) ((х, д, г)()у, х(х) х — к а х(7) х — к 89 Равенства а), б), в), г), д), е) и дают все возможные варианты расстановки пределов интегрирования в рассматриваемом тройном интеграле.
Пример. Функция )еиС(Р), где Р=((х, у, г):О~х~а, Ои, <у(х, 0 <г <у). Проверим равенство а к у а а а ~с(х ~ с(у ~)(х, у, г) с(г= ~ с(г ~ с(у 5)(х, д, г)Нх. о и о О к а Решение. Задача сводится к изменению порядка интегрирования в тройном интеграле. Если проводить решение методом перестановок соседних переменных, как в предыдущем примере, то потребуется сделать три перестановки: хуг — «-ухг-а-угх- гух.
В данном случае, когда промежуточные перестановки нас не интересуют, а условия на переменные х, у, г достаточно просты — все неравенства линейны, — можно провести нужную перестановку аналитически, не прибегая к геометрическим соображениям. Действительно, из совокупности всех трех неравенств следует, что минимальное возможное значение г есть О, максимальное — а, т. е. 0(г<а. Из первых двух неравенств получаем, что максимальное значение у есть а, а из третьего, — что при фиксированном г должно быть г<у, итак, г«у~а.
Наконец, нз первого и второго неравенств следует, что у -'х -а. Итак, Р=((х, д, г): 0<г<а, г <у<а, у(х(а» и, следовательно, а к а 1 ~ ~ ) (х, д, г) йхс(ус(г = ~ с(х ) ф '1 ) (х, у, г) с(г = 'о а о о а а а =~ с(г ) йд ) 1" (х, у, г) с(х. о * и Характерные ошибки в решении задач на расстановку пределов интегрирования те же, что были подробно разобраны при рассмотрении двойного интеграла (см. с, 41). 2. Замена переменных. Переход к цилиндрическим, сферическим н обобщенным сферическим координатам Так же, как и в двойном интеграле, основной проблемой при замене переменных в тройном интеграле является нахождение множества значений новых переменных. П р и и е р.
Вычислить интеграл Дирихле ~ Ц х'у'г' (1 — х — у — г)' с(хс(у~(г, 1 — о 1 — о — и 0 о и 0 1 0 0 о и 0 =- и'о. о — ов и — ив — ио ов ив ио ов ив ио Виектнвность отображения ф нарушается на ребре у=О, г=О, О« ~х«:! пирамиды О, прн этом точка х=О, у=О, г=О является образом квадрата: и=О, О~о «1, 0 кв «1, а точка х=хе>0, у=О„ г Π— образом отрезка и=хе, о=О, О~в«1. Применяя вторую теорему о замене переменных в кратном интеграле, получаем, что Дх'уег' (1 — х — у — г)' Нхс(ус(г = Яи» (! — о)' иео' х о о, )( (1 в)е и»оввс (1 и)» иеос(иД с(в ~ и»+тес+в (1 и)» с(и ~ ост» (ч (1 о)» с(о ~ в~ (1 в)е с(в = ~ и»не+'+'(! — и)» с(и ~ В(»+ 1, д+ 1) ое+'+' (!+о)» с(ое = 1 е Бета-функция Эйлера В (х, у) = ) Гх 1 (1 — 0~ »ех свнеана с »эмма-фук- е Г (х) Г (у) няней ссотношеннем В (х, у) = Г (х+ у) 91 где .0 — область, ограниченная плоскостями х+у+г=1, х=О, у О, г=О, полагая х+у+г=и, у+г=ио, г=иов.
Решение. Данные четыре плоскости являются границами ограниченного множестваЪ=((х, у, г), х) О, у) О, г) О, х+у+ +г(1). Так как минимальные значения х, у и г равны О, то и минимальные значения и, о и в равны О. Из соотношений х+у+ +г и, х+у+г~! следует, что и.«1. Так как минимальное значение х равно О, то при фиксированном и максимальное значение у+г равно и, отсюда н из соотношения у+г=ио следует, что максимальное значение о равно 1. Так как минимальное значение у= О, то максимальное значение г при фиксированных и н о равно ио, отсюда н нз соотношения г=иов получаем, что максимальное значение в равно 1.
Итак, точкам (х, у, г)ен.0 соответствует множество точек (и, о, в): 0,=((и, о, в): 0(о(1, 0(и(1, 0( (в((Ц. Выражая х, у, г через и, о, в, получаем, что отображение ~р:01-ее» есть х=и(1 — о), у=ио(1 — в), г=иов. Якобиан ф равен 1 =В(г+ 1, у+ 1) ~ иг+4+' г(\ — и)'В(у+г+2, р+ 1) г(и= о = В(г+1, а+!)В(а+г+2, у+1)В(р+д+г+3, з+1)= Г (г + 1) Г (Ч+ 1) Г (Ч -1- г + 2) Г (р -1- 1) Г (р + Ч + г + З]Г (з -',- 1] Г (г+ Ч+ 2) Г (4+г+ р+ 3) Г (р+ су+ г + з-1- 4) Г (4 + 1) Г (г -]- 1) Г (ч -1- 1) Г (р -1- 1) Г (р+ 9+l+ $+ 4] 3 а м е ч а и и е. При вычислении интеграла ~ ] ~ иг+4+ 4' (1 — и)' о4+']л (1 — о)' иГ (1 — 1о)' г(шЬ 2ю оа мы пользовались тем, что множители, не зависящие от переменной интегрирования, можно выносить за знак соответствующего интеграла по этой переменной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
