И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Математический анализ в задачах и упражнениях (1111792), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Пользуясь понятием площади простой гладкой поверхности, определяется понятие площади и для поверхностей такого класса. Если прн этом интеграл (1) существует хотя бы как несобственный, то его величина равна площади ~5~ поверхности 5. Точно так же допускается не только регулярное преобразование параметров в представлении поверхности, но и такое, при котором условие биекции или условие гладкости нарушаются на множестве площади нуль.
Прн этом интеграл (1) преобразуется в условиях второй теоремы о замене переменных в кратном интеграле (см. с. 15). Если поверхность 5 задана явным уравнением: в=1(х, у), (х, у) енК т. е. 5=((х, д), 1(х, у), (х, у) енО), то формула (1) принимает вид П р и м е р. Найдем плошадь части поверхности х=асози(1 — сохо)+ аЬ япияпо, ~/да+ ы 60 у = а 51 п и (1 — соз О)— аЬ соь и 5 1п О, О'ай+ Ьй ай й!п О г=Ьи+— если 0(и(п, 0(оа,-,2п. Р еще н ие. Имеем х'= — иь!Пи(1 — соьО)+ ' ' созияпс, $ '(Газ+ Ьй х'=асозизйпо+ з!писозО, аЬ й ')абай + Ьй г'=Ь, г'= д ~~~, =(~ай+ Ьй' у'=аеози (1 — созо)+ ьтиьтО, аЬ $ ~/дй ! Ьй дЬ у'= аз!Пиз!ПΠ— соьисозо, й айзй Е=а'(1 — созО)'+ з!п'О+Ь'= ай+ Ьй ай Ьй — айсойа)й а'Ьй ййй+ Ьй дй ! Ьй ' б = а' з!Пй О+ — соай О+ айЬ$ ай сайй О =а', дй ! Ьй ай+ Ьй айЬ, айЬ ! ' .;..1'айЬ Р = 51П О вЂ”, (1 С05О) Созо+ — С05О = Удз+ Ьй Й/ай+ Ь' Ъ'ай+ Ь' айЬ ')/ай+ Ь" 21 Еб рй а (а + Ь вЂ” а сайд) О'ай+ Ьй йй 2$ )Б! = (5(и~ (а'+Ь' — а'соьО)й(О= У ай +.Ьй,) а й 2п (а'+ Ьй) = 2пйи'(1' ай-(- Ь'.
П р им е р. Найдем площадь части сферы хй+уй+52=!тй, если 2 2 2 х)(а, )у~» Ь, ий+Ьй<йй, еш ение. Цилиндр, построенный на гранипе прямоугольника ( — а(х(а, — Ь(у(Ь), вырезает на верхней и нижней по- лусферах части одинаковой площади. Представим уравнение верхней полусферы в явном виде: г= у~)г — х' — р'. Тогда — = — г дг дх — х дг — у — Так как на прямоугольнике 'Р'й' — х' — у' ' ду ЬФ' — х' — уг (х)(а, (у)(Ь(ах+ Ьг(й') условия гладкости функции х выполнены, то а (8! =2 ~г(х ~ ~/1+ У Ихс(у= — а — Ь а Ь а =2Я )Ы), "" =4Й ( ! Ы= ь' — *' — Ф ~ уг'-з -а а 1 хх дх =4)т хаги!и ) — Ь 1 $~й' — х'! — а,) Р'й' — Ь' — х' (й' — х') ~ — а а ь = 8а)т агсз1п, + 4Ь)г ~ г,ь р'йг аг $/йг — Ьг — хг — а а Π— 2Ы' ~,, — 2Ьй' ( (й — х) ~/й' — Ь' — х' ) (й+ х)'у'йг — Ьг — хг = 8а)т агса!п + + 8ЬЯ агса!и '(у'йй аг ~/ й* — Ь' Ь' — й + ай . Ьг — йг — ай — 4М (агса(п — агса!и, ! = (й — а) Ьй — Ь (и+а) Г и — Ь*,, ь =4)т ~2аагсз)п +2Ьагса!и а у'й~ — аг '$Гй' — Ь' йг (йг — аг — Ь') — а'Ьг 1 — Я агссоа (й' — Ь') (й' — а') Пример.
Найдем площадь части конуса г='у'хг-(-уг, если — 1~у+х 5, — 3~(у — х~(3, Р е ш ен и е. Множество Р=( — 1 х+у(5, — 3<у — АЗ) представляет собой квадрат с вершинами: А( — 2; 1), В(1; 4), С(4; 1), Р(1; — 2). для поверхности 8=((х, у), у хг+уг, (х, у) еи енР) имеем —, " . В точке 0(0; 0)ен дх Ьххг+ уг ' ду у'хг+ уг еиР гладкость отображения (х, у)- (х, у, ~Гх'+ у') нарушается.
