И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Математический анализ в задачах и упражнениях (1111792), страница 25
Текст из файла (страница 25)
задана на плоскости в полярной системе координат. Насколько полученная параметризация кривой / удобна для вычислений, зависит от конкретного внда функции г"(х, у). П р им е р. Запишем параметрическое представление кривой /., заданной уравнением х'+2х'+у =3 и условием уъО. Р е ш е н и е. Условие у> 0 дает возможность явно выразить у(х): у=рг3 — х' — 2х' Мпогочлен 3 — х' — 2х' убывает на ( — со, — з/,), в точке ( — '/4) принимает значение 147/64>0, затем возрастает на ( — '/„0) и убывает на (О, +со).
Поскольку этот многочлен обращается в нуль при х=1, то функция у(х) определена для всех х~( — со, 1]. Итак, / =-'(х, у):х=-х, у= — рГЗ вЂ” х' — 2х', х н= ( — со, 1]], Пример. Запишем параметрическое представление кривой Л, заданной уравнением 1пх — у+з!ну=О. Решение. Уравнение 1пх — у+айну=О аналитически разрешимо относительно х: х=е~ мсе.
Функция р(у) =-.ее — и"е представляет собой биективное отображение Д вЂ” /с. Отсюда получаем, что (.=((х, у):х=-ее — "се, у=у, уев й). П р и м е р. Запишем параметрическое представление кривой /., заданной уравнением х(х — у)с+у=О и условием хз-О. Решение. Функция Р(х, у)=х(х — у)'+у является суммой двух однородных многочленов от х и у — третьей и первой степени. Поскольку равенство х(х — у)'+у=О и условие х==.О показывают, что значения у неположительны, то обозначим через 1 отношение — у/х. Тогда переменные х и 1 связаны равенством хз(1+1) а х/ 188 Учитывая условие хъО, отсюда получаем, что 1.= )(х, у): х — --(/7/(1!-/), у= — ГУ7/(1+/), ! ==:О).
Точка (О, 0) соответствует значению !=О. П р и м е р. Записать параметрическое представление кривой Ь, заданной уравнением х' — у' — бх'у=О и условиями х<0, у<0. Решение. Функция г"(х, у)=х4 — у' — бх'у является суммой двух однородных многочленов от х и у — четвертой и третьей сте- пеней. Обозначая через ! отношение у/х, получаем связывающее х и ! равенство: х'(1 — !4) =бхз!, откуда следует, что х(/) = 6!/(1 — !'), у(/)= 6!с/(! — !'). Условия х<0, у<0 выполняются для !>1, прн этом точка (О, 0) кривой /. соответствует несобственному зна- чению 1: 0= !пп х(!), 0= !пп д(!). Итак, / -~- /+ ! Е=((х, у): х(!)=6!/(1 — Р), у(/) =б!2/(1 — !'), !)1).
Параметрическое представление можно получить и переходом к полярным координатам. Замена х=тсозф, у=гз!пф превра- щает уравнение х4 — у4 — бх'у=О в уравнение г4соз2ф — Згзз!п2фХ Хсез ф О, следовательно, в совмещенной полярной системе коор- динат кривая /. имеет уравнение г=бгц2фсозф. Делая обратное преобразование, получаем, что 3 3 ' = — !н 2ф (1+ соз 2ф), у =- — !и 2ф з!и 2ф. 2 2 Условие х~О выполнено, если !ц2ф<0, а условие у<0,— если сеа 2! (О, Отсюда следует, что /,= )~(х, д): х = — -(!й 2ф-1-з/и 2ф), у =— 3 мп1 хф 2 2 сов зф ' ф св (5л/4, Зл/2!) Пример.
