И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Математический анализ в задачах и упражнениях (1111792), страница 24
Текст из файла (страница 24)
361. — аЬс'. 4 4 лв+3 4 362. — (6 )(Т!п(1 + 1/'2) — 7) 363. — лй'. 9аЬ 64 лав 364. — (18 1/ 3' — 1. 365. (аз — а~в) (Ь' — Ь~/) (с' — сз!). 5 ( ' 6 / 32 366 Г (р+ 1) Г (Ч+ 1) Г (г+!) Г (з+ 1) Г (р + 4 + г + з+ 4) 367. — (Ь )/Ь вЂ” а ~/а ) = — —, 1п —, 3 р/с р3 т 368. 1 " 1369. л У (3+21/5), 370. — (2 — 7/2), 371. — ЛЯЗ(СОЗва — СОЗ'р). 1372. 373. — Ла'. 374.— 4 з блаз ав 3 *' 12 3 6 375. — а'. 376. ™. 377.
— ' — 378. —. 379. — 'а'. 360 60 2! 168 315 380. ла'. 381. — а'. 382. —, 383. — (1 — е — ')а'. 24 3 12 3 384. — а'. 385. —. 386. — ла'. 387. =, 388. З 389. —, 396. —, 391. 1//, 392. — лза'. 60 5 5р 4/ рз 9 12 360 йв 3 /с ' 3 /с 182 паоло Зао Злого аоао оуху= = — М' оухг= М. 443, М= 5 5 20 2 Мао Ма Рхг= — Улт= —, 444. М =- — — абср; а тг —— 6 6 !о ' ао '$/а р 7 1,. 16мао 445. М= — Г ' — ); 47х,=- 648 ~ 4 / 627 446.
М=п (2 — )Г2) Р, г2х = (5о — ао)Р. з ' х" зо 447. М = "— 1; 47хт — — — 1а М. 448. М = р; 47 =- —. 4 40 3 10 449. 47= —. 450. М= — ',,'! =2М, где й — коэффициент ЛЫ' 2па 20 3 пропорциональности. 451. М =- иНКй, 47 =, где й— Ком 6 коэффициент пропорциональности. 452. х,= —; д,= О; г,= 4 3 !О а 2 7 — 453.
х,=у,=О, г,= —, 454. х,=у,= —, г,= —. 9 ' 3' 5 ЗО !7, 2 455. хо =уо=го= — 456. хо = до = О, го =- — Н. 457. хо=уо=О 2 3 7 1 1 1 го= — с. 458. х,= — а, уо=- — Ь, го= — с. 459. хо=уо= 30 4 4 4 7 21 21 21 =О, го= —, 460.
х,= — а, у,= — 5, г,= — с, 20 128 128 128 3 3 9 1 46!. х,= — а, у,= — 5, г,= — у'ай. 462. х,=у,=О, г,= — а. 3 9аа 463. хо — — Уо — — О; г,= — )г(1+соза). 464. хо — — до — — го —— —, 8 448 465. х,=до — — О, го — — —, 466. хо — — уо= —, г,= — а. 9а За 7 20 ' 12 12 467. хо=уо=О, го= — (6 1/3+5)а. 468. М= —, хо —— 83 '16 = —.(1! 'р72 — 8), уо= — (~/2+4), го= 675 675 90 469.
хо=до=О, г„= 5 (6 '$/3 + 5) а. 470. На перпендикуляре, 83 опущенном из центра шара на основание сегмента на рас- ЗН стоянии гоо72й'от центра шара. 471. х,=у,= О; г,= —. 472. а) М= — пйа, хо=уо=О. го= — а; б) М= 2пйа, хо=до= 4" 4 а = О, где й †коэффицие пропорциональности. г = — . 2 473. Еа-- — -2лр(Й+й — ~/Р— й'). 474. Е,=: — ! (1 — й). 475.
—. з' 478., 477. ' ) 1, 480. (а 1)!(2а + 1) 8 Г ~ и ~ 2 ! !8 , . 2а" †' (1/л)" 483. — л'р',й". 484. ' . 485. Сходится при 1 ( р( 2, 15 О Г(~~ расходится при р~( — оо, 1]()!2, +ос). 486. Сходится при 1 1 р(2, расходится при р) 2. 487."Сходится при — + — + Р 4 + - — ) 1, расходится при --+ — + — (1. 488. Сходится 1 1 1 1 г Р 4 г при р- 3, расходится при Р~З. 489.
Сходится при р'- 3!2, расходится при р~З(2. 490. Сходится при — + — + — с (, 1 1 1 Р 4 1 1 1 расходится при — + — + — 1. 491. Сходится при р с 2, ::Ъ Р 4 расходится при р: 2. 492.",'Сходится при — 312 ( р( 3, расходится при р~( — оо, — 312] () (3, +со). 493. Расходится. 494. О. 495. Расходится. 498. О. 497. 2 )/л. 498.
