И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Математический анализ в задачах и упражнениях (1111792), страница 29
Текст из файла (страница 29)
—. 30 З 48. 1п']/ !+4пз. 41. л. 42. [/2. 43. — ! — + 1п(4— — ']/15)). 44. 6,4а'. 4б. 2азл. 46. 1 + 1 +— ЗЗ 27 12 47. 1 (3+4лз) 48. Ч пза 49. — (лз+3). 50. 4азп. 3 3 3 81 п -1- 42п 1п ~2 52 2пп 53 !Зп + !) — ! 16 3 !6 4 (2 у/2 1) 55 ! [1+ гз/г 1+ гз/г] бб !7 3 ' 3 2 2!7 72. хо — — Уо —— —. 73. хо=О, уо= 2й а (ею+ 4ео — 1) а 4е (е' — !]' 74 хо= уо=-, 76.,хо= —, уо — — О.
2а "а (е'+ 4ею — 1) 5а е+ 1 4е(ео — 1) ' 8 27 — 24 (п 2 20 4а 76. хо- — ю уо= -- ° 77. хо=уо= —. 8(3+3!а2) 3(3 , '31п2) 3 78. х,=па; уо = —, 79. х =У = —. 80. х =О, уо= —. 2 а (1 — сою 3) уо= 2а 81. хо=у«=в 5 83. хо=О уо=О 82, г=пЬ. 2 1 1 4а 3а 84. хо — — — Уо= — — ео= — 83. хо= Ую= —- 218 67. )е. 38. — Мо, где й †коэффицие пропорциональ- 4 3 ности. 39, а) Ьо'[/ао-)-Ь«.—; б) 'У~2[о«'у'1+4п«+ 3 ' + — !п(271-)-')7'1+4по)). 60. 2)~«Р.
61. р ! — + Х х агсэ!п 1; р [ — + . 1п "!7аа Ью ! 7 ао аЬю Яаа Ьо ! а) ) а ~ [, 2 2'р'а~ — Ьо ь 62 63 р 1п + 7 ~/5 р 1 ! 17 — Г 9 9 Г 5 1 ) 17 24 2 ~ 15 2 15 У 4 128 [, 8 15 е 4 54 — 1 ~ — — !п (2 + Р75) р; б) ~ох = ~ — !и (2 + .1 (. 512 .~.ю ю1 — )/ — ) р. ВБ. ~ 23 ю'ю; б) 18 ю е. ао . ао . 128 74 66. а) — (2а — я!п2а) р; б) — (2сю+э!п2а) р. 67. — — — 1/2. 4 4 15 15 68.
р ! — +96 !п ['[/2 — 1) ), 69. рох = «70!'= — аюр. то. о е =е 1 — -ю" )ю'4 'ею; ~е ерую4еем. ',2 3) 71. а) — [(бпе — Ь' — 1)(4пе-) Ьо-)-1)"'-!-(Ьо-( 1)"'). б) — [(бпе — Ь' — 1) (4по+ Ь'+ 1)«и+(Ь'-!- 1)«7«); 15аю в) —, (а'+ Ь') [(6по — Ьо — 1) (4де+Ьо+ 1)о7« 1 (Ью ( 1)о)е! ау 2 4о 2а 2 86. х =у =О, г, = —. 87. х„—, у,=- —, г,= — ргЬ. Ж по л ' 3 88.
х, = аго; у,= — , "г,=а. 89. 0; о „2гтМ 3 лйо 90. О 2гр Заог Заог й ' 5 ' 5 92. гг/4. 93. Яр. 94. —. 96. ЗлЩ 96. — —. 97. — (10 )/10 — 1). 3 ' 6 27 98. 4а'. 99. — (6 (Г5 — 1). 100. 4с(Ь+ — ' — агссоз — 1. 12 ~, '~/д~ — Р о 64 ~,~2 дй и, 512 !01. —. !02. ' . !03. — (1+)/2).
