И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Математический анализ в задачах и упражнениях (1111792), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Если же взять интервал (а, (>) на оси ОХ в двумерном пространстве й>, то он будет множеством меры нуль, но этот интервал в й> у>не не есть открытое множество. Определен и е. Пусть множество 0с:й". Функция ур.й"-~. (1, хо:-,, Хр(х) = [ /> называется характеристической функцией множества 0. О и р ел ел е н и е. Множество 0~й" называется жордановым множеством, если 0 ограничено и функция Хр интсгрируема по Риману на любом брусе!ссй", таком, что 0с:1.
Величина )Хр/(х / называется и-мерным объемом или мерой в смысле Жордана множества 0 и обозначается ~0) или )/(0). Величина ) Хр/1х не зависит от выбора бруса 1, содержащего множество 0, и, следовательно, данное определение корректно. Можно показать, что для того, чтобы множество 0~й было жордановым, необходимо и достаточно, чтобы оно было ограничено и множество его граничных точек было множеством меры нуль в смысле Лебега.
Приведем теперь эквивалентное определение п-мерного объема, не использующее понятие интеграла. Обозначим через Нь множество всех брусов 1„ьс:й, для которых а,=- —, (>/=- ///> 2/~ йз Рви Х, 1я-./(и. Для множества 0~й" через Нх(0) обозначим объединение всех брусов из Нж которые целиком входят в 0, через Нь(0) — объединение всех брусов из Нж которые пересекаются с О. Объем Нх(0), равный сумме объемов составляющих его брусов, обозначим )/ь(0); объем Н„(0) — К(0).
Если Ит7„(0)=!1т)/ь(0), то множество 0 жор> ь даново и число У(17), равное значению этих пределов, есть его п-мерный объем. Любой брус 1,,эс:17" является жордановым множеством, и ь' определенный выше его объем ,'1,,э| =--! ! (Ь,— а,) совпадает с объемом У(!,,ь), определяемым по приведенному выше правилу для объема жордановых множеств. Используя указанные выше свойства множеств меры нуль, можно получить следующие свойства жордаиовых множеств.
!. Дополнение жорданова множества до любого включаю>цего его бруса есть жорданово множество. 2. Объединение и пересечение конечного числа жордановых множеств есть жорданово множество. 3. Если М вЂ” жорданово множество объема нуль, то любое его подмножество есть жорданово множество об.ьема нуль. 4. Пусть М, с 1с" — замкнутое жорданово множество, Ч» ен С(М>), >р,еи С(М,), ч>,(х)(>р,(х), х~ М,.
Тогда множество М=-(х, х=- = (х„х„..., х, х„.».): т = (х„х,, ..., х„) ~ И>, >р, (х) ( х„+> ( >р, (х)) жорданово. 5. Пусть М>с:Я вЂ” ограниченное множество и С вЂ” константа. Тогда множество М=-(х: х=(хь х,,...,х„„С): т=(х„х>ь...,х„)~ е:— М>) есть жордаиово множество объема нуль, 6. Множество Мс:>х>, границей которого является спрямляемая (в частности, кусочно-гладкая) замкнутая кривая без само- пересечений, является жордановым множеством. Множество Мс:. с:Й', границей которого является кусочно-гладкая замкнутая поверхность без самопересечений, является >кордановым множеством.
7. Если .'.1 — жорданово множество, то М (замыкание М) н М' (множество внутренних точек М) — также жордановы множества и объемы множеств М, М и М' равны, т. е. >М~ >М~ >М»~ Так, например, отрезок (а, Ь! оси ОХ есть жорданово множество объема (Ь вЂ” а) в одномерном пространстве 1>> и жорданово множество объема нуль в двумерном пространстве 1г' (и любом )с', п>2) (свойство 5); круг ((х, у):х'+уз(а') и множество 17=- =((х, у): 0<х'+у'(а') являются жордановыми множествами объема па" в )х' (свойство 6).
