И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Математический анализ в задачах и упражнениях (1111792), страница 32
Текст из файла (страница 32)
С помощью внешнего умножения от задания 1-форм можно перейти к заданию д-форм. О п р е д е л е н и е. Дифференциальная форма порядка д (дифференциальная о-форма) ы задана в области Р~К", если для каждой точки хенР задана д-форма (х): (ТР„) К Согласно определению дифференциал А/(х) функции /: 0 — ~-/с, /енС'(Р), есть дифференциальная форма первого порядка (дифференциальная 1-форма), заданная в области Р.
Пусть в области Рс:Яз задано векторное поле А=(А„, А, А,). Такое поле порождает в 0 две часто употребляемые дифференциальные формы: а) если поле А рассматривать как силовое поле, то для малого вектора МАНТР„ смещения от точки хяР скалярное произведение (А й)=А,л,(й)+А„пз(й)+А,я,(й) дает величину работы поля А, отвечающей этому смещению. Поскольку и /(м й=(Ых, пу, г(г), т. е. п,(й)=дх, п,(й)=г(У, па(й)=-сКг, то (А й)=А„дх+А„бу+А,г(г.
Дифференциальная 1-форма ы' == А„ах+ А„Ау+А,Ф, заданная в Р, часто называется формой работы векторного поля А; б) если поле А рассматривать как поле скоростей установившегося течения жидкости, то для двух малых векторов й,е=.ТР„, й,е=ТР„, хенР, смешанное произведение <А й| йз> дает величину объема жидкости, протекающей за единицу времени через параллелограмм, натянутый на векторы йь йа. Так как (А й, ° й,'; = Л„п, (й, х йД+ А и, (й, х й,) +А,п, [й, х й,], то, используя результат примера с.
232, получаем координатную запись этой 2-формы на векторах йь йз (.4 й~ . йз) (А.ла А из+А„пз Л я~А-Апг Л па)(йг йа). Поскольку п,(й) = Ух, п,(й)=г(у, п,(й)- от, то пг Р~ пз (й, й~) = бу А бх пз А п~(й~ йз)=г(х /'1 г(х п~ Л п~ (й, йз) = «х Л «У. Итак, окончательно (А й, . й,) = А„бу /~ г(г+ А„дг /~ дх+ А,дх /~ ду. Дифференциальная 2-форма ы!'-! = — А,с(у Л с/з+ А с(г Л с(х+ А,йк Л Л с/у, заданная в Р, часто называется формой потока векторного поля А. По аналогии с трехмерным случаем для векторного поля А=(Аь Аа,...,А ), определенного в области Рс:/с", формой работы и формой потока часто называсот соответственно днфференциальи л ные 1-форму ыд' — — 1 Ас!/х! и (и — 1)-форму э!"! — '=') Асс(х! Л с(кзЛ с=! с=! Л ...
с(к!... Л с/хэ. (Знак " показывает, что именно этот сомножитель в данном слагаемом отсутствует.) Внешнее произведение дифференциалов координат с(хс„..., с(х,, 1<1!(1а<... <сз, является простейшей дифференциальной сс-формой. Представление дифференциальной с1-формы сз в аиде линейной комбинации сэ = ~' ас„ь,,! (х) с(хс, Л с/хс, Л с(хс, с<с,<с,«...! называется координатной записью, или записью в координатном виде. Функции а; ь ! (х) называются коэффициентами формы ы. Порядком гладкости формы е! в области Р называется наименьший из порядков гладкости ее коэффициентов. Множество дифференциальных сс-форм в Р с коэффициентами класса С (Р) обозначается 11а(Р).
