И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Математический анализ в задачах и упражнениях (1111792), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Механические приложения тройного интеграла Р(У)=- ~)~ р(х, 1/, г) г(хс(//с!г. г Если тело занимает объем У и р(х, //, г) — нлгпнос,ь /го я точке (х, у, г), то по этой формуле вычисляется масса тела. 108 Пусть скалярная величина Р(У) распределена на жорданогой области У с плотностью р(х, у, г), являющейся непрерывной функ. нией, тогда Координаты центра тяжести х,, у,, г0 тела У вычисляются по формулам хя = — Я о (х, у, г) х йх 0у дг, 1Р у,= — Др(х, у, г) уйхйус1г, 1 Г м,) и г0 = — ц~ 1 о(х, у, г) г дх Иу Йг, где М вЂ” масса тела. м М.') Моментами инерции тела относительно координатных плоскостей ХОУ, УОЕ и #ОХ называются соответственно интегралы ет кот =- '1 ') ~ р (х, у, г) г' лх ф дг, дтаг =- '1 '1 '1 о (х, у, г) х' Их йу дг, етгох= ф р(х, у, г)уз с(хс(ус(г.
Моментом инерции тела У относительно оси ( называется интеграл еУ1 — — ~~~ р(х, у, г)г'дхдудг, р где г — расстояние переменной точки (х, у, г) тела У от оси (, р(х, у, г) — плотность тела. Моментом инерции тела Г относительно начала координат называется интеграл ~т,= ~~~ р(х, у, г)(х'+у'+г') 0хдудг.
Ньютоновым потенциалом О тела У в точке Р(х, у, г) называется интеграл Йс кч лй ГдЕ р(Х, у, г) — ПЛОтНОСтЬ тЕЛа И г=~/(Š— Х)' ', (и Ч1' Материальная точка массой ьч призягивчст ~с". ~ г с зот Р(Х, У, 2) Х=-йю — '==й 1~ Р(~, ть Р - . -У.-У,- ды й — х аи (((" . „ч — у 2= ы — '" =йт ~(~ р и т), ~) ~ ' пай/Ч 1~, где /й — постоянная закона тяготения.
П р и м е р. Найдем координаты центра тяжести однородного тела, ограниченного поверхностями х'+у'=г, х+у+г=О. Решение. Проекцией данного тела на плоскость ХОУ является область Р: хо+ до( — х — у, т. е. круг (х+ — ) +(д+ — ) ( —. 2о 1/У2 1-!1сазт+ь1пт] М=Яро/хду1/г=р~ дф ( Й г ~ Йг= 2 о о !~ — !(созе+по~О)+1!2 2о 1/У 2 =р ~ 1йф ~ г(1 — г(созф+з!пф) — го+г(созф+з)п !р) — 1/2) 1(г о о 1/! 2 =" х (- —,' )"=" (-- )!.""=т о Лалее 1 Г( хо=У,= — 1(~Рхг/хйдйг= м .),) у 2л 1/У2 1 г г 1 ! = — р~ о/ф ~ г(гсоз!р — 1/2) ( — ',— г') м ~ 2' о о !/У2 Х ~ ( — — го) 1/г= — ~ ( — — — )~ й 1 ! 1 о(г= — р2л ( — --1Х М 1! 2/ 2 ' 110 Поэтому в силу симметрии тела относительно плоскости х=у имеем хй=уо.
Положим хе гсозф — 1/2, у=гз1пф — 1/2. Масса данного тела равна 2Л 1/ Ф 2 1 — Г(сОГО+21ло) с~~ — рг1!х О(уО!г= —" д1р ~ г/г и,).),) м,) о о * — !ОООО+2! О1.1 О2 2Л 1/ ГГ2 4 С Г / = — ~ Обр ~ г~! — 2г(соз1р+э(п1р)+го+ — ) ~! — г' — — ) Й'= Л 2)~ 2) о о 22 1/О 2 4~,~ !' (,,(,, !)2),!, 5 о о Итак, координаты центра тяжести: хо — — уо= — '/и го — — '/о. П р ни е р, Найдем массу и момент инерции однородного тела, ограниченного поверхностями х2+у2=2г и х'+уо=г2 относительно прямой х=О, г=4. Решение. Масса М тела равна 2Л 2 Г 2 и = р Я //х О/у г/г = р ~ О(1р ~ дг ~ г О/г = 2яр ~ (г — — ) 1!г = О О Г/2 о Момент инерции т данного тела найдем по формуле 4/ = ~ ! ) РГ Ггх О/У О(г, где г — расстояние от точки (х, у, г) тела У до прямой х=О, г= =4.