!04. —. 9 15 ' ' 2 ' ' 15 !06. 4гг. 106. — + — 1п(1+)Г2), 107. — (9)/3 — 1). 16 16 5 !08. — пар+лад. 109. 2 у'2 п(2Ьо — Ь'). 110. " + 3 2 16 1!1. — (8аоЬо+гоЬо). 112. — а'. 113. — а' 1/2. 114. — лао. 8а 15 15 6 З~Ч -"' !16 . 116 паз !!7 пд !18 аз )/2 4 3 2 3 119, — ао. 120. — (4 — $/2), 121. па(а'( 2Ьо+2аЬ). 16 4 4 3 ' ' 3 122. — л(1+6 г З)р. 123.
ар (а+4). 124. — аоп. 15 20 126. 266)~ 2гг. 126. Яос'. 127. 7'$Г2лаор. 128. 35 8 о ! пао 26 1 МЯосавра 129. — аор. 130. ( — — — ао ~р. 131. 15 (, 3 45 / 2впа 132. 2лоаЬр(2ао+ЗЬо). 133. — и (1+6УЗ)с'Р Мс'. 134. — Х 15 3 Х(2йо — ЗйоН+Н'). 136. х,=У,=О, г,= — И6, хо=уо= Я =го= —. 137.
хо=уо=О, г,= —. 138. х,= й 48 ! 53 — ЗУ"З1 — ~, ур —— го=О. 139. хо — — ур=О, 5 го = с. 140. хо=уо=О, !го= ° 141. хо=О Зл 1 ао )С2 + ао 1и (1 -1- У 2) / 2 Ро= 2лу7Я ( —— 219 ГЛАВА )П КРИВОЛИНЕЙНЫЙ И ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО РОДА.
ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ $1. ОРИЕНТАЦИЯ КУСОЧНО-ГЛАДКОЙ КРИВОЙ Е~К' И КУСОЧНО. ГЛАДКОЙ ПОВЕРХНОСТИ З,-й в Определение. Пусть Š— незамкнутая кривая без точек самопересечения, лежа1цая в В', с концами в точках А и В. Выбор в паре (А, В) начальной и конечной точек называется ориентацией кривой Е.
Выражения Е=АВ и Е=ВА являются записью кривой с противоположными ориентациями. Наглядно, задать ориентацию кривой !.=А — это значит указать, как направлена (или как проходится) эта кривая от точки А к точке В, или от точки В к точке А. Замкнутую кривую, которая после удаления любой своей точки («разрезания» кривой в этой точке) становится незамкнутой к ивой без точек самопересечения, часто называют контуром.
онтур можно ориентировать, разрезав его в произвольной точке и ориентируя полученную незамкнутую кривую. Если контур лежит на плоскости Ху, то он является границей односвязной ограниченной области ВЙ('. В таком случае ориентация контура ча1це задается направлением его обхода; положительным направлением обхода принято считать такое, при котором область 0 остается слева, и отрицательным — противоположное. Пусть !.~В' — простая гладкая кривая, т. е. Е=((х, у, г):х=х(1), у=у(1), г=г(1), 1ен [а, Ь)), где а<Ь, отображение г=(х(1), у(1), г(1))еиС![а, Ь), ~г~'[эьО, и концевые точки А и В кривой Е есть соответственно образы точек а и Ь.
Тогда ориентация !.=АВ соответствует ориентации [а, Ь), а ориентация Е=ВА — ориентации [Ь, а! отрезка изменения параметра 1 на прямой В. Говорят, что кривая Е=АВ проходится при возрастании, а кривая !.=ВА — при убывании параметра Е Тогда векторное поле Т=(т), где т= —, ( «х ~3у Ж ~,.' ~ «««» «» 1й=!Г(х~)'+(у|)»+(г~)'й — дифференциал длины дуги Š— является заданным на !. непрерывным полем касательных к !.
единичных векторов, при этом направление векторов т совпадает с направлением движения по кривой Ь=АВ при увеличении параметра (, так как а<Ь. Таким образом, на простой гладкой ориентированной кривой !.=АВ однозначно определено согласованное 220 с ее ориентацией непрерывное поле единичных касательных к /. векторов. Векторное поле Т ( — т) является заданным на Ь непрерывным полем касательных к /. единичных векторов, направление которых совпадает с направлением движения по ь при уменьшении параметра й Кусочно-гладкая ориентированная кривая /. также однозначно определяет согласованное с ее ориентацией векторное поле Т единичных касательных к 1. векторов только уже, вообще говоря, определенное не во всех точках Е и непрерывное на множестве своего определения.