Пример. Приведем к координатному виду дифференциальную форму се = (хзс(кз Л с(ха +хзс(к! Л с(кэ+ ха!(хс Л с(ха+ хэс/ка Л с(хз+ +хэс/ха Л с1х,+х,с1х, Л с/ка) Л (ха!1хс+хэс(ха+хас(ха+к!с/хз). Р е ш е н и е. По свойствам внешнего произведения имеем, что э! = к~с(х! Л с(кз Л сака+хакас(х! Л саха Л с(хс+ + хакас(х! Л с(кэ Л с(ха+ хакас(ка Л с(кэ Л с(кс+ + хакас(х! Л с(кэ Л с(х, + хакас(ка Л с(хз Л с(ха+ + хакас(ха Л с(х Л с(х + хсхас(х, Л с(х Л с(кс+ + как.с(х! Л с(ха Л с(ха+ Фх Л 'хз Л с/хз+ + хэхзс(х! Л «кэ Л «кз+ кэс(хз Л с(хэ Л с(ха+ +хакас(ха Л с(ка Л с(ха+ хакас(хз Л с(к» Л с(хз+ + хакас(х! Л с1хз Л с(ха+ хакас(ха Л с~аз Л с(хз + + х4с~х! Л с(кз Л с(хз+ хакас(ка Л с(кз Л с(хэ+ + хсс(ха Д с(х4 Л с(кз + хгхас(хз Д с/х4 Л ссхз+ + хахяс(хс Л с(хг Л с(Х4+ хяхзс(хг Л с/кз Л с(К4+ + хгхас хг Л с ХЯ Д с(ха + хсхзс(хг Л с(х Д Я(ха + + хгхЯЯ(ха Л с(ха Л с(ХЯ + х с(кз Л с(КЯ Л с КЯ (хзхз к + кгх4) с(хг Д с(хз Л с(ха+ (хаха хзха+ хахг) х Х с(х«Л с(ха Л с(х4+(хгхг КЯ~+ хгхз) с(хс Л с(хз Л с(ха+ + (хахз х + хска) с ха Д дхз Д с ХЯ ° Выкладки упрощаются, если сразу учитывать, что внешнее произведение, содержащее два одинаковых сомножителя, равно нулю: (хзс(хс / ~ саха+ хзс(к«Л с(хз+ хас(хс Л с(ха+ + хас(хз Л с(ха+ хас(ха Л с(х4+ хгс(хз Л с(ха) Л (хзс(КЯ + хзссха+ + хас(хз+ хсс/ха) = хгхзс(ха Л 4х, Л с)х, + хахас(хз Л с(ха Л с(хг+ + Каха,(хз Л ««4 Л с(ха+ хз~(хс Л «хз Л ~/ха+ + хзхас(х, Л с(К4 Д с(хг+ хсхзс(хз Д с(ха Л с(ка+ + ХЯхгс хс Д с(х Д с(ха+ х" с(хг Л с(Х4 Л дхз+ + хгс/хг Л с(ХЯ Л с(хз+хскас(хг Л с(ха Л сЯХ4+ + х«хас(кс Л с/хз Л саха+ хгхас(ха Л с(ха Л с(ха = — (хахз хзг + хаха) с(хг Л с(хз Л с хз + (хах4 хаха + каха) х Х с(кг Л Я(ха Л с(«4+ (КЯ«з х4+ хсхз) дхс Д с(ха Л с/ха+ +(2х,х,— х4+хсхз) с(ха Л сгха Л ЯЯХЯ.
Пример. Приведем к координатному виду дифференциальную форму с((х'хзх'х,) Д с((х; — ха+ х' — х'). Решение. с((х',хзх'КЯ) Д с/(хг,— х'+х' — хг) = 3 ' Я =(4ХЗХЗХ Х.с(х«+Зх Х,'К'Хас(хг+2Х'Х Хзхас(хз+ + хсх хгс)КЯ) Л (2хгсСК« — 2хгс/кг+ 2хзс/хз — 2Х44(КЯ) = = бхзх',х',хас(хз' Д с(х, + 4хзсх',хзхсс(хз Л с(х, + +2хзхзхгссх4 Л с(ха — 8Х'х4х~~хассхг Л с(ха— — 4х«!х«хзх,«(хз Д «(хз — 2х4х',х~«)хз Д «(хз+ + Зхз«хззх~~хз«(х«Д «(хз+ бх~«хзхззхз«(хз Д «/хз+ -!-2х«хзхз«(х, Д «(хз — Зхзхзхзхз«(х Д «Ьз — бх««х~ х,'х,'-«(хз Д «!хз — 4х««хзхзх',«(хз Д «(хз = — — о зхзтзхз(Зхз+ 4хз) «(х«Д «(х, -!-4хзхзх х (2хз — хз) пх«Д «(хз— — 2хзхзх„'(хз — , '4х') «(х, Д «(х +2х«хзх хз(2х'+Зхз) «(хз Д «/хз-«- +2х««хзхз(те+ Зхз) Зхз Д «(хз — 2х'хзх,(х'+2х) «(хз Д «1х«.
П р и м е р. Вычислим значение дифференциальной формы «з = х.х,«/х«Д «(хз+ хзхз«(хз Д «(хз+ х,хз«/х«Д «/хз+ хзх,«(хз Д «(хз на паре векторов $« = (1, 4, 1, О) и $ = (2, О, 3, 1), $«, Зз ен ТК«(1, О, 2, — 1). Р е ш е н и е. хз= 1, хз=О, х =2, хз !' Следовательно, «»= — ! ( — 8) — 2 12+2. 1+Э 4= — 14. Условимся под дифференциальной формой нулевого порядка (О-формой) в области 0 понимать функцию /: 0-з-/««.
Определение. Пусть функция /еиС'(11). Дифференциалом (внешним дифференциалом) О-формы / называется 1-форма в О, а именно, дифференциал первого порядка «(/ функции /. Определение. Если коэффициенты «/-формы «о = ~ а«„«„.,«(х) «(х«, Л «(х«, Л... Д «(х«, 1(«,(«,(...(« заданной в Р, дифференцирусмы в О, то з36 Д «(х, — ~ з«« ьз« «(х, Д «(х, =- ~ «~м ~ Фзз Зх, ДДХ.=~5 ьз« «(хз Д ах,=~~«з $зз В«з ( ) 1 $«з ) = ) ь«4)= ! Е«( (4 ~(= — 8, ) = 12, О~ ( = 4. дифференциал (внешний дифференциал) сссз формы сз есть дифференциальная (с/+1)-форма в В, определяемая равенством сЬ = зу" с((ас„с,, с (х)) /( с(хь д с(хс, /~ ... д с(хс~.
