И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Математический анализ в задачах и упражнениях (1111792), страница 5
Текст из файла (страница 5)
25 Как уже делалось раныпе, разобъем интервалы изменения первой координаты на такие подынтсрвалы, чтобы границы изменения второй координаты записывались при помощи простой аналитической фунссции. Именно О = ( (х, д): О ( х ( Р'3, — х ( у ( — ' — ) 1) 1) ((х, у): ф'3 ( х ( 2, — )с 4 — х' ( у ( У4 — х') Е>=((х, у): — 1 д( О, ~/ — Зу(х()/4 — у') 1) 0 Цх, д): О ( у ( 1, )/ Зу ( х ( $ г 4 — у') . Итак, з'з гоз г г'в — * ~ ~ ) (х, у) ссхсву = ~ сЬ ~ 1 1х, у) с)у - ) сХх ~ ) (х, у)с1у =.
о а —, сз рз — в 1 — в* о кв — м кв — г = ) с)у ~ 1'(х, д)с)х+ ~с)у ) 1(х, у)с)у. я — зг Ф' зг Предлагается самостоятельно сделать чертеж области вг и убедиться, что его использование облегчает переход к повторному интегралу. Вообще, если множество сг, по которому берется интеграл, задано неравенствами на координаты входящих в него точек, то переход к повторному интегралу может быть проведен чисто аналитически, хотя чертеж и в этом случае делает некоторые переходы более наглядными. Если же множество в".с описано как «область, ограниченная данными линиями», то наглядное представление 0 на чертеже дает существенную помощь в переходе к повторному интегралу или в переходе к полярной системе координат.
При этом подразумеваются следующие важнейшие условия: область должна быть ограниченной, т. е. лежать в некотором квадрате; граница области должна содергкать не вырожденные в точку дуги всех кривых, указанных в условии, т. е. ни о,„на кривая в условии не должна являться лишней. Если прн этих требованиях область все-таки однозначно не определяется, то либо указывается точка в той области, которую желают рассматривать, либо определяется расположение области относительно осей координат.
Наконец, если все эти соображения пе приводят к однозначному определению области, надо рассмотреть все возможные варианты. П р и м ер. Расставим пределы интегрирования в том н другом порядке в двойном интеграле 1') 1(х, у) Ыхсву, где вэ 0=-1(х, у): х'+у'(4) и ~ св С(б). 226 Решен не. Множество Р (см.
рис. 1) является замыканием области, стандартной как относительно оси ОХ, так и относительно оси ОУ: Р = ((х, у): — 2 ( х ( 2, — )/ 4 — х' ( у ( ')2 4 — хз); Р = ((х, у): — 2 ( у ( 2, — '(ьь 4 — у2 < х ~ ~')/4 — уз) . Р22, ! Поэтому 2 Ь'4 — М 2 Ь4 — 2' ~~1(х, у)сьхоьу=- ) 4(х ( 1(х, Яь(у= ( ь(д '1 ((х, у)дх. — Ь 4 — л' — Ь 4 — 2' П р и мер.
Расставим пределы интегрирования в том и другом порядке в двойном интеграле ~~ 1(х, у) ььхг(у, где о Р = ((х, у): х2+ у2 ( 9, х2 + (д+ 4)2 ~ 25) и ь' ~ С (Р). Р е шеи и е. Множество Р (см. рис. 2) является замыканием области, стандартной относительно оси ОХ: Р=((х, у): — 3(х(3, )/25 — х' — 4(у()2г9 — х') Поэтому 2 ь 9 — м ~~1(х, 12)г(хь(у= ~ ь(х ~ )(х, у)Ну. о — 2 722 — 4~ — 4 Так как область Р не является стандартной отвосительно оси ОУ (например, горизонталь у=1/2 пересекается с Р по двум непересекающимся отрезкам ~ —; — — ~, ~ —; — ~)> то, 2 2 2 2 для того чтобы расставить пределы интегрировании в другом по- 27 рядке, необходимо представить множество 0 как объединение множеств; Р=У!()Рз()0м где Р!= — ((х, у):1 =у<3, — )'9 — у"-<х <)/9 — д'), 1Э, = ((х, д): 0 < у « ' 1, — '$/9 — у' < х < — '$/ 9 — 8у — у'), Р, = ((х, у): 0 ( у ( 1, )! 9 — 8у — у' ( х < )/9 — у'), Рис.
2 к каждому из которых уже применима теорема Фубини (каждое г!х 1=1, 2, 3, уже есть замыкание области, стандартной относительно осн 01') и, следовательно, з Уо — з* Д1(х, у)г(х!(д=(!)у ( )(х, у)с(х+  — У9 — у' ! — У 9 — ОУ-!У. ! У9 — гн ) !(у ) 1'(х, у) с(х + 1 !(у ~ 1(х, д) с(х. о Уз— М а Уз,„„ П р и м е р.
Расставим пределы интегрирования в том и другом порядке в интеграле ~~)(х, у)пхоу, где о В=((х, у): ~х)+ (у! < 1) и 1"епс (О). Р е ш е н и е. Множество х1 является замыканием области, стандартной относительно обоих осей координат (см. рис. 3): О = ((х, у): — 1 < х < 1, — 1+ ! х ~ < у < 1 — 1х ! ) =- =((х, у): — 1 <у< 1, — 1+ !у) <х< 1 — )у().