Но так как для любой точки М= (х, у) еиР, кроме начала коор- д,1+( — ) +( — ! =2, фу ц 1,' 1+( — )+( — ) доопределяется в начале координат по непрерывности значением 12. Таким образом, Д д'1+(г,')х+(г„')'рхдд= ~~ 'д'2 Мха= о Ъ =~ 2 (Р~ ='(/2 )АВ)а=18~2 и рассматриваемая поверхность имеет площадь !Я) =18'д'2. П р и м е р. Найти площадь части конуса г'=хх — у', если 2хх гха" Ях Как и в примере на с. 61, цилиндр 2хх — гх-)т' вырезает на верхней г) О, г= д'х' — д' и нижней г 'О, г= — д'х' — д' половинах конуса части одинаковой площади.
Поэтому рассмотрим только верхнюю половину. Она задается формулой г= у'ха+да. Найдем, на какое множество плоскости ХУ проецируется данная часть этой поверхности, т. е. найдем множество Р изменения параметров х, д, в задании рассматриваемой поверхности: 5=((х, д, '~~х' — д'), (х, д) ен Р). Проекцией всей поверхности г=у'х' — дх на плоскость Хт является множество М=((х, д), (х(~ (д)). Проекция рассматриваемой части конуса отсекается от множества М проекцией на плоскость ХУ линии пересечения конуса г'=х' — д' и цилиндра 2' — Ф х.и щ „ур „„„й (* 7*' — и' 2х' — г' = )т" получаем уравнение этой проекции х2+д2=йг. Итак, Р=((х, д), (х! ) ',д), х'+дх(Р').
Далее, дх х дх ')/х~ — у~ ' дх — у ду 'у" х~ — у~ 1 + (г„) + (г ) = 1 + 63 На линиях д=х, д= — х, являющихся границами множества Р, условия гладкости отображения (х, д) -~ (х, д, )/х' — д') наруша- Р $Х2 ~х! дхду ются. Интеграл ~~ является несобственным.
Для его о у; вычисления — и одновременно проверки сходимости — воспользуемся симметрией множества Р и четностью относительно х подынтегральной функции и перейдем к полярным координатам Л/4 =2й'~2 ( "Ч' =2К'агсз!п(р 2з1пф)~ =и/(и, о Итак, площадь данной части конуса равна 2я/~ю. 3 а м е ч а н и е. Выбор в качестве параметров переменных к н у потребовал некоторых усилий для нахождения множества Р их изменения. Обратим внимание на то, что условие 2хт — г'(/тз, выделяющее рассматриваемую часть поверхности конуса, связывает только переменные х и а. Это подсказывает, что удобнее именно переменные х и а выбрать в качестве параметров. Используя, как и выше, симметрию поверхностей, получаем, что ~5~) — площадь поверхности Я,=((х, р'х' — г', г), 2х' — г'(Дз, х) г)0)— составляет 1/8 часть всей искомой площади. Имеем 1 Гя'+г* )Я) =8 ~Иг ~ дх=8~/2~~х' — г'~ пг = Общего правила для перехода от неявного задания поверхности Я уравнением вида г"(х, у, г) =0 и некоторыми неравенствами на координаты к, у, г к параметрическому заданию 5=(г(и, о), '(и, о)еиР), вообще говоря, не существует.
При таком переходе необходимо учитывать простоту как аналитического выражения отображения г: Р-~Яз, так и описания множества Р. В рассмотренных примерах неявные уравнения части сферы н конуса приводились к параметрическому представлению просто разрешением этих уравнений относительно выбранного переменного х, у или а.
Как было показано в примере, выбор этого переменного определяется удобством представления множества Р изменения параметров. Рассмотрим еще два класса часто встречающихся поверхностей. а) Поверхность вращения. Пусть в плоскости ХУ задана кривая х=х(г), у=у(/), Тд~/~~То не имеющая самопересеченнй н не пересекающая ось ОХ. Поверхность 8, полученная вращением этой кривой вокруг оси ОХ, чаще всего параметризуется следую- щим образом: 5 = (х = х (/), д .=- д (/) соз гр, г = д (/) з1 и гр, /=),Тм Т1), гр е= [О, 2п)).
Параметры г и р в этом представлении имеют простой гео- метрический смысл. Значение /о определяет положение плоско- сти, перпендикулярной оси вращения, в которой лежит точка зо(йл чч) енЯ, находящаяся на окружности, описанной при враще- нии точкой (х(1о), д(го))6=ЮГ; значение до есть Угол, на котоРый надо повернуть вокруг оси вращения точку (х(го), д(/о)), чтобы получить точку зо(го, ~ро) Для такой параметризации поверхности 5 имеем Е=х„'+д О=д'(/), Е=О, следовательно, ~ГЕΠ— /чо(Ьйр=1д(/)1 Ухс*+д~'ййо=1д1 о(чи/з, где дз есть дифференциал дуги кривой Г.
