И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Математический анализ в задачах и упражнениях (1111792), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Удельная теплоемкость пластинки меняется по закону с=2х+ +Зу. Найти количество тепла, получаемое пластинкой при ее нагревании от температуры 1,=10' до температуры /я=20'. 292. С какой силой плоский диск радиусом /т и массой М притягивает материальную точку массой гп, которая лежит на прямой, перпендикулярной диску и проходящей через его центр, на расстоянии а от центра. 293.
Пластинка в форме треугольника погру>кена вертикально в воду так, что ее основание лежит на поверхности воды. Основание пластинки а, высота /ь Вычислить силу давления воды нв каждую из сторон пластинки. 294. Прямой круговой цилиндр погружен в наполненный жидкостью сосуд так, что его середина — точка М вЂ” находится на глубине с йод поверхностью жидкости, а ось цилиндра составляет с вертикалью угол а. Длина цилиндра равна /, радиус основания а.
Вычислить давление на нижнее и верхнее основания цилиндра, если плотность жидкости равна ум 295. Пластинка, имеющая форму полукруга радиусом а, погружена вертикально в жидкость так, что горизонтальный диаметр ЛВ, служащий ее основанием, находится внутри жидкости, а вершина О полукруга соприкасается с поверхностью жидкости. Вычислить давление на пластинку, если плотность жидкости равна ум 142 296. Определить силу давления воды на боковую стенку х--0 цилиндрического сосуда хо+уз» аз, г=б, если уровень воды г=гт'. 9 6. Расстановка пределов интегрирования в тройном интеграле и его вычисление Вычислить следующие тройные интегралы; 1 «ку 298. ) Их ') 4(у ~ (х+ д+ г) 4(г о о о з и Уй~ —.к й — 2 й — «» — у» 309 ) озх '! 4(д ') ! (х, у, г) 4(г.
— и уй» «в о а У а*-«* У а*-«*-у 310. ~ дг ~ 4(д ~ ((х, у, г)4(х. — Ул' — «* — У п' — к' — у* Расставить всеми возможными способами пределы интегриования в цилиндрической системе координат в интеграле )') 1(х, у, г)4Лк, если ' Всюду в дальнейшем функция !(х, д, г) предполагается непрерывной в соответствующей области.
14з в»7. )«. )«»1,»,«,. о о' 2 2 «у «у 299. ~4(д~о(х ( — —. 300. ~ 4(у~о(г ~узсозхо(х. ,) х(1+ ходззо) у о — у о 4 «У« — «» з 2 †. з — у— 301. ~4(г ~ 4(х ~ г'ху'4(у, 302. ~4(г ~ 4(д ~ с(х. о — «о 1-* О Расставить всеми возможными способами пределы интегрирования в следующих тройных интегралах в декартовой системе координат о; 1 †« 1 — к — у ! к у 303. ~42х ~ 4(у ~ 1(х, у, г)4(г. 304. ') 4(х ~ 4(у)1(х, у, г)дг. о о о 1 4 †« 4-к — у 1 2 1 — 12 — Ц 306. ~4(х ') 4(у 1 1(х, у, г)с(г. 306.
) ох~ с(у ~ 1(х, у, г)42г, 2 3 2 — '« — Ц н Уа' — кв «»+у» 307. ~ с(х ) 4(д ~ 1(х, у, г)4(г. 308. ~ 4(х ~ 4(уй~ )(х, у, г)4(г. о о о 311. У =-((х, у, -З: .1'-'-', д"- (Я', 0(г(Н). 312. 1/=»((х, у, г): х-'+уг- А'г"', 0(г(Н). 3!3. 1/=((х, у, г):х-'.-у- "Ж, х'+д'+г'(4Й'). 314. У=-((х, г, г): х-' '-дг+г'(2аг, х'+у'(Р). 315. У=((х, у, г): хг+у'+г'(4)7У, г) )т). 316. Ъ'=(Гх, у, г): х'+у'+г'(4)7', х'+д'(2)сх). Расставить всеми возможными способами пределы интегрирования в сферической системе координат в интеграле Ц~ )(х, у,г)~Л~, если 317. Ъ'=((х, у, г): х'+у'+гз 4аг, х'+у'(Зг'). 318.
У=((х, у, г): х'+у~+г'(Щ г) Я/3). 319. У=((х, у, г): х'+у'(Я', 0(г(Н,(Н) Я)). с Записать интеграл З ~~ )(х, д, г) Зхдуйг в виде одного из повторных в цилиндрической системе координат, если 320. У= ~(х, у, г): — + ~ + — (!, х) О, д) О, г) 0~. 2 3 4 321. Ъ'=((х, д, г): х'+у'(г, 0(г(Н). 322. ((х, у, г): 0(х<1, 0(у<1, 0<г<1).