Запишем параметрическое представление кривой Е, заданной уравнением х~/а+у'/э=а/з. Решение. Функция г" (х, у)=х'/з+у'/з является однородной алгебраической функцией х и у. Обозначая через ! отношение у/х, получаем соотношение, связывающее х и й хз/з(1+Р/а)= =а'/', Это равенство определяет две однозначные функции х,(1)= а/(1+/2') "их,(!)= — а/(!+! / ) /~ Таким образом, кривую Е. придется рассматривать как объединение: /.=/.,()/.„где 1.,=((х, у): х(/)=а/(1+1'/ )~/~, у(1)= — а!/(1+ !з/~)~/~ ( еп )с) и Ь вЂ” ((х д) ' х = — а/(1+1'/~) ~/ (!) //(1+ /2/3)3/с ( /() В данном случае удобнее воспользоваться переходом к обобщенной полярной системе координат.
Положим х=аг созз ф, у !89 =ага(пзф, тогда уравнение кривой Е примет вид х=1. Обратный переход к х и д дает параметрическое представление кривой; Е=-((х, д): х= асов'ф, де аз1пэф, фен 10, 2п)). Пример. Запишем параметрическое представление эллипса: я „в — -+ — = 1. а~ Ь' Решение. Положим х=агсозф, д Ьгз1пф, тогда уравнение эллипса примет вид с=1. Обратный переход к х и д дает параметрическое представление эллипса: Е=((х, д): х=асозф, д= =аз(пф, фен10, 2п)) (в частности, простейшим параметрическим представлением окружности радиусом а с центром в начале координат является: Е=((х, д): х=асозф, д=аз(пф, фн (О, 2я))).
Пусть кривая Ес:Я' задана как пересечение двух поверхно- 1Р,(х, д, г)=О, стей, т. е, системой ~ ' ' ' и условиями вида ~ д, (х, д, г) = 0 ф(х) ~ О, ф (д) ~ О, т(г) ~ О. Чаще всего для параметризации заданной таким образом кри- вой исключают одну из переменных. Геометрически это означает, что находится проекция Е" кривой Е на одну из координатных плоскостей. Плоскую кривую Е" параметризуют методами, рас- смотренными выше. После этого любое из двух уравнений, опре- деляющих Е, дает параметрическое представление третьей коор- динаты.
П р н м ер. Запишем параметрическое представление кривой Е, заданной соотношениями хг+д'+г'=2ах, х'+дг=г'„г~0. ( х~ -~- д~ -(- гз = 2ах, Р е ш ен и е. Исключая из системы [... пере(х'+ д'=- г' менную г, получаем, что переменные х и д связаны соотношением х'+да=ах, т.
е. проекцией кривой Е на плоскость ХУ является а'з а~ окружность ~х — — 1 +д'= — —, Простейшая параметрическая запись Е* есть х = — + — соз(, д — — — з)пй (ен10, 2п). Из уравнения хг+дг=гг и условия г~ 0 получаем, что аэ с — (1+соз1)=а~сов — ~, Чтобы получить гладкое пред- 2 2 ставление переменнои г, заметим, что в параметрическом зада- нии окружности Е* можно взять в качестве промежутка измене- ния параметра 1 любой отрезок длиной 2л; если 1~н [ — и, и), то соз — ~~ 0 и, следовательно, г =- а соз —. Итак, 2 9 Е=~(х, д, г): х= — (1+соз1), д= — з1пй г=асоз —, — и.
((<я~. э а 2 2 2 П р и и е р. Запишем параметрическое представление кривой Ь, заданной соотношениями х'+г'=аз, у'+г'=а', х» О. Реш ение. Поскольку каждое из уравнений, задающих кривую Ь, содержит только два переменных, то каждое из них есгь уравнение проекции Ь на координатные плоскости: первое — на плоскость ХХ, второе — на плоскость УЕ.
Так как на переменные д и г не дано дополнительных условий, то окружность уз+г'=аз параметризуется простейшим образом; у=асозЬ г=аяп1, ген [О, 2л). Из первого уравнения с учетом условия х>0 получаем, что х=а1соз((. В отличие от предыдущего примера в данном случае нс удалось избежать негладкого представления переменной х.
