И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Математический анализ в задачах и упражнениях (1111792), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Рассмотрим наиболее часто применяющиеся преобразования переменных в тройном интеграле. 1. Границами множества 0 являются поверхности уровня трех независимых функций ~р;(х, у, г)=а; и ~р1(х, у, г)=бь 1=1, 2, 3 Тогда 0=((х, у, г): а,<~р„(х, у, г) уо а.,<<р,(х, у, г) <Ь,„ а,«р,(х, у, г) <64) и отобРажение 4Р:и=<Р~(х, У, г), и=~Рг(х, У, г), 1а=гРг(х, У, г) РегУ- лярно. В этом случае переход к переменным и, о, 1а переводит множество 0 в промежуток У=((и, о, в): а,<и Ьо а,<о<бы а,(~1а~<уг) Я~)(х, у, г)дхг(ддг= ')~~1'(и, и, ю)]]Г(дийнйа, о где 1'(и, о, в)=)(х(и, и, ю), у(и, о, ю), г(и, о, 1е)) н Я.— якобиан отображения ф '.
П р и м е р. Вычислим тройной интеграл Я '+' (д3г, о где 0=((х, у, г): 0<х<у<3х, О<г<3(х-1 у)<бг, 1 < 4г (х + д) < 4). 92 Р е ш е н и е. Рассмотрим отображение зр1и - —, О= —, и/г Х(Х+у). (/ и+и х з тогда получим 1 си~3, 11з~о~2, 114~за~1, отображение зр ': х= з/оп/1(и+1), у=и(/'ои//(и+1), г= ~(ыио, якобиан 4)-1 равен 1 з/ ю 2(и+1) ЗГ /и у 2(и+1) з/ /и ( +1)з 2 [и+1) (/йи/ и (и+ 1)з 2(и+ 1) з/и (и-(-1)* О / м Следовательно, отображение зр регулярно и з з о НЗ Ьз з з з з 1/3 1/4 1 1/3 1/4 = 1п 3 ° — (9 ')/ 3 — ) — (1 — — ) + + 1п 3 2 ()'3 — =) 2 (1 — — ) = / 679 — 1631 = 1пЗ ( — '(IЗ вЂ” — )/2 ) ~ 200 1600 2.
Цилиндрическими координатами точки М(х, у, а)ы)тз называется тройка чисел г, Ч/, Ь, связанная с числами х, у, а формула- ми х=гсоз1р, у=гз!п1р, г=й. Фактически цилиндрические координаты — это полярные коорди- наты в плоскости ХУ и обычная декартова координата в ортого- нальном дополнении плоскости ХУ вЂ” оси 03. Переход к цилинд- рическим координатам в тройном интеграле — зто переход к полярным координатам в двойном интеграле ~~ г" (х, у, г)рхдд, если тройной интеграл представлен в виде ~ ~ ~ Г' (х, у, г) йхауг(г = ~ дг ~ ~ ) (х, д, г) гхДу, Ь я или в двойном интеграле ~~ Ф(х, у)дну, ое если тройной интеграл представлен в виде чик,у) ~~~~(х, у, г)ахаудг=Дахау ~ ((х, у, г)аг= чпк,м = ~~ Ф(х, у)уха. Этот переход ничем не отличается от подробно разобранного в предыдущем параграфе перехода к полярным координатам в двумерном случае.
Якобиан перехода к цилиндрическим координатам равен г. Обратим внимание только на то, что если переход делается в интеграле вида ~~~(х, у, г)дну, где область ь, зави- В, сит от г, то и пределы интегрирования по переменным ф и г, вообще говоря, должны зависеть от г. П р и и е р, Вычислим тройной интеграл Ц ~ г (х'+ у') ЙхНдсЫ, где область В ограничена поверхностями х'+у'=аг и (хг+у')'= аг', пользуясь переходом к цилиндрическим координатам. Р е ш е н и е. Поскольку обе поверхности, ограничивающие об- ласть й, являются поверхностями вращения относительно оси Ог,, то сделаем чертеж меридионального сечения () (см. рис.
