И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Математический анализ в задачах и упражнениях (1111792), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Фактически анализ трехмерного интеграла мало чем отличается от анализа п-мерного интеграла для произвольного п>З, так как наглядные геометрические представления в основном уступают место аналитическим соотношениям. Непосредственно пз определения тройного интеграла следует, что если )енЯ(0) и множество 0 симметрично относительно плоскости Ху (ХЛ, у_#_), то из равенства 1(х, у, г) =1(х, д, — г) (1(х, у, г)=) (х, — у, г), ) (х, у, г)=) ( — х, у, г)) следует, что где Р,=РП((х, у, г), г~О), (Р,=РП((., д, г), у~О), Р,=-РП((х, у, г), х) О)), а из равенства )(х, у, г) = — )(х, у, — г) (> (х, д, г)= — > (х„— у, г), > (х, у, г)= — > ( — х, д, г)) следует, что Ц~)(х, у, г)((х((у((г=О.
'о Вычисление тройного интеграла производится с помощью теоремы Фубини (см. с. 11). Пространство )(з представляется декартовым произведением двух пространств меньшей размерности двумя способами: )('=>(>ХИ и 1('=ЯгХ)(>. Подробно рассмот- 2 1 1 2 рим представления >(з=)1(с,а> х Й(,> и Й>=й(,> >( Й(г,а>, поскольку все остальные варианты представлений Йз получа(отея из этих двух перестановкой обозначений осей координат.
Сформулируем теорему Фубини для рассматриваемых представлений в простейших условиях на множество интегрирования и интегрируемую функцию. За исключением единичных случаев, именно эти условия, дополненные свойством аддитивности, применяются для вычислений.
2 > Теорема Фубини (для представления Й'=Ям,„> х И(м). Пусть 0»сф,„> — замкнутое жорданово множество, ф>яС(0а), фее= С (Ро), ф((х, у)(ф,(х, у), (х, у) е=Ом 0=((х, у, г):(х, у) ен0„ (р, (х, у) ~ г -' ф, (х, у)), 1 еи С (О). Тогда ча(х,а> Я>(х, у, г)((х((у((г=((х((у ~ 1(х, у, г)((г. о Ъ, ч,('*,(» Отметим, что при данных условиях множество В жорданово ук(к,у) (см. свойство 4 с. 8), интеграл ~ Г(х, у, г)((г представляет ч,(к,у) собой непрерывную функцию на Р,, следовательно, все интегралы, входящие в равенство, имеют смысл.
П р и м е р. Область В ограничена плоскостями х=О, д=О, х+у+г=а, х+у — г=а. Вычислим тройной интеграл Я +, ((х((д((г, о пользуясь его представлением в виде Чк(к,у) ~Ябх(у ~ ",+",— )г. о Мку) Решение. Найдем систему неравенств, которой удовлетворяют координаты точек М(х, у, г)еиР, Плоскости х+у+г=а и х+ +у — г а пересекаются по прямой х+у=а, г=О, следовательно, для точек М(х, у, г) енВ или х+у>а и — (х+у)+а<г<х+у — а, или х+у<а и х+у — а<г<а — (х+у), иначе одна из плоскостей х+у+г=а, х+у — г=а окажется в условии лишней. Условия х+у)а, а — (х+у)<г<х+у — а при любом условии на знак координат х и у определяют неограниченную область, следовательно, для характеристики координат М(х, у, г)еиВ нужно взять неравенства х+у<а, х+у — а<г<а — (х+у).
Если при этом хотя бы одна из координат х илн у отрицательна, то опять получаем неограниченную область. Итак, В=((х, у, г), (х, д) е= В„х+у — а<г<а — (х+у)), где В„=((х, у), х) О, у) О, х+у<а) (см. рис. 23). Применяя теорему Фубини, получаем, что а-(к+у) Я " ((х((у((г = ~~ ((х((у ~ " ((г= о Ок к+у-а = Д и (агс(й — ) ~ ((х((у= Оц = — ~ ~ (х+ у) агс1и ~! — — ~ ((х((у, 2 ГГ / к+у ') а а о, Применяя теорему Фубини к двойному интегралу, получаем, что — ~ ~ (х+ у) агс1и ~1 — ) Ихг(у = 2 РГ / х+ут ° 3,) а Оа Р а — х = 2 ~Ь 1 (х+у) (д(1 — "~" ) (у.