Несвязное множество, являющееся объединением двух шаров ((х, у, г):х'+у'+г'(а') и ((х, у, г):х'+уз+г> — 8аг+!5а'(О), есть жордаиово множество объема - — паз в 1>»> (свойства 2 и 6). з О и р од е л е и и е. Функция 1': 11"-~11 интегрируем а по Риману на Рс:Я", если 0 — жорданово множество и функция ~.Хв инте- ) 1Х с(х грируема по Риману на брусе 1, таком, что 0с:т'. Число l называется интегралом Римана от 1 по 0 и обозначается ) гстх". о Можно показать, что существование и величина интеграла 11дх не зависят от выбора промежутка 1, если 0с:1, и Из определения и свойства 7 жордановых множеств следует, что функция 1 одновременно ннтегрирусма или нет на всех трех множествах О, 0 и 0о, где 0 — замыкание множества 0, а 0'— его внутренность, т.
е. множество внутренних точек 0 и ~гт(х=- ) 1" дх=- ~ 1 дх. о о Р Поэтому в дальнейшем при качественном анализе или вычислении интеграла по области 0 мы часто будем переходить к рассмотрению интеграла по замыканию 0 этой области, не оговаривая специально этого перехода. Множество интегрируемых по Риману на множестве 0 функций будем обозначать Я(0), Внимание! Записывая символ Я(0), подразумеваем, что множество 0 жорданово.
Критерий Лебега интегрируемости по Риману Пусть 0 — жорданово множество и 1: 0 — +те. Для интегрируемости по Римнну функции 1 на 0 необходимо и достаточно, чтобы 1 была ограничена н множество ее точек разрыва было множеством меры нуль. Из критерия ннтегрнруемости Лсбега и свойств множеств меры нуль получаем С л е д с т в и е 1. Ограниченная функция, имеющая не более чем счетное множество точек разрыва на гкордановом множестве О, интегрирусма по Риману на этом множестве. С л еде т в и е 2. Если 1еиЯ(0), то 1енЯ(0,) для любого жорданова множества 0,~0, Основные свойства кратного интеграла Римана 1. Если 1"еиЯ(0з) и 1е=Я(0з), то 1еиЯ(040з); если множества О, и 0з нс имеют общих внутренних точек (не перекрываются), то 1с(х = ) 1т(х + ) 1г(х (аддитивность интеграла).
о,оо, и, о. * Если функпня 1 задана на подмножестве Е~:Л", то доопределяем ее на все пространство, полагая 1(х) =О для любого хыЕ'. 2. Пусть [~Я(О) и денЯ(0), тогда / аяЯ(0); для любых постоянных С, и Ст (Сп'+ СЫ) енЯ(0) и ~ (С,[.( Сзд) (х= С, ~ (Дх+С, г) йдх (линейность интеграла). о О о З, Е, / -я(О), у/ я(0) н ! ] /" с/х~ < ~~ ~Пс/х, о о 4 Пущи [е= Я(0), ус=: Я (0) и [(х) > п(х), х -:=-- О, тогда '1 7 дх ~ ~ д ~(х.
Ь о 5. Если [ ~ 3(О) и и=/п1/, М вЂ” --зцр/, то о о лт/О) < '1 / с(х(М)0). и б, Пусть [ сп у~(0), д ей Я(Р), д(х)-эО для любого х~=-'О, т= = 1п1[, М = энр[, тогда о о т~дс/х== ] / т/с/х < М ~1 ус/х. о Ь о Если при этом 0 связно и / е= С(0), то найдется точка ~ ен Р, такая, что ') 7 йс/х=~Я) ] дух (теорема о среднем). о о 3 а м е ч а н и е, Условие связности, как показывает следующий пример, существенно. В самом деле, дли функции /(х) =- =э(дпх и множества Р=(х: х~[ — 2, — 1]()[1, 2]) имеем 1/'/(х= Ь =О.