34). Линией пересечения заданных поверхностей является окруж- ность г=а, х'+у'=аз, ортогональной проекцией 0 на ось 02 яв- ляется интервал (О, а), а на плоскость ХУ вЂ” круг х'+уз(а', го- ризонтальная плоскость г=гм гоен(О, а) пересекает 0 по круго- вому кольцу с центром на осн ОХ, внутренним радиусом аго и внешним — $~аго . Следовательно, з х =((х, у, г): О<г<а, ага (х'+у')'с а'ф хз+ уз ("+ Нз)* И =* (х, у, г): хо+уз(азв ' (г(1/ откуда получаем, что о Ц ~ г (х'+ уз) т(хйуйг = ~ го(г Ц (х'+ у ) йхйу, Ь о, Рис, 34 где д ((х ) .
з~(хз ( з)»~~о» з) з з мв4кочча ') ~ ~ г (х'+ уз)дхо(удг = ~ ~ (х'+ у') Мха ~ г йг, о о где О,=((х, у): х'+у' . аз). Переходим к цилиндрическим координатам,в обоих представлениях: з го 7» ~~~г(хо+уз)дауа(г=~йй~ йр ~ тзй о О О »в у д~~В у — ".' Ц ~ г (хз+ уз) а(харуо(г = ~ ззвр ~ юг ~ Ы)з. О о а вв а а а 1 л э э йэ (а Ь)э о(й '( /ээ Зйэа ~ /ээаэ+ 56эаэ 12 аэ+ ээ 12 о о 4йа! 4иа — 4/ээаэ — 4/!аэ + 4а'+ — ) ЙЬ = Ь' и аэ Ьэ + аэ / 2+ 4+2!и 2 — 4 — 1 = 4 ) аэ 1159 = — ( +21п2 — л). 12 1 420 3. Сферическими координатами точки М(х, у, г)енЛэ называется тройка чисел г, гр, эр, связанная с числами х, у, г формулами х = г соз !р соз эр, у =- г з!и !р соэ эр, э .= г з!и эр.
Сравнивая эти формулы с формулами связи декартовых и полярных координат в и-мерном пространстве (см. с. 16), видим, что сферические координаты переходят в трехмерные полярные координаты преобразованием хэ=г, х,=х, хэ= — у, ср,:=- — — '4, 2 грэ=!р.
Отсюда можно сделать вывод, что якобиан 7 при переходе к сферическим координатам есть гоз(пор!=гэсозэр и для любого жорданова множества Рс/тэ и функции /е-=С (Р) имеет место равенство ~~ ~ / (х, у, э) о(хо(уо(з = ~ ~~ / (гсозорсозэр, ! 3!игр сох эр, гя!пэр) Х О О, Х гэ соз эр г(гйро(эр, где Р,=((г, ор, эр)) ~ ((г, гр, эр): г) О, — л/2 =эр(л/2, а(!р~ (а+2л) — прообраз Р. Так же, как полярные координаты (г, !р) точки М на плоскости, сферические координаты (г, 4р, эр) точки М в пространстве имеют простой геометрический смысл: г — длина радиуса-вектора из начала координат в точку М, эр — угол этого вектора с плоскостью ХУ (!нирота), ор — угол проекции радиуса-вектора на плоскость ХУ с положительным направлением оси ОХ, равньш углу вертикальной полуплоскости, содержашей радиус-вектор с начальной (нулсвой) положительной полуплоскостью ХЕ, уъО (долгота).
97 Иногда сферическими ьоординатани называют непосредственно трехмерные полярные координаты в такой нумерации: х=х,=гз(пфсозср, у=х,=гз!пфз1п~р, г=х,=гсозф(г) О, О (» ф и, О ( ср ~ 2п). При таком переходе от х, у, г к г, ~р, ф якобиан вычисляется по общей формуле п-мерных полярных координат, т, е. 7=гг 81п ф. Всюду в дальнейшем будем использовать сферические координаты, определяемые с помощью равенств (1).
Переход к цилиндрическим или сферическим координатам в пространстве так же, как переход к полярным координатам на плоскости, можно рассматривать как переход к согласованным с декартовой цилиндрической или сферической системам координат. Поэтому, как и в предыдущем параграфе, для множеств значений г, «р, Ь и г, ~р, ф не будем вводить нового обозначения, а будем рассматривать множество )) как в виде Т1=((х, у, г):...), так и в виде 0=-((г, ~р, 6):...) и О=((г,<р' ф)):... ) с указанием условий на соответствующие координаты.