Ориентированную кривую Ь вместе с соответствующим полем единичных касательных векторов будем обозначать (Е, Т). Пр имер. Запишем какое-нибудь параметрическое представление х(1), у(1) петли кривой хз+уз=Заху так, чтобы эта петля проходилась в положительном направлении при возрастании параметра 1(а>0).
Решение. Если положить 1 у/х (х>0), то получим, что х=ЗаС/(Ге+1), у=За/з/(/а+1). При этом петля кривой ха+уз =Заху расположена в первом квадранте х>0, у>.0 и проходится при изменении 1 на луче (О, +со). Так как для 0</~1 имеем Оя-х~у, то обход петли начинается по той ее части, которая лежит ниже биссектрисы у=х первого координатного угла и, следовательно, действительно при возрастании 1 петля обходится в положительном направлении. Пр имер. Запишем параметрическое представление лемнискаты; (хз+уз)'=2азху так, чтобы каждая ее петля проходилась в положительном направлении прн возрастании параметра (а> >0).
Решение. Так как в полярных координатах уравнение лемнискаты есть: г'=а' з(п 2~р, то для правой петли имеем х = а соз ~р ~ з1 и 2~р, у = а з1п ~р ')/ з и 2<р, О ( ~р ( и/2, а для левой— х=асоз~р 1/з(п2~р, у=аз)п~р 1lяп2ср, п(~р(Зп/2. При этом, когда 1 возрастает от 0 до и/2, то правая петля проходится в положительном направлении, поскольку изменению 1 на (О, и/41 соответствует часть лемнискаты, лежащая в первом квадранте ниже прямой у=х. Так же проверяется, что левая петля проходится в положительном направлении при возрастании 1 от и до Зп/2. Пример.
Запишем параметрическое представление контура квадрата: )х)+)у1=а(а>0) так, чтобы этот контур проходился в положительном направлении при возрастании параметра й Решение. Подберем функцию хч х(/), такую, чтобы при возрастании 1 значения х(1) сначала убывали от а до — а, затем возрасталн от — а до а; например, можно положить х(1)=асозг.
Чтобы точка х(1), у(/) двигалась по верхней границе квадрата )х(+ (у) =а, координата у=у(Г), (еЗ(0, и), должна удовлетворять соотношению у= — а — ) х(, т. е. у (() = а — а ) соя Г ~ = а яйп я1п à — а 1 соя Г ~ . На нижней границе квадрата координата у=у(1) должна удовлетворять соотношению у= — а+ )х), т. е. у= — а+а)соя|(, ген~[я, 2п].
Объединяя обе полученные формулы, запишем параметризацию контура квадрата следующим образом: х=а соя~, у=азана(п~ — асояГядп(я1п 2г), ген(0, 2п). Ориентация кусочно-гладкой поверхности в мя Пусть 5~ЛЯ вЂ” простая гладкая поверхность, т. е. 5= — ((х, у, г):х=х(и, о), у=у(и, о), г=г (и, о), (и, о) яц О), где область Вс:Й' жорданова, гомеоморфизм г= (х(и, о), у(и, о), г(и, о)) с: С'(О) и (г„' х г,') Ф О, (и, о) ец.О. (г„Х г„! 1 Тогда векторное поле Ж = а: а = —" " является определен~ги К гс( ) ным на 5 непрерывным полем единичных нормальных векторов к 5.
Определение. Гладкая (т. е. имеющая в каждой точке касательную плоскость) поверхность 5с:Я' называется ориентируемой или двусторонней, если на ней можно задать непрерывное поле единичных нормальных векторов. Такое поле будем называть ориентирующим полем нормалей 5. Как следует из вышесказанного, простая гладкая поверхность ориентируема. Лист Мебиуса является примером гладкой, но неориентируемой — односторонней — поверхности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