Расходится. 499. — агс(82. 500. Расходится. 501. 2л (!/2п †")/2т). 2 602. Расходится. 503. л'. Указание. Использовать, что +ОО г(х= — -з!Впа,. 504. О. 505. Расходится. 506. —. х 2 18 607. Расходится. 508. — а др ~ — |, 509. Расходится. з аГ1' 3 ~42 514. Расходится. 516, 2л ~ — + 1). ! 2 ГЛАВА И КРИВОЛИНЕЙНЫЙ И ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА $ !. КРИВОЛИНЕИНЫИ ИНТЕГРАЛ ПЕРВОГО РОДА О и р ел е л е н и е. Пусть Ь=А — кусочно-гладкая кривая в йз с концевыми точками А н В. Набор несовпадающих точек этой кривой ао, а,...,а„, занумерованных в порядке следования от А к В: аз=А, а„=В или от В к А: аз=В, а„=А, называется разбиением кривой Ь и обозначается Т.
Пусть функция (: Ь вЂ” ~В определена и ограничена на кусочно- гладкой кривой Ь~)т' н Т:аа, аь...,а„,— разбиение Ь. Введем обозначения: !а; ~, а;! †дли дуги а; ,, аь М;= зир )(х), т,= (и! г(х), к е (а~,ар хеа; 1,а,. Я(!', Т) =- Ь М~)а~ ь а;! — верхняя сумма Дарбу; л з(!, Т)=~ тиа~ ь а,! — нижняя сумма Дарбу; (=1 <Г(!', Ь) = !п(5(Г', Т) — верхний интеграл Дарбу; т еУ(!', Ь) =борз(!, Т) — нижний интеграл Дарбу. т Определение. Функция Г':Ь- В, определенная и ограниченная на кусочно-гладкой кривой Ь~йз, интегрируема по кривой Ь, если У(!, Ь) =.У(!', Ь).
В этом случае общее значение интегралов Дарбу называется криволинейным интегралом первого рода от функции ) по кривой Ь=АВ и обозначается ~ ~дз, или ) !г(з. лв Обратим внимание на то, что поскольку в определении сумм Дарбу используются величины длин дуг а; — ь аь то эти суммы не зависят от того, в каком порядке следования нумеровалнсь точки кривой Ь=АВ прн ее разбиении — от А к В или от В к А.
Из этого следует, что криволинейный интеграл первого рода не зависит от порядка следования точек разбиения, или, как принято говорить, не зависит от ориентации кривой Ь. Как видно, определение криволинейного интеграла первого рода дословно повторяет определение интеграла Римана функции 4б4 ) по отрезку [а, 6) с:Р. Оно является переносом определения интеграла с прямолинейного отрезка на криволинейный. Един» ствеиным различием интегралов 11(х)дх= '[ 1" дх и )1[[а=- ~)".дз » [а,Б".
ЯВ является «направленность» интеграла ~ )' [(х, т. е. ра[а',м венство ) Г [[х= — ' ) г[х и «ненаправленность» интеграла [а,Ь] [Ь,а~ ~~йз, т. е. равенство ~1[(з= ) 1[[а. лв Основные свойства криволинейного интеграла первого рода 1. Если функция 1 непрерывна вдоль кривой Т., т. е. бесконечно малому сдвигу по Ь отвечает бесконечно малое приращение функции 1, то функция 1 интегрируема по 1.. Заметим, что из непрерывности функции 1 в области 0 следует, что 1 непрерывна вдоль |, Ьс:О, но не наоборот. 2.
Если функции ~, и )з ннтегрируемы по кривой Ь, то функции д=)~ 1» н (=а~~[+а~(д пРи любых числах аь ар интегРиРУемы по Х., причем Р— ,' [Ь = ~ (аА + а,(,) ~Ь == а, ~,[, [(з+ с[, ~ 1, сЬ /. (линейность интеграла). 3, Назовем две кривые Ь, и й, неперекрывающимися, если пх пересечение содержит конечное множество точек (может быть, и пустое). Если функция 1 интегрнруема по двум неперекрывающимся кривым Е, и Еь то [' интегрируема по Е=Л4~, и ) ['да= х = ~ [ Йз+ (, [" о[а (аддитивность интеграла).
х 4. [ 1 й=!(.',, где ~1.~ — длина кривой Ь. 5. Если функция [" интегрнруема по кривой 1., то функция интегрпруема по Ь и ~~ 1'[(з ~ ( ~ '[1" [[[з. 6. Если функции 1 и д интегрируемы по кривой Ь и )(х)( (д(х) для всех х [: — (., то ~ гдз( [ дда (монотонность интегра- ла). У. Теорема о среднем. Если функции [' и д ннтегрируемы по кривой 1., д(х) ъО для всех хе=А, а =! п11 (х), 6 =- зпр 1 (х), кес хе! [85 то а )1 д г(з.-. ~ д1 !18 е= Ь ~ И г(а, в частности, а[Е [( ~ 1 !1а ( Ь [Е [. Если к тому же функция 1 непрерывна вдоль кривой Е, то существует точка хсеиЕ, такая, что ~ й) !(а=1(х,) ) А!18. ь 8. Если Š— простая гладкая кривая, т. е.