Квадрат этого расстояния находится по формуле 22=хо+ + (г — 4)', поэтому ~ = р Я (х' + (г — 4)') Г/х О/у О/г = г 2Л 2 Г = р ~ О(1!Г ) й ~ г(го сооо 1р+(г — 4))2 О(г = О О Г'12 ГО ГО 2 (à — 4)2 ! 2 =Г) ГГ)Г (' 'à — ГГ.Г 2 3 3 о о 25 1 з з гз з (г — 4) =..- р ) — Г со5 ф — — со5 ф+ + 5 12 15 О ~ гЗ ')4 2 — — 4 4 (г — 4)4 ( 2 / 40ар 43 234 /! 3 !О Пр имер. Найдем ньютонов потенциал в точке Р(0, О, а), г) >Я неоднородного шара хо+уз+52=)42, если плотность его р(о, ть Ц пропорциональна квадрату расстояния точки (~, т), 5) до плоскости ХОУ, т.
е. р=Ц2, Р е ш е н и е. Потенциал найдем по формуле Переходя в данном интеграле к сферическим координатам, име- ем $=гсозфсоззР, т)=гз!(пфсоззР, Ь"=Г54пзР, 2а (а/2 Я (/(0, 0,.)=~~ ~~',~ (ф~ Π— а/2 О Я а/2 .1а ф К (51п ф) 4з — 2 ~ з~. О -а/2 Далее находим, полагая 4=5!пзь а затем гз= — г'+а' — 2аг1 ! азг !з а! (' (г'+ а' — 2')'; Ие = Зог4Э: г З 24 — ! а — г (гз-) а')'.2à — (гз+ а') ((а+ г)з — (а — г)')+ 1! Г 2 4азгз ~ 3 — ((а+ г)з — (а — г)')1 = ~~г'+ 2г'а'+ аз— 5 2азгз — --- (3азгз+ Заз+ /4+ а г')+ — (йа4+ 10а'г'+ го) ~ = 3 5 112 Следовательно, 5 4. НЕСОБСТВЕННЪ|й КРАТНЫН ИНТЕГРАЛ О п р е д е л е н и е.
Последовательность жордановых множеств (О ) =о 0 ен Т1", называется исчерпанием множества Ос:1сл, если В,с= Р,с=....«=0 ~О и Д Р„=Р, т=! Определение 1. Если функция 1:Р- 1«неинтегрируема в смысле Римана на множестве Рс:йл, но для любого исчерпания (Р ) множества Р, удовлетворяющего условию )~Я(0 ), сушествует 1пп )1 Йх, И ю то величина этого предела обозначается символом ) 1 дх, назыо вается несобственным интегралом от функции ) по множеству О. Тогда говорят, что этот интеграл ) 1'дх сходится. Если существует о такое исчерпание (Р ) множества В, что для любого т:1ееЯ(0„), но предел не существует, то говорят, что интеграл ) ) 0х расхоо дится.
Вместо выражения «интеграл ) 1 0х сходится» употребляюто ся такие: «интеграл ) )'Их существует в несобственном смысле» о н «функция 1 интегрируема в несобственном смысле на О». 3 а м е ч а н и е 1. Чтобы определение несобственного интеграла было корректным, формально надо было бы добавить требование независимости величины предела от выбора исчерпания (0„). Однако это требование излишне, так как если для двух исчерпаний (О') и (О ) существуют несовпадающие пределы 1'пп Тгдх и 11гп )Гдх, Ф ~л о ~л Ш то найдется такое исчерпание (Вл,)„для которого предел (1) не существует. Для иллюстрации рассмотрим 113 П р и м е р, Исследуем сходимость интеграла ~~ — !(х г)у, где г я к Ю=((х, у):хъ.1, — 1-~у< Ц.
Р е ш е н и е. Последовательность (Р„'), Р! =((х, у): 1(х т, — 1 =у~ Ц и последовательность (Ое) О = Рт () ((х, у): л» ~(х «(2л», О:~ ~у ~ (Ц '(см. рис. 37) являются исчерпаниями множества Р 1 (х, у) = —" ~ Я (Р ) и )(х у) = —" ен Я (Р' ) для любого т е= № к к Но «к 1 1цп 11 — ах!(у=!пп 1 — 1 уг)у=О, ГГЯ . Г!»К Г щ,').) к к«;«,1 к ! 1 — ! рк 2«к 1 11ш Д вЂ” "1(х!(у= 11ш ~Д вЂ” "2)хг)у+~ — "~у ду~ = — 1п2 р2 р! к«О Рис. 37 Различие этих пределов уже говорит о том, что интеграл У- ! — буях расходится. Действительно, возьмем последовательг у к р ность (О ): О,» 1=Р2» О,»=0,».
