И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Математический анализ в задачах и упражнениях (1111792), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Положим г (х, у) =~ О, х'+у'=0 и проверни, что так определенная функция Р(х, у) непрерывна на Р. Непрерывность Р во всех точках, кроме начала координат, следует непосредственно из ее задания. Чтобы проверить непрерывность Р при х=О, у О, проще всего перейти к обычным полярным координатам '( "~ и~и"~-';""~""~ — ' г "~Н-иы91 /(гсозф, гяпф)— 'Ф к% Отсюда получаем оценку !/(гсозф, гяпф)1~~ (10г, Р/1 — 3/4 31пз 2ф которая и показывает, что Врп Р(х, у)=1!ш1(гсозф, гз!пф)=О=Р(0, 0).
1,21- 1а.о> о Итак, как было указано выше, можно считать, что под знаком интеграла стоит непрерывная функция ( ! (х, у), х'+ уз Ф О, О, х*+у'= О. Положим х=гсоз1/3 ф, у= гяп'/а ф, тогда уравнение заданной кривой примет вид г'=соз'/аф — 3!п'/аф. Так же, как и в предыдущем при- мере, делаем вывод, что — Зи/4(ф~~и/4 и в качестве прообраза множества Р получаем множество Рз=((г ф): — Зп/4 ф(п/4 0 га((соз4/зф — яп~~зф)). Итак, ~ хр — хза+ха аз — хор+ 24 4(х 4!У = '$/д4 +'24 о р/3 р/азы/з З/4 (Срз / Π— Рга / 43 / — ( /!ф ~ (соз4/а ф — соз фа!п'/а ф+ 3 1 — ау/4 о + созз/з)ф япз/з ф созр/3 ф 3!и'4р+ 3!п4/з ф) /а соз-2/3 ф 31п-2/3 ф 4(г Вычислим внутренний интеграл (444 4~-цп 21 2м ~/а 4/3 (со34/3 ф соз фа!п//3 ф+соз2/3 ф яп2/3 ф о соз ~/3 ф зщ ф + зри 4/а ф) га соз — 2/3 ф 21п — 2/а ф 4(г 1 =.
— (соза/3 ф+ я и'/' ф) соз-'/' ф я и — '/' 4р = 3 соз ф 3!и 2/з ф ! соз 2/з ф 3!и — 2 3 3 3 Заметим, что под знаком внешнего интеграла стоит неограничен- ная функция — Озз 4р 3(и-з!з 42 -1- — соз — з/з 49 31п 42 1 1 3 3 Вычислим интеграл от первого слагаемого лу4 о — соз 4р 31п-з! з 49 41<р = — ~ ми-ззз 42 о1 зги 3 3 -Зл!4 — Злз4 44/4 + — " 31п-з~з р4(з(п у=з(п!1ЗЧ !" +31п!!ЗЧ (л"=— 3.) — Зл/4 о з,—. о 2 Точно так же вычисляется интеграл от второго слагаемого, сле- довательно, ~ х4 — х'у + хзуз — хуз + у41 1 4 2 у 32 4(х 41д = — — = ~/хи в+ ув 3 ЗЗГ2 3 о П р и м е р. Вычислим Я(1 ( ) ( ) )4(хну Ю где з)= ((х, (у);х,вО, у вО, ( — ) +( У ) (1~.
Р еш ен не. Сделаем замену переменных". х=аиз~з, у=-Ьа!!з. Из условий на координаты точек (х, у) еизх получаем, что множеством изменения переменных (и, о) является 4)! — — ((и, о):и~О, в~О, и + о4 Ц. Якобиан отображения 4р: О! -л 1) равен 2аЬ -пзв-згз Итак, на отрезках и=О, 0(о~1 и о=О, 0(и~1, являющихся прообразами отрезков х-О, Оч:ул:Ь и у-О, 0(х(а, условия гладкости нарушаются. Тем самым такая замена приводит к несобственному интегралу: Я (1 — ( —" ) — ( — ") ) 4(х 4(у = Я вЂ” (1 — и — о) Х о о, ! ! — и З4и пзо з~здиоЬ= — '! и — !~З41и ~ (1 — и — о)о — "зЖ.
9,) 57 В данном случае и внешний, и внутренний интегралы — несобственные. Вычисляя их, одновременно убеждаемся в их существовании ,/) о — 2/3 До 3 (1 и) о//3 ~ '-Я о4/з~ ~-м 4 0 = 9/4 (1 — и)'/, 1 лм 9 (1 )4/3 ~/з ( б ~ ° 1/з/ 1~/з( (1 9 ) Ф с 0 3. Площадь поверхности и ее вычисление О п р е д е л е н и е.
Множество 5 ~Яз называется поверхностью в /сз, если для любой точки зен5 существует открытое множество У(з), зенУ такое, что У(з)()5=г(Р), где О=((и, о):из+о' 1)— замкнутый круг в )тз и г:/с'-~-)сз — гомеоморфизм, т. е. биективное отображение, непрерывное вместе с обратным. В курсе анализа ограничимся рассмотрением более узкого класса — кусочно-гладких поверхностей.