Однако не существует такой точки "„, принадлежащей множеству О, что /(а) =О. 7. Пусть денЯ(0) и ограниченная функция /: 0- /т совпадает с й для всех хе— = 0 кроме множества объема нуль, тогда 1е= енЯ(0) и /'с(х= ') д//х. о В частности, если на жордановом множестве О функция /: : 0 — /7 ограничена и совпадает с функцией д~С(0) всюду, кроме множества объема нуль, то /с=Я(0). Поэтому в дальнейшем функцию, аналитическое выражение которой теряет смысл в точках множества обьема нуль, всегда будем предполагать доопределенной в точках этого множества; там, где возможно,— по непрерывности, там, где это невозмож- 10 но,— произвольным образом, лишь бы полученная функция была ограниченной.
3 а меч ание. Требование ограниченности функции 1(х) на Т1 в свойстве 7 существенно. Так, например, пусть д(х) =1, ! 1, хчь, «г с=-- 7«'; ) (х) = < и, х= —, «г~==Л' 2«« и 0 есть отрезок [О, 1). Функция 1(х) совпадает с интегрируемой на [О, Ц функцией д(х) всюду на отрезке [О, 1), кроме множества М=(х, х=!72', ленЛ), объем которого равен нулю (проверить!) но 1(х) как неограниченная функция не является интегрируемой на [О, 1). Теорема Фубини. 11усть Х вЂ” брус в «г, У вЂ” брус в )с"' и функция 1енЯ(ХХУ). Обозначим через Ч" (х) функцию Ч':Х-«. — «-Я, равную ~7(х, д)«1д для тек значений хенХ, для которых этот интеграл существует, и равную произвольному числу из отрезка [(Е) 17(х, д) дд, ((/) 1) (х, д)с(д[ для тех х~Х, для которых У д интеграл [1(х, д) не существует.
Обозначим через Ф(д) функцию У Ф: У- 1т, равную ) 1(х, д) дх для тех значений д~у, для котох рык этот интеграл существует, н равную произвольному числу из отрезка[(1.) «1(х, д)«(х, (Ь) ~1(х, д)г(х) для тех д~у, для котох х рык интеграл [ 1" (х, д) дх пе существует. Тогда Ф(д) е=Я(У), х «1«(х) с=Я(Х) и [ 1(х, д)о«х «1д = ~ Ф (д) г(д= ~ Ч'(х) г(х. хг У х Чтобы отличить кратный интеграл по (а+т)-мерному промежутку ХХУ от последовательно вычисляемых интегралов '1 Ф (д) «1д и ~ Ч'(х) «1х р соответственно по брусам Х и У, принято эти интегралы называть повторными интегралами от 1(х, д) и обозначать соответственно ~ Ф (д) дд = [ Нд ~ 1 (х, д) «(х и ~ Ч' (х) дх = ~ «(х ~ 1 (х, д) г(д.
У х х х й Если я=1, т=1, то теорема Фубини сводит вычисление двойного интеграла к последовательному вычислению двух одномер- 11 ных интегралов. В общем случае повторное применение этой теоремы приводит вычисление и-мерного интеграла к последовательному вычислению п одномерных интегралов: ~ 1(х„х„..., хв) а(х)... с(х„= .',ь ь, ь, ь и = 1 (х, ') а, 1 ... ) р( „..., Хв) ( „.
в, а, а Можно сформулировать теорему фубиии и тогда, когда интегрирование производится не по промежутку Т~йв+, а по произвольному жорданову множеству В~Да+'", но формулировка становится чрезвычайно громоздкой. Поэтому ограничимся формулировкой для частного, но наиболее широко используемого случая: Теорема.
Пусть Рс:.Кв — замкнутое жорданово множество, функции сс(еС(Р), арьеС(Р), ср)(х)«р2(х), хеР, множество М= =(Х: Х=(Х(, Х2 - Хв Ха+1) ° т=-(х„хь, ..., х„) ен Р, ср,(т) (х„„((срь(т)). Если )"с=С(М), то ') ) с(х= ~ ( (х,, хь, ..., х„, х„() с(х(с(хь... ((хвс(ха+1= Ра м Юа(х) = ~ а(Х(С(Х2...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