а 3,/ а о о Рас. 23 Далее, О х а 2 ~ (х+ у) агс1д (1 — "+ н 1 ду = 1 2/ агс(и (1 — — ) Ж = а / 3 а/ о а = ГоаГС(И ~1 — ~ 1 ~" + ~ " О(1= — ХоаГС1Н (1 — — 1+ д ) ~х,) д'+(а — /)о 1 а / +а(а — х) — а'1п (1+ ( — ) ), а ~ ~(а — х)- — агс12(1 — — ) — а!п ~1+ ( — ) ) ~ ах= о 1 = а ~ 1а/ — а (1 — 1)о агс(и à — а 1п (1+ Го)1 й = о = а' ~ — + агс1п/ ~ — — ~ /)о и 1 с (1 /)в й— 2 3 3,/ 1+/о о — 1! и (1+ Р) ! „'+ ( — Й1 = а' ! — + — ~ (1 + 9) а( — 1п 2-!- о ! !+~* о о о Т е о р е м а Ф у б и н и (для представления )то= йм1 Х Роом).
1 2 Пусть 0 — область, ограниченная кусочно-гладкой замкнутой поверхностью без самопересечений, н !енС(Р). Тогда Р ) ') ~ 7'(», у, г) ахауаг = ') ~(г ') ~ 7" (х, у, г) о(хо(д, о' р о где интервал (р, д) есть ортогональная проекция 0 на ось ОЯ; 0,,=((х, у, г): (х, у, г)он 0, г=го) есть пересечение 0 с плоскостью г=го (сечение Р горизонтальной плоскостью г=го). Отметим, что при данных условиях множества Р„ген(р, д) ограничены кусочно-гладкими замкнутыми кривыми без самопересечений (связность Р, не обязательна), следовательно, являются жордановыми множествами так же, как и область Р (см.
свойство 8 с. 8); интеграл ~~7" (х, у, г)АЫд представляет ннтегрио, руемую (необязательно непрерывную) функцию на (р, д), следовательно, все интегралы, входящие в равенство, имеют смысл. П р и м е р. Область Р ограничена цилиндрами хо+го=аз и уз+го=аз. Вычислим тройной интеграл Б дхддкг о Решение. Подынтегральная функция 1(х, у, г) 1/(2а+г) зависит только от переменной г. Представим данный интеграл в 1 ,„„, ~а~! о(хо(у.
Так как ограниченная область Р ле,> за+ г Р жит внутри обоих цилиндров, то координаты точек М(х, у, г) енР удовлетворяют неравенствам хо+го<а', до+го(ао (рис. 24,а). Отсюда получаем, что ортогональной проекцией Р на ось ОЕ является интервал ( — а, а) и 0=((х, у, г): — а<г<а, (х, у) ен Р), где 0,=((х, у, и): и=г, !х!<У а' — г', !д!<T а' — г' ) (см.
рис. 24,б). 79 Итак, Величина ~~пхс(у есть площадь квадрата о„следовательно, о,' Д~йхЫу=4 ~ Ыг = й — а О а =- 4 ~(2а — г) с(г — 12а' ~ = 4а'(4 — 3 1и 3), га+ г Ркс. 24 пр р. тр ь ю „,р„(~1~(*,д, )ю чь .„и— область, ограниченная поверхностями а(хг+уг)=хг(а — г), хг= =ау, ух=ах и содержащая точку Мо(а/8, а/12, а/2) и /енС(Л), представим в виде повторного: е ~ ((г ~~/(хю у, г) Йхйу.
я Ь, Рещение. Координаты х,е а/8, уа=а/12, га а/2 точки Ма удовлетворяют неравенствам а (ха+ уа) ~ х„г„(а — г,), хого ( ау„у,г, ( ах,. 80 Следовательно, для координат х, у, г любой точки из области Р должны выполняться неравенства: а(х'+у') <хг(а — г), хг< ау, дг< ах. Так как левая часть первого неравенства неотрицательна, то отсюда получаем, что или 0<а<а и х)0, или ген( — оо, О)()(а, +оо) и х<0.
Условия х<0, г<0, хг>ад, дг<ах и х<0, г>а, хг<ау, уг<ах определяют неограниченные области, Следовательно, Р=((х, у, г); х)0, 0<".гс а, а(х'+до)<хг(а — г), хг<ау, уг < ах). Отсюда видно, что ортогональной проекцией Р на ось ОЯ является интервал 0<а<а. Фиксируем гоен(0, а), тогда пересечением области Р с горизонтальной плоскостью г=г, является плоская область Р,,=((х, у~ г) а=го а(х +д')~<хго(а го) хго<ад дго<ах), 7о (а — 2о) т. е.
часть круга с центром в точке ( ' ', О, го) и радиу- го (а *о) сом ', лежащая в плоскости г=г, между прямыми 2 хго=ау и уго ах (см, рис. 25). Итак, о ) ')) ~ (х, д, г) с(хааа= ') с(г ') ') ) (х, д, г) с(хф. о о Оо Рос. 25 Пример. Вычислим тройной интеграл ~Цгс(хс(удг, где Р— о область, ограниченная частями плоскостей г=О, г а, г=За, частью параболоида аг+ (хо+до) =2ао, лежащей между плоско- 8! »стями г=О и г=а и частью конуса гз=З(хи+уз), лежащей между г)лоскостями г=а и г=За (см.