Пример. Расставим пределы интегрирования в сферической системе координат в интеграле ~Я~ 1(х, у, г) пхнут, где о ~С(й), Р— область, ограниченная сферой хг+уг+гг=а', параболоидом 2(ха+уз)=Заг и плоскостью г=О. гх'= заг Рис 38 Р е ш е н и е. Так как все поверхности, ограничивающие область О, являются поверхностями вращения относительно оси ОЯ, то сделаем чертеж меридионального сечения 0 '(см. рис.
35). Область .0 лежит выше плоскости г=О, вне параболоида 2(х'+уз) = =Заг и внутри сферы х'+у'+ гг»а~, т. е. П: ((х, у, г): г)О, х'+у'-(-г',а', 2(х' р у')»Заг). 98 Перейдем в неравенствах, определя1ощих условия на декартовы координаты точек области О, к сферическим координатам. Получаем, что г, гр, ф должны удовлетворять неравенствам: гэ!пф> >О, гэ<а', 2г'соэ'ф>Заг з!и ф. Дополнительных ограничений на угол ф эти неравенства не дают, следовательно, 0<гр<2п, — геометрически это видно из того, что рассматриваемая область есть тело вращения относительно оси ОЯ.
Следовательно, если точка Ме— = О, то и все точки Мо для которых радиус-вектор ОМ, получается поворотом радиуса-вектора ОМ относительно оси ОЕ, также принадлежит О. Так как г>О и — п(2<с!<п(2, то система неравенств эквивалентна системе 0 -. <г<а, 0<ф<и/2, 2г сок'-'ф>За з(пф. Первое и третье неравенства могут выполняться одновременно только при условии 2соээф> > За(пф, откуда получаем, что з(пф(Ъ Учитывая второе неравенство, получаем окончательно, что Б= ~(г, гр, 1р): 0 <гр < 2п, 0 <ф<п(6, и, следовательно, ) ) '! ((х, у, а) Зхг(уг( =- Э" 2ч жб а г(т ) г(ф З ((гсоэя~соэф,гэ(игр соэ ф ГБ1п т) г соэфаг.
О 0 зампчасо.'Ф П р и м е р. Расставим пределы интегрирования в сферической системе координат в интеграле Я!'(х, у, г) ахг(удг, о где 0=((х, д, г): х> О, (х'+у'+г')а(а'г'(х' — д'), х'+у'(г', г О) и (ив С(3). Решение. Перейдем в неравенствах, определяющих условия на декартовы координаты точек множества В, к сферическим координатам. Учитывая условие г>0, получаем систему неравенств: г'(а'э(п'фсоз2~р, соз'ф(э!и'ф, э(пф>0, соэ~рсоз1Р>0. Из первого неравенства следует, что сов 2~р> О, и, учитывая условия г>0, — п«р<п, — и!2<ф<п)2, получаем, что В = ((г, гр, ф): — п(4 ср ( и/4, и/4 ( ф ( и!2, О ( г ( < а э(п ф "дгсоз 2ч ). Оледона(е.(ь(ю, 0 '( '( / (х, у, г) /!ха/у/!г=- О' и/4 и "2 ас(пя('со(2с: с!ф ~ ЙР '( /(гсозфсозф, /5!п/Рсозф, гз!ппР)Х и/4 и/4 о Хг с052Р (/г. П р и и е р. Вычислим интеграл ') Я ') (хс -(- га) /(х ((у 4(г, 'н Перейдем в этих неравенствах к сферическим координатам.
Учитывая условие г»0, получаем систему неравенств: О < г < 2а сон ф соз 4Р, О < г < 2а 5(п ф соз ф(. В силу условия — л/2<(р~и/2 имеем, что созар»0, следователь- но, угол ф должен удовлетворять неравенствам; созф>0, 5(пф> >О, откуда получаем, что 0<ф<п/2. Наконец, поскольку оба не- равенства ограничивают г сверху, то этой системе эквивалентно неравенство 0<г .2асо52Рпнп(5!п р, соз/р).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