Эта последовательность явля- 1 2 ется исчерпанием 0; 1(х, у)=у)хеЯ(Р„) для любого тенй7 и 114 1!гп ~~ — г!хг(у=- !пп ц — г(хг(у=!пп ~~ — г(хг!у= — 1п2, т и, х и ии х ...).) х 2 Оад ги 1!гп К( —" г!хг(у=1!гп К вЂ” "г(хг(у=!!пг К( —" г(хг!у=-О, —,г,г к и и «Ц х и-,,г,~ х от оии 1 г 2" т. е. предела последовательности ~~ — г(хг(у не существует. Г у к от 3 а м е ч а н не 2. Если для функции !гР-и)г, Ос:)ги, не существует ни одного такого исчерпания (О ) множества Р, что для любого т:(еиЯ(Р ), то вопрос, сходится или расходится интеграл ! г!х, не имеет смысла; в таких случаях применим только термин «функция неинтегрируема в несобственном смысле на Р». Если (Р ) — такое исчерпание множества Р, что ге=Я(0,) для любого и, то множество М„точек разрыва функции ! на Р, есть множество меры нуль.
Поскольку О= () О„, то множество топ=-г и чек разрыва 1 на О есть М= 0 М„. Следовательно, М есть мнои=! жество меры нуль. Поэтому неинтегрируемость по Римапу функции ) на 0 может быть, как и в одномерном случае, обусловлена только двумя причинами: или множество 0 не жорданово, в частности неограничено, или функция 1 неограничена на О. Обе зти особенности могут иметь место и одновременно. 3 а меч ание 3. Если )еиЯ(0), то предел существует для любого исчерпания (Р ) множества 0 и равен Цс(х.
о Таким образом, понятие несобственного интеграла является обобщением понятия интеграла Римана. Множество функций, интегрируемых на 0 в смысле Римана или в несобственном смысле, обозначим через Я(0). Я(О) есть линейное пространство и функционал р(1)=) ггг(х линеен, т. е. о для любых двух функций )гний(Р), ~,еиЯ(Р) и любых двух чисел а, р имеем, что аг', + рг', ~ ох (Р) и ) (аг'г + р! х) дх = а ) г, г(х+ р '! )х г!х.
о о о Сравнивая определение кратного (п»2) н одномерного несобственного интегралов видим, что в одномерном случае берется в качестве множесгва 0 только промежуток и исчерпание Р производится только промежутками. Это связано с тем, что в одномер- 115 ном пространстве (на прямой) только ограниченные промежутки являются ограниченными связными множествами и тем самым естественно выделяются из остальных жордановых множеств. Выделение более узкого класса исчерпаний приводит в одномерном случае к более широкому классу функций, интегрируемых в несобственном смысле, именно появляется понятие условно сходящегося интеграла.
В многомерном же случае (п>2) имеет место Теорем а. Если для функции 1:Р— >)г, Рсй" (и>2) сходится Г интеграл 1 1' г(х, то сходится и интеграл ~ ~)1йх. В В Смысл этой теоремы в том, что в п-мерном (и>2) пространстве понятие сходимости и абсолютной сходимости несобственного интеграла совпадают, т. е. отсутствует понятие условной сходимости. В одномерном случае сформулированная теорема выглядит так.. Пусть функция ):Р- )(, Рс1г и последовательность (Р ) жордановых множеств удовлетворяют условиям: 1 1 ~ Я (Р ) для любого пг с- У; 2. Р, с Р, с... с Р„с:...
с Р, ( ) Р„=- Р. и=! Если для любой такой последовательности (Р„) существует предел 1!т ~) дх, то существует и предел 1пп 1(~)г(х. В О в !В о;~ и +ы Итак, обратим внимание на то, что символ ) 1(х)~(х имеет а два разных определения: 1нп 1 ) (х) г(х '1 +"'а 1пп ) 1(х) дх, л о а где Р. исчерпание луча [а, + со), Чтобы пояснить рззнипу меж В пс ерпанш.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