рис. 26, а). Рис. 26 Решение. Из условия видно, что ортогональной проекцией области Р на ось ОЕ является интервал (О, За), а горизонтальная плоскость г=гз пересекает Р по кругу, радиус которого равен ) 2а' — аг для О~г а и г,(73 для а~г<За. Следовательно, й(*) =)( й»»=*1(»*»»-( » о» Функция Ф(г) разрывна в точке г=а, но интегрируема на (О, За) (см. рнс.
26, б). Окончательно, За а За )) й»»й-)й()ш =)(2 и — ')йй( — й= 3 о 9 а ла' 27ла' ла' 22 = ла' — — + — — — = — ла . 3 4 12 3 Запишем двойной интеграл в представлении тройного интеграла как повторный. Тогда тройной интеграл 9э(» у) ф~(х, у, г)(зги((г=~~ахйу ~ 1(х, у, г)(зг= о» и, 1»,»1 З = ~ 1(г Ц 7 (х, у, г) ахну аа представится в виде трех последовательных одномерных интегра- лов: Ь ус(х) тс(х.у) Я~)(х, у, 2)((х(1у(12=~((х ~ ((у ~ 1(х, у, 2)()г= о л у,(х] сус(х,у) Л хс(у) Чс(«,у) ) «,(«) у,(х,«) = ~ ((у ~ ((х ~ 1 (х, у, 2)((г = ~ ()г ( ((х ~ 1 (х, у, г) ((у = с к,(у] у,(к,у) р «,(«] у,[х.к) у у.(«) «с(у,к) = р) ((г ~ ((у ~ (с(х, у, 2)((х, р у,(к) хс(у,«) где хь уь (рь 1=1, 2, — некоторые функции соответствующих аргументов. 2 к у 1 ИСПОЛЬЗуя ПрЕдСтаВЛЕНИя )(Ь=)((у,«) ]( Р(х] И )(Ь = Н[х.к) )( )([у).
получаем еще две возможные последовательности одномерных интегралов: у кс(у) ««(уа) Ь «с[к] у,(к,«) ') ((у 1 ([2 ~ ( (х, у, 2)((х, ~ ((х ~ ((2 ~ 1 (х, у, г)((у, с «Ду) х,(у,х) л кс«1«) У,(«,«) где гь хь у; — некоторые функции соответствующих аргументов. Каждому такому представлению тройного интеграла Ц~ ( (х, д, г) с(х()у()г соответствует определенная форма записи Ь условий на координаты точек М(х, д, г) ен0: 0=((х, у, г):а<х(Ь, у,(х)<у<у,(х), (р,(х,у) <г<ф (х,у)); 0=((х,д, г):с<у ((, х,(у)<х<х,(у), (р„(х,у)<г<(р,(х,у)); 0=((х, у, г): р<г:- (), х,(2) <х<х,(г), у,(х, г) <у<у,(х, г)); 0= ((Х, д, 2): р 2~ ((), у((2) < д» ук(2), Х)(д, 2) <Х<ХЬ(у, 2)); 0=((х, д, г):с у<((, г,(д)<г<г,(у), х,(у, г) =х<х,(у, г)); 0=((х, д, г);а(х Ь, г,(х)<г<г (х), у,(х, г) <д<д,(х, 2)), и, наоборот, запись тройного интеграла в виде трех последовательных одномерных определяет соответствующие неравенства на координаты точек множества, по которому берется интеграл.
Представление тройного интеграла в виде последовательности трех одномерных будем называть расстановкой пределов в тройном интеграле. При этом, как н в двумерном случае, подразумевается требование, чтобы функции, определяющие границы одномерных интегралов, были гладкими. Каждая последовательность одномерных интегралов, представляющая данный тройной интеграл, может быть получена двуь у() мя путями. Рассмотрим, например, интеграл ~ ((х ~ ь(у к а у,(к) аа(х,у) Х ~ ) (х, у, г)((г. Такая последовательность одномерных интеаз(» у) тралов получается из повторного интеграла Чх(х.у] Ц ь(х()у ~ )(х, д, г)((г= Ц~ Ф(х, д)((х((у О, а,(»,У) гл при представлении двойного интеграла ~ ~ Ф (х, у) ((хну в виде О, Ь у,(х) ь ~((х ~ Ф(х, у)((х и нз повторного интеграла ~ ь(х ~~ 1(х, д, г) (ьу((г а у,(х) а Ох при представлении двойного интеграла ~ ~ ) (х, у, г) ((у((г в виде О к у,(х) а,(к,у) ь(у ~ ~ (х, д, г) дг, а~(х) Чнх,у) Эта двойственность позволяет свести решение задачи перестанов- ки порядка интегрирования в тройном интеграле к перестановке порядка интегрирования в двойном интеграле, меняя местами ли- бо первые две, либо последние две из трех координат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