28 Следовательно, ! 1-!»! 1 — !»! ~~!»(х, у)!(хну= ~ 1(х ! )(х, у)!(д=- ( дд 1 1(х, у)!(х, о' — 1 — 1+!»! — -1+и но такое представление содержит негладкие функции 1ь!х~ и Рис. 3 11- !у~. Чтобы избавиться от таких функций, представим 1! в виде .0=01()1)2, где 121=((х, у): — 1(х(0, — 1 — х у~1+х), 1» =-((х, у): 0(х <1, — 1+х<у(1 — х), для расстановки пределов интегрирования в порядке х, у и в виде !»=»»1()2»2, где Ът=((х, у): — 1(у(0, — 1 — у~х ~1+у), 1)2=((х, у): 0(у~1, — 1+у~х(1+у), для расстановки пределов интегрирования в порядке у, х.
В итоге получим, что 1+» 1 1 — » ~~ ~(х, у) ах!(д= ( с(х ( 1(х, у)1(у+ ~Ых ~ )(х, у) Иу= о' -1 — 1 — » а -!'+* о !+„ 1 1-1-а = ~ !(у ~ ~(х, у)Ых+~дд ~ ~(х, у)!(х. — 1 — 1-» О -1'+» П р и мер. Расставим пределы интегрирования в том и другом порядке в двойном интеграле Д 4 (х, у) дхс(у, где в В=((х, у):х'+у'<25, Зх(4 ~у() и (БАС(В).
Р е ш е и и е. Множество В есть замыкание области, не являющейся стандартной как относительно оси ОХ, так и относительно оси 0)". Для каждого из повторных интегралов сделаем свое разбиение множества В (рис. 4). Ряс, 4 Представив множество В в виде В=В~()В2()ВБ, где В,=-((х, у): — 5(х(0, — ~/25 — у':5 х ~)/25- — у'), В ==((х, у): 0(х(4, (3!4)х у 1''25 — хз), В =- ((х, у): 0 5- х ( 4, — ~/25 — х' ~ у — (3!4) х), получаем, что 0 225 — «« ~~4'(х, У)йх4(У= ( 0х ( ((х, У)4(У о — К ОБ -« 4 4«25-«' — з24 « + (4(х ( ((х, у)4(у+( Б(х ( ~(х, у)ф, О 524 « О Представив множество В в виде В=В,,()В2()ВБ()В4, где Вз=((х, у): — 5(у-. — 3, — )/25 — у« 'х ~ ) 25 — у'), 4 В,= ~(х, у): — З~у(0, — ~/с25 — и' -.х — — у~, Оз — — ((х, у): О < у < 3, — '$Г25 — у' < х < — - у 4 04 — — ((х, у): 3 < у < 5, — $/25 — уз < х - '1 25 — уз) получаем, что У 2з-у' Я1(х, У)4(АУ= (' 4(У ( 1(х, У)их+ о -У24 — у' Π— 42/3 З 4узЗ + ~ 4(У ~ 1'(х, У) 4(х + ( 4(У ( 1 (х, У) 4(х + — 'з о з У 24 — у* +1 4(У ~ 1(х, У)4(х.
— У 24 — у' 2. Задан двойной (кратный) интеграл по множеству О. Расставить пределы интегрирования в каком-либо порядке. При такой постановке задачи мы имеем право выбора порядка в повторном интеграле и естественно стремимся к наиболее простому представлению заданного интеграла. Выбор может определяться как видом множества 12, так и свойствами подынтегральной функции, например, расстановка пределов в одном порядке требует разбиения множества 0 на меньшее число составляющих, чем расстановка в другом порядке, или подынтегральная функция четна относительно какой-либо координаты и множество О симметрично относительно соответствующей оси и т. п.
П р и м е р, Расставим пределы интегрирования в интеграле ~~(х, у)4(хз(у, где Р— область, ограниченная линиями: Ъ хз+уз= — 1Оу, у — = 2х — 5, у==-О и 1 с= =С(О) (см. рис. 5). Р е ш е н не. Область О стандартна относительно оси ОУ и не является стандартной относительно оси ОХ. Поэтому для расста- новки пределов интегрирования в порядке у, х можно не разби- вать 0 на составляющие области, а для другого порядка расста- новки пределов интегрирования такое разбиение необходимо. Ис- ходя из этого, выбираем порядок у, х. Самой верхней точкой мно- жества Ю является нижняя из точек пересечения окружности хз+ 1 хз+ уз 1Оу.
+у'=1Оу и прямой у=2х — 5. Решая систему ~ У' по- ~ 2х — 5=у, лучаем координаты точек пересечения: (3, 1) н (5,5). Следова- тельно, 0 = ((х, у): О < у < 1, )Г! Оу — у' < х < — (у+ 5) ~ 31 1 (д с5)сс ~1 1(х, у)с(хну= 1ду 1 1(х, у)0х. 'о с Пр имер. Расставим пределы интегрирования в интеграле ~~(х'+у')с(хс(у, где Р— область, ограниченная линиями: Зу— 'о — 4х=0, Зу+4х=0, х'+у'+9=10х, содержащая точку М(1/2, О) ~ем. рис.
6), и )~С(0, 101. Ряс. 6 Рис. 5 Р е ш е н и е, Область 0 не являстся стандартной нн о~носительно оси ОХ, ни относительно оси ОУ, но симметрична относительно оси ОХ. Так как подынтегральная функция ср(х, у)=1(х'+ +у~) четна относительно координаты у и М=((х, у):х'-1-у'(10)=оО, то ~ ~ ) (х'+ у') с(хс(у = 2 ~ ~ 1 (х'+ у') йхйу, о 'о, где Р>=РЯ(х, у), у)0) — верхняя половина области Р. Область Р( уже является стандартной относительно оси ОУ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