с<с~(сз( <с, Пример. Найдем с(сз, где зг= х~~х~хзс(хс Л с(хг — хг~зхзс(х Л с"хз+ +х~~хгхзгс1хс Л с(хз х~схзгс(хз Л с/хз. Решение. сЬ = с((хгх'хс) /( с(х, /~ с(хз — с( (х',хзхз) /~ с(хз /~ с(хз+ + с((хг,х ~зг) /~ с(х, /( с(х — с((хз1хзг) /~ с(хг сз, с(хз = (2х,хзгхзс(х, + +2хгх хзс(х + хг~хгс(хз) /л с(хл /л сзх (Зхгхзх ссхл+ х1хзс(хз+ + хс~хзс(хз) /, с1хз Л с(хз + (2хсхзхзгс(хс + хгсхзгс(хз + + 2х-', хзхзс(хз) /~ бх, /', с/хз — (Зх',х'с(хл+ 2хз хзс(хз) /1 с/хз /1 с(хз = = 2хгсхзхзс/хз Л осхг Л с(хз+хгх~йхз Л с(хс Л с(хз — Зх'хзхзс(хс Л с(хг /~ с(хз — х',хзс(хз /~ с(хз /1 с(хз+ + хгсхзгс(хз /~ с/х, сз, с(хз+ 2хгхзхзс(хз Д с(х, /~ ссхз— — Зх-",х;"с(х, /л, с(хг /л с(хз — 2хзхзс(хз Л с(хз /л с(хз= = — хг,хзхзс(х, Д с(хз Л с(хз — 2хг,хзхзс(хл Л с(х, Л с(хз— — Зхглгссх, /( с(хз /~ с(хз+ хгхзс(хз /л с(хз /л с(х,. Если порядок гладкости формы сз не меньше двух, то, как следуе~ из теоремы о равенстве смешанных производных, имеем с2(с(сз) =О.
Определен ие. Дифференциальная р-форма сз, заданная в области лс, называется точной в этой области, если существует такая (р — !)-форма юь заданная в сл, что с(огс=сз. Из предыдущего равенства следует, что если гладкая форма сз точная, то с(сз=сс(с(сзс)=О, т. е. условие с(се=О необходимо для точности гладкой формы. Покажем, что это условие не является достаточным для точности гладкой формы.
В качестве примера рассмотрим форму лду — зсСх сз = хз+ зз в области сл=((х, у):1<хе+уз<2) (рис. 45). Тогда форма сз~ Ы'(О) и 237 (хк + дк) дх — 2хуау — 2хЧх (хк + ук)к — (хк + д') Ед + 2хдах 1- 2д'йу 1"~ дх== (хк+ ук)к (х~+ ук)~ йх Д йу+ +и ду /', йх=О. (хк+ д')к д ~ худ — удх Так как при хне О имеем, что д (агс1й — ~ = =в, а из ус- х ~ хк+ук ловня Ну=О следует, что а=С, то удовлетворять условию ог=а Рас. 45 может только функция г=)(х, у)+С, где 1(х, у) — гладкая функциявРи агс1н =-, (х, у) ~ Р„Р,=((х, у):(х, у) ~ Р, х) О); 1(х, У)= агс1и д + й, (х, у) ~ Р„Р, =- ((х, у): (х, у) еп Р, х «О).
Покажем, что никакой выбор постоянной й не даст функцию 1(х, у), непрерывную (и тем более, гладкую) в области Р. Действительно, так как 1пп 1(х, у) = я)2 и 1пп )"(х, у)= — и,'2 + й, к-~0+,у)0 ккΠ—, Х)0 то для непрерывности 1 в точках интервала (1, )~2) оси ОУ, лежащего в Р, необходимо, чтобы я=я. Но тогда 1)щ 1(х, у)= — п)2, 1пп ~(х, у)=я/2+А=За/2 д †.д«о и 1 разрывна во всех точках интервала ( †)/2, — 1) оси ОУ, также лежащего в Р. х4у †д Итак, хотя 1-форма а = " принадлежит С' (Р), т.
е. хк+ у' вен(1'(Р), и й=О, хенР, однако не существует гладкой функции г: Р— ~Р— О-формы в Р, для которой Рг=в. 238 Определение. Дифференциальная форма сь, заданная в области с) и удовлетворяющая условию с(сь=О, для всех х~ьс называется замкнутой в этой области. Те ор е м а (лемма Пуанкаре). Если дифференс(иальнал форма замкнута в исаре, то она точна в нем. Эта теорема является частным случаем более общей теорелсы Пуанкаре о связи свойств замкнутости и точности дифференциальных форм, заданных в области ьс. В приведенной формулировке взята простейшая область — шар. Общая теорема Пуанкаре выделяет некоторый класс областей, для которых замкнутая дифференциальная форма, заданная в этой области, является точной. Эти классы областей для пространств )с" и )с' будут рассмотрены при изложении интегрального исчисления дифференциальных форм.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