323, Ъ'=((х, у, г): (х — Я)'+у'+гг<Я', хз+(у — Я)г+г' М». 324. 1'=((х, у, г): х'+у' <2ах, ха+у'<а' — аг, г) О). 325. Ъ~=((х, у, г): 4х'+Зу'+гг(48, 0(2г(4х'+Зу'). $26. у-~(,ь. ):! /(5 — тЪ'-/-зр', '~*'~-ф-/-1~. Записать интеграл З ) З ) (х, у, г) пх дую в виде одного из пор вторных в сферической системе координат, если 327. У= ~(х, у, г): — + ~ + — (1, х»0, у) О, г»0). 2 3 4 328. $' ((х, у, г): х'+у'+гз юг, хз+у'+г' э)сг, х~+уз( < г'/3).
329. $'=((х, у, г): х'+уз+гз()(г, хз+дг+гз<2гф. 330. Ъ'=((х, у, г): х'+у'+г') Я', х'+у'+гз(2гф. 331. У= — ((х, д, г): ха+у'+г'(2дЯ, ха+у'(гг). у, г): 4(х'+д')(г', 0(г(1+у'х'+у'); д, г): 4(ха+у') ='г', х'+у' — г'+2г — 1) 0). г): г'+у'(Я', х'+г'(Р). 348. а) г'= ((х, б) У=((х, 349. Ъ'=((х, д, 350, У=((х, д, г): ха+да+г'(З)сг, Ях(2(уа+г~)). 351. Ъ'=((х, у, г): ха+уз+ах — хг(0, г) 0). 352. У=((х, у, г): у'+г+х<а, х)г)0). 146 332.
У=((х, у, г): х'+д'+гг(2уК, х'+у')г'). 333. У=((х, у, г): х'+у'+гч(8г — 8, З(х'+у') <г ). В следующих примерах требуется записать тройной интеграл: Р ~~1(х, у, г)дхдуаг в виде повторного. Так как подынтегральная функция конкретно не задана, то выбор, в какой системе в декартовой, цилиндрической или сферической — и порядок. записи этого повторного интеграла производится только из рассмотрения области интегрирования К Под У всегда будет подразумеваться ограниченная связная компонента множества ((х, у, г): йч(х, у, г) )О, 1=1, 2,..., а), если условие на Ъ' задано в видо юр~(х, у, г) > О, 1=1, 2,...,п. 334.
Ъ'=((х, у, г): 0(г(4 — хг, хч — у')О, х)0). 335. )г=((х, у, г): 0(г 4 — х, у'(2х+2). 336. г'=((х, у, г): х+у+г<2, 0<4г(4 — хт — уч, х О, д~О). 337. У=((х, у, г): 0(г(4 — хч — уч, 1х+у~(2). 338. У=((х, у, г): х')уч+г', 5х(4+д'+г'). 339. У=((х, у, г): (х'+у')'<а'(хч — у'), 0(аг<4(х'+у'), х.-»0). 340. Р=((х, у, г): 0(г(4ху, х+4у+г(1). 34!. Ъ'=~(х, у, г): 0(г 3 — ~гхт+2у', х<у~. 342.
Р=((х, у, г): у'(г(4, х'+уч (16). 343. Ъ'=((х, у, г): 0(г(х' — у', х) О, у»2х — 1). 344. У=((х, у, г): а'(х'+у'(Ь'„х' — у' — г') О, х)0). 345. У=((х, д, г): х'+да)Зг', х'+у' — г'(2). 346. г'=((х, у. г): Зх' — у'+Зг'(О, х'+у'+г'(2ау). 347. Р=((х, у, г): х'+у'+г'(2ах, х'+д'(а'). 365. ))) хугбхЫудг, г' — тело, ограниченное поверхностямн, уг= — ах, уг=-а,х, а а,>0, гх=Ьд, гх=Ь,д, Ь>Ь,>0, ху=сг, ху=с,г, с>с,>0„ полагая уг И =— зх и=— Х Д з 366.
~~~ к у"г'(1 — к — у — г)збхс(удг (р>0, а> О, г>0, а>0), У вЂ” тело, ограниченное плоскостями х+у+г=1, х=О, у=О, г=О, полагая, х+у+г-и, у+г=ии, г=иив. 367. Ц')хдхаус(г, У=((х, у, г):а хуг<Ь, сх<у г(дх, ту<х <ад), у>0. ф 7. Вычисление объема с помощью тройного интеграла Найти объем следующих тел: 368. Р=((х, у, г): х'+2д' — г'<а', х'+2у'>4гз). 369. Ъ'= )(х, у, г): 2(хз+2уз)<2аг <За~/аз — х' — 2уз), 370. У=((х, у, г): х'+4у'<г', а' -х'+4у'-1-г'<9аз). 371. У=((х, у, г): хз+уз+гз<2Яг, гз16за<хз+уз<гз13з(), 0<а<() я/2).