Определение. Поверхность 5 называется простой гладкой поверхностью, если 5 есть образ замыкания области Ос:)с". 5=(г(и, о); (и, о) еи5) и выполнены условия: 1. область 0 жорданова; 2. отображение г: Π— ~5 гомеоморфизм; 3. отображение генС/(0); 4. для всех точек Ме — — (и„ое) ~О ранг матрицы // х„'(М,) у„'(М„) г„'(М,,) ' г'(М„)=( ", ", ", ) равен двум (векторы г'„и /'„ неколлинеарны). Отображение г=г(и, о): д — ~-5 называется параметрическим представлением поверхности 5; переменные и и о †параметра 51 область Π— областью значения параметров и, о. Параметрическое задание поверхности 5 будем записывать следующим образом: 5=(г(и, о), (и, о)с=О) или 5=((х, у, г): х=х(и, о), у=у(и, о), гг а(и, о); (и, о) АР).
Точки зс— : 5, являющиеся образами точек О, будем называть внутренними точками 5; точки зе-:5, являющиеся образами множества 30=0~0 (границы О) — граничными точками 5. Возникает вопрос, может лн простая гладкая поверхность, рассматриваемая как определенное множество точек трехмерного пространства, иметь несколько различных параметрических представлений.
88 Определение. Пусть Р и Р,— жордановы области в»тз. Отображения г: Р— «-1«з и р: Р«-«.1«э называются эквивалентными, если существует такой диффеоморфизм «р: Р— Р„что «р(Р)=Р„ «р(ЩЭ)=Р«~Р«(внутренние точки переходят во внутренние, граничные — в граничные) и г(М)=р(»г(М)) для любой точки М~ АР. Из наглядных геометрических соображений можно заключить, что эквивалентные отображения г: 0-~1«» и р: Р,- »»' задают одну и ту же простую гладкую поверхность. Диффеоморфизм «э: Р— т0«, осуществляющий эквивалентность г(и, о) и р(и», э«), назовем допустимым преобразованием параметров.
Определение. Поверхность 5, являющаяся конечным объединением простых гладких поверхностей 5„1<д<Я, называется кусочно-гладкой поверхностью, если выполнены условия: 1. поверхности 5„и 5р, равд, не имеют общих внутренних точек. 2. если множество (.„,,=5„()5, содержит более одной точки, то Рр, ц представляет собой кусочно-гладкую кривую. Простые гладкие поверхности 5, будем называть компонентами 5; кривую Ьр,ч — линией пересечения компонент 5р и 5,. Из определения простой гладкой поверхности 5=(г(и, э), (и, в)Щ следует, что в каждой точке э0ев5, зэ — — г(им ээ) поверхность 5 имеет касательную плоскость, которая является плоскостью, натянутой на векторы г' (ио, о«) и г'„(и«ь оо). Пусть 5~(г(и, п), (и, о) евР) — простая гладкая поверхность; «()с[ф, Ь»~Х[»»Ь, Ьз) и ҄— разбиение отрезка [а„Ь«): а,=из< <и«<из«., и««Ь1, Т,— разбиение отрезка [а», Ьт): аг=эз< <п«« ...
п«ь Ь»ь Т Т ХТэ — разбиение прямоугольника [аь Ь!) Х [а»ь Ьз). Возьмем точку (иь п»)иР, 1 -!<в — 1, 1 =.1(т — 1, и обозначим би»» и»+« — иь Лэ;=и»+« — о;. Линейное отображение г'(и», и,) переводит множество векторов плоскости Щ выходящих из точки (м», и»), в плоскость, касательную к поверхности 5 в точке з„.
=г(и», э»). Прямоугольник и»(и<и»+„п»(и<п»«.«переходит при этом в параллелограмм о»п построенный на векторах г„'(и», п»)Ли», г,'(иь пг)боя Площадь [а»»~ этого параллелограмма равна 1[г„'(и»,о») хг,'(и„в»)[~ би» Аэ»([г„'Хг„'[ обозначает векторное произведение векторов г„' и г,'). Обозначим символом ~ »,С сумму, распространенную на те индексы», 1, 1«-»<п — 1, 1Я( <т — 1, для которых (иь и») е=Р.
О п р е д е л е н и е. Площадью [5 [ поверхности 5 называется !пп ~ )оп[1[г„'(и», э»)Хг,'(и», и»)[/Ли»Лпп цг> о»л где ЦТ) — параметр разбиения Т. вв Введем обозначения: Е = ~ г„~ ' = х„' + у„'*+ г„'; б = ! г; ! ' = х,' + у„' + г,'; Г=(г„' г,',)=х„'х,'+у„'р„'+х„'г,', тогда площадь поверхности 5=(г(и, о), (и, о)сна вычисляется по формуле ~5~ Я~/ЕΠ— Р аи до. о (Поскольку в формуле (1) под знаком интеграла стоит непрерывная функция и интеграл берется по жордановой области, то в данном случае интеграл существует.) Площадь простой кусочно-гладкой поверхности определяется и вычисляется каи сумма площадей составляющих ее простых гладких поверхностей. Величина площади поверхности должна быть, конечно, фактом внутренней геометрии поверхности, т.
е, не зависящей от различных способов ее представления. Действительно, при регулярном отображении ~р:6-+01 величина интеграла в формуле (1) не изменяется. Следовательно, приведенное определение площади поверхности 5 (г(и, о); (и, о)снХ)) корректно (не зависит от выбора параметрнзацин). Заметим, что даются и другие, эквивалентные приведенному, но более «геометрические» определения площади поверхности, Пусть 5=(г(и, о), (и, о)~Е), отображение г:б-эх †гомеоморфизм и на множестве Е, Ес:К площади нуль нарушены условия его гладкости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