Итак, Ь=((х, у, г): х=а1созГ(, у=асозЬ г=аяпЬ 1ен (О, 2л)). Пример. Запишем параметрическое представление кривой Ь, заданной соотношениями г'=у'+х', ах=гу, г. О, у»0. ( г' = у'+ х' Р е ш е н и е. Исключая из системы ~ ' переменную (ах=-гд х, получаем, что переменные г и у связаны соотношением а~г' азу'+г'д', т. е. проекцией Ь на плоскость Яу является кривая Ь*=((г, у): а'гз=азуз+г'уз). Учитывая условия г»0, у>0, полу- ~асм, что кривая Ь' записывается явным уравнением у = агфа'+ г', Из уравнения ах гу получаем, что х = г'ф а'+г'.
Итак, Ь= ~(х, у, г): х== — = —., д= — -= —, г=г, г~О~, р'а'+ ьа ~/а'+ г' П р и м е р. Вычислим ) (х+у)гй, где Ь=А — дуга цикло- Е иды: х=а(1 — яп1), у=-а(1 — созг), А=-(0, 0), В=(4ал, 0). Р е ш е н и е. Кривая Ь состоит из двух гладких кусков — дуг циклоиды Ь,=АС и Ьз=СВ, где С=(2ал, 0) (см. рис. 39).
Поскольку Ь, =((х, у): х = а(1 — з(пт), у= а(1 — соз1), ( е-=(0, 2л)), Ь, = ((х, у): х =- а (1 — зш 1), у = а (1 — соз 1), 1 ~ (2л, 4л)), то для обеих дуг имеем, что дз ~~ х„' + у; сд = а у' 2 — 2 соз Г й = 2а ~ з1п — ~ аЬ 2 (х+у)дз — — 2а ~1 — 2яп — — соз — -';з1п' — ~ ~яп — ~Л, 2 2 2)1 2 та 1 Следовательно, в силу свойств 3 и 8 (х+у)о(з=~(х+у)оЬ+~(х+у)аз=2ао,! (! — 2яп — соз — + 2 2 Е х, ы о 4о +яп — )3!п — о(! — 2а ~ ~! — 23!п — соз — +3!п' — )3!п — оЫ 2! 2 2! 2 2) 2 =8а' ~ ~2гяпгаг — 2 ~3!погсозгаг+~(! — созог)яп гоЬ~+ о о о +16лао=-8ао (2л+ — ) +1блао== а'(1+Зл).
3 1 3 Ркс. 39 Пример. Вычислим ~ )/хо+уо о(з, где 1.— петля кривой г=аз!лба, ь лежащая в первом октанте х=.О, у~О (декартова н полярная системы координат совмещены). Р е ш е н и е. Пользуясь формулами связи совмещенных декартовых и полярных координат, получаем параметрическое выражение кривой А: г. = ((х, у): х = а яп З~р сов ор, у = а яп З~р я п р, <р = 10, л131).
Для вычисления о!3 воспользуемся формулой из интегрального исчисления функции одной переменной: оЬ = р' г'+г' г!гр = ар' 3!поЗгр-! УсозоЗор о!ор. Итак, п/о '1/хо+уо оЬ= ~ поз!пЗф)/1+ЗсозоЗоро(ор= о ! 2о'2 = — 1 )'1+8гоо(г= ~ ~/1--!о г(! =- 3 в 'р'2 -1 око з у'я — à — '~й~ +С + — '1 ((+~1+(')1 [ б'у'2 [ 2 = а' (1 + = 1п (3+ 2 )/ 2) ~, 6 ')/2 Следует обратить внимание на то, что, вычисляя 0я по формуле дя= 1/ х' +у' яур, получим, конечно, то же выражение: йя= ч е =а'у'я(пяЗ~р+9соя'З~рсйр, но применениеформулыс(я = у' г'+г' Х и яар существенно сокращает выкладки. П ример. Вычислим ~ (х'+уз+а')яЬ, где г.=((х, у, г): х=а((соя1 — я(пт), у=а(1я(п1+соз(), г=Ьг, (ен [О, 2п)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