372. У=((х, у, г): хз+уз+гз <йз, хз+уз+гз<2)7г). Найти объемы тел, ограниченных поверхностями: 373. (х'+ уз+ г')' = азг. 374. (х'+ у'+ г')' = а'хуг. 375. (х'+у'+г')з=ахуг 376. (хз-гу'+гз)'=аг(х'+у'). 377. (х'+ у'+ г')' = а'г'. 378. (хз-)- у'+ г')' = аг (х'+ у')'. 370. ("+у +.) =аздзгз 380. (хз 1 уз-)-гз)з аз(хз 1 уз) 38!. (х'+у'+г')'=азг(х' — у'). 147 382. (хе+уз+ге)е азг(хе ) уе) «*-|-с' 383. (хе+уз+ге)з=азге "+се* . 384. (х'+ у'+ г')' = а' з4 пз ~ з/хв + уз -(- вз 385.
(хе+ у')'+ г' = га'. 388, (х'+у')'+ге=аз(у — х) 387 (хз.+ уз)з )- ге = Зазгз 388. (хз+ д')з-)- ге = азхуг. 389. (х+у+г)'=ау„х=О, у=О, г=О (х)0, г)0). 399. (х'+ уз+ г')'= г'. 391. ( — +-";+ — ' 392. ((х'+ у')'+ г')' = а' (х' -)- у')'. 393. ((хз + ув)з + ге)в азг (хз -) ув)в /хв у' вз вз кук 394.
( — + — + — ) = —, (, аз 6в сз ) йв / кз уз в з зе х 395. ( — + — ) + — = —. (,аз 6в) се й / хз ув вз ге '397. ~ — -(- —,-~- — ) =- (( )~»+(Я +( ) ) в 399, в — -)- у + — ~ =в)п, х=О, д=О, г=О ) — + — +— а 6 с (х~О, у) О, г >0). 490. ~ — х+ У + — ) = ехр [( — —: ( — + — У+ — ) ) ~ (х ) Оз у'-»О.
г- 0). 401. "~~ — + 1у — ) + — =|, х=О, у= — О, г=О (г~О), т' а У Ь) с г х у х,х~ х у 402. ( — + — | +'— = — + —, х=О, у=0, г=О, ,а Ь/ сс Ь Ь (х) О, у а: О, г) 0). Гх уьх хс х у 403. ( — + — ! + — = — — — —, х=О, у=О, г=О, ~а Ь) с Ь (х иО, д >О, г) 0). 404.
( +" )+ — (х +" 406. «+у+«=а, «+у+а=2а, х+у=г, х+у=2г, х=у, д=Зх. 407. а'<ху Ь', рг<ху<дг, ах<у(рх, 0<а<Ь, 0<р<д, 0<а< р. 408. г4 из|псу(1-|-созф). 409. г4 аз!псу ~~/соя~~. 410. г = ей п <р (а з! п' ф + Ь соз' ф). 411. +У + ( хх у' ха )з с' ах Ьс сс ! «хаас+ у')Ь' ( х ) =3 ~( — ) + ( У ) ~, (г) О).
И)'" (-~-)'"'( —:)'"=' 9 8. Механические и физические приложении тройного интеграла :Найти массу тела плотностью р, ограниченного поверхностями 413. г=х'+у', г'+х'+у'=б, г»О, если р=г. хс ус 414. г= — + — ", г=З, если р=х'. 4 9 г=х'+у', г=2у, если р=у. 4!1 4! 6. х+у+г=2, х=О, у=О, г=О, если р=х+д+г.
417. х=у', х= 4, г=2, г= 5, если р= |у!. г=б — х' — у', г'=х'+у', г) О, если р=г. 149 419. 2х+г=-2а, х+г=а, у =ах, у=О (у~О), если р=у„ 420. 2х' + 2у' — 4ах — 4ау+ аг=- а', х' +у' — 2ах— — 2ау+ аг = — О, г= О, М (а, а, а)~н (г, если р = г'. 421. Найти массу нуба со стороной а, если плотность его в каждой точке равна квадрату расстояния этой точки до фиксированной вершины куба. 422. Найти массу шара радиусом Я, если плотность его в каждой точке равна удвоенному расстоянию этой точки до поверхности шара. 423.
Найти массу сферического слоя между сферами хг+уг+ +гк=аг и х'+у'+г'=4аг, если плотность его в каждой точке обратно пропорциональна расстоянию точки от начала координат и иа внешней сфере равна ро. 424. Найти массу конуса Н'(г — Н)г> (хг+у')Н', 0<г<Н, если плотность равна р=(ху/. 425. Найти массу прямого кругового цилиндра, высота котороро равна Н, а радиус основания )с, если плотность в любой точке равна квадрату расстояния этой точки от центра основания цилиндра. 426.
Найти статический момент относительно плоскости ХУ однородного тела плотностью р, ограниченного поверхностями х'+ у'+ г' = 2аг, х'+ у'.= г' 1д' и, х'+ у' =- г' 1я' (1 (0(а( ~(п,'2). 427. Найти статический момент относительно плоскости ХУ' однородного тела плотности р, ограниченного плоскостями х + у + г = 1, х = О, у .= О, г =- О. Найти момент инерции относительно заданной оси однородного тела плотностью р, ограниченного заданными поверхностями 428.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