Е=(г=(х, д, г), г=-г(1)=(х(1)„р(1), г(1)), 1г=- [а, Ь[), ге-:С'[а, Ь], [г'(1)[ФО и функция 1 непрерывна вдоль Е, то ь ) ! !18= (! ! (х, р, Я) !15 =- !, ~(х (!), р(1), г(1)) г х! +р! +а! Й. ь Е а П р и м е р. Вычислим криволинейный интеграл первого рода у!1а, где Е=А — дуга кривой у=х!-)- [х' — х[, А=( — 1, 3) „ В= (2, б) (см.
рис. 38). л(-'у! Рис. 38 Р е ш е н и е. Дуга Š— кусочно-гладкая. Представим ее как объединение неперекрываю!цикся гладких кусков: Е=Е!()ЕЮЕз Е,=-((х, у): у=2х' — х, хан [ — !, О)), 186 Е,=((х, д): д=х, х ~ [О, 1]), Еа —. ((х, у); у= 2хз — х, х е— : [1, 2]). По свойству 3 имеем, что ] у а =) у аз+) у!(з+ ) уг(. Е 7.» Интегралы по гладким кускам Е„Ем Ез вычисляются на основании свойства 8.
Соответственно имеем, что д!(з= ~ (2х' — х) 1/1+(4х — 1)'г(х= — ( (1з — 1) )/1»-]-1 Ж= 32,1 — 1 — з = — ((21' — 3) 1/!'+ 1 + 3 1п (1+ ) ' !! + 1)) — "- — ( — 51/2+ 3 !п ()/2 — 1) + 247 ]/26 — 3 1и (1/26 — 5)1 !„ д!(з=~ х1/1+ 1!(х= —; 1/2 2 о » 7 д !)з = ~ (2х» — х) 1/1 -]- (4х — 1)» !(х = ~ ~ (Р— 1) ),' 1» -1- 1 г(Г = 32 х» ! з = — [683')/50+31п(7 + 1/50) — 511/1Π— 3 1п (3 + ')/10)! Откуда получаем, что 'р'й д !(з = — + — [247 1/26+ 3410 1/2 — 51 )/10 ! + 2 2» + 3! п [(]/26 + 5) (7+ 5 1/2) ('$/2 — 1) (']/1Π— 3)], Формула вычисления криволинейного интеграла первого рода и другие формулы, которые появятся позже, требуют представления кривой в параметрическом виде (параметризации кривой).
Рассмотрим некоторые наиболее часто употребляемые методы параметрнзации. Пусть уравнение кривой г'(х, у)=0 имеет явную форму у= =у(х), хан[а, Ь] нли х=х(у), уев[с, а] (или аналитически приводится к такой форме, т. е. разрешается относительно одного из переменных).
Тогда в качестве параметра обычно берется аргумент полученной явной функции. В первом случае у-у(х), хек ев![а, Ь] получаем параметрическое представление кривой: Е =((х, д):х=х, у=у(х), хан[а, Ь]), во втором — параметрическое представление: Е=((х, у): х=х(у), у=у, дан[с, г(]). 187 Пусть функция Р(х, у) представляет собой линейную комбинацию двух однородных алгебраических функций от х и у. Тогда, обозначая через 1 отношение у/х, получаем параметрическое представление координат х и у кривой /.
как алгебраических функций х=х(1), у=у(1). При этом необходимо только проверить, что не потеряна точка вида (О, ус), принадлежащая Е, Иногда эта точка соответствует несобственному значению параметра: 0 = 1пп х (1), у, = 1пп у (/) (1 -+. + со, 1- — со). ! ю Пусть уравнение Г(х, у) =0 после перехода к полярным координатам х=гсозф, у=гз!пф или обобщенным полярным координатам хг агсоз" ф, у=Ьгзйп ф разрешается относительно г, т. е. приводится к явной форме г=г(ф), фс(ф<грь Тогда„принимая в качестве параметра переменную ф и подставляя выражение г через ф в формулы х=г сов ф, у=г з!и ф, либо хг аг соз" ф, у= =Ьг з!и'ф, получаем параметрическое представление кривой Е,=--((х, у): х=г(ф)созгр, у=-г(ф)з!пф, ф ==(ф„ф,]), нли 1.=(х, у): х= — аг(ф) соз'ф, у =-Ьгз!и'"ф, реп (ф„ф,]). Таким же образом получается параметрическое представление кривой /., заданной в сонмещенной декартовой системе координат, если кривая /.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