Для поверхности вра- щения имеем /~ЯТ„Т11, ~рен1[0, 2п1, и ее площадь равна зл 7 г, ~ ойр ~ ~ д ( гЬ = 2н ~ 1д1 ~Ь о г, т, — формула, которая несколько другим путем была получена при рассмотрении одномерного интеграла. П р и и е р, Поверхность Я получена вращением части трак- трнсы х=а(1п(и//2+соз/), д=агйп/, х)0, — (д(а относи- 2 тельно оси ОХ.
Найдем площадь ее части Зь заданной условием д> а/2. Р е ш ение. Параметризуем поверхность вращения Я, как бы- ло указано выше: Я=(а(1п1й(//2)+сох/), аз)п/созе, аз1п/з)п<р, и/2~/(бн/б, 0(гр «2л). Для кривой х=а(!п1н(//2)+соз/), д=аз1п/ имеем а . а соз'г х,'= — — агйп/=, д,'=асоз/, миг мпг гЬ=а а/, 1д(1)( сЬ= — а'соз Ый $!и г Из условия д)а/2 получаем, что для 5~ параметры / и ~р должны удовлетворять неравенству з1п (соз ~р- 1/2. Поскольку и/2 (Г~ «~бл/б„то 0 ~р « ' агссоз (1/2 з)п /), 2л — агссоз(1/2 з)п/) ~ <р(2п. 65 Итак, зп(6 вссссв(1!2 Ип О !5~ = ~ М ~ ( — авсозр)1((ф= П|2 †в|пс(1(2 в|п О зп/6 2 — (св ~|. ~а-ю(„. ||,*| и('2 2 = ав (г агссоз (1/г) ~1,— ~ ) = ав ~ — — 1и (2+ )г З)) .
1 Геометрически значение 16 определяет ту образующую цилиндра, на которой лежит рассматриваемая точка 26(16, )(6) ~5, а в(с — отклонение точки 66 от начальной (нулевой) плоскости ХУ. Для такой параметризации цилиндра 5 имеем Е=х', +д',, (2= 1, 22=0. Следовательно, ')/Еб — Р2(Ы(= 1/ х,' + у', й(й. Таким образом, площадь части цилиндра 5, определенной условием (1, Ь) ен0, вычисляется по формуле Ы 1/х,'+у,' ИЦ. Ъ , ° , ° Поскольку дифференциал ((з дуги кривой Г равен д х', +у', ((1, то приведенная формула (2) может быть записана в виде (2) б) Цилиндрическая поверхность. Пусть в плоскости ХУ задана кривая Г:х=х(1), у=у(1), (еи(Т„Т1). Цилиндрическая поверхность (или, коротко, цилиндр) 5, образованная прямыми, параллельными оси ОЛ и проходящими через точки кривой Г, наиболее часто параметризуется следующим образом: 5=(х=х(1), д=дЯ, г=Ь, 16-:(Т„Т(), Ь ен Я).
П р и м е р. Найдем площадь части цилиндра (х2+у2)'= а2(хз — у'), если х'+ у' — х2+ атяь О. Решение. Для параметризации кривой (х'+у2)2=аз(х2 — д2) в плоскости ХУ запишем уравнение этой кривой в полярных координатах: г=а 1/соз2ф, откуда получаем, что х= а)с'соз2фсоз ф, у= ау'соз2ф з(пф, з= 1(ггз+г' ~р = 1/с05 2(Р 66 Итак, данный цилиндр параметрически записывается следующим образом: (а'(/со52|рсозф, а1/соз2фз)пср, й; — и/4 басре (п(4, Зп(4(фе 'бп/4, /5 ен(с) и при этой параметризации р'ЕЙ вЂ” Р54/ф4/л = а4/фс)й/р' соз2ф. Используя симметрию поверхностей, видим, что ]54) — пло- шадь части данной поверхности, лежащей в первом октанте хъО, уъО, а~О составляет '/5 часть всей искомой площади. Множест- во значений параметров ф и /4 для 5, определяется условиями х~О, у)0, г~О, х'+ у' — ьл+ аз) О, откуда получаем, что О~ф(п/4, 0(/4(а'(/1+соз2ф.
Итак 55=(а'у'сж2~рсозф, а~/соз2фз|п4р, й; 0(ф~п/4, 0 ( (г ~ ~а ')/ 1 + соз 24р) 44|4 а У 4+са52Ч |51 =8 |5,) = 8 ~ с|ф Сс|/4 4с С052ф Я|4 =Яаз ~ ф 4/ф=.бас о СО5 2ф Ш4 4| 1'~'2 пп ф) о (с' | — 2 5гвс ф = 8а'агсз!п(1/2 |Оп ф) ~ 5'" = 4иас. ) ') ( (х, у) с/х4(//. о 4. Площадь плоской фигуры н объем пространственного тела Площадь !Р~ плоской области Р (из указанного выше класса) вычисляется по формуле (как объем жордаиового множества, см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
