И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Математический анализ в задачах и упражнениях (1111792), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Пусть область (/ лежит в сс'-, область У лежит в /с . Пусть задано отображение ср; (/ — У и функция /: У вЂ” «)с. Определим операцию /-«ср'/ соотношением (ср'/) (и) = /(ср(и)), и ен (с'. Символ ср*/, в отличие от обычной записи композиции функций, показывает, что мы имеем дело с преобразованием множества функций, определенных на У, в множество функций, определенных на (/, т. е. с функционалом, определенным отображением ср. Пользуясь введенной выше терминологией, скажем, что отображение ср;(/ — «У порождает отображение срч;(з'(У)- Иь((/), преобразующее О-формы, заданные на У, в О-формы, заданные на (с.
Если ср: (/- У вЂ” гладкое отображение, то для каждой точки ие=(с определено соответствующее отображение касательных пространств Тсс — ТУ,~„« Каждой а-форме сь, заданной в (/, тогда можно сопоставить с)-форму срьсь, заданную в У, соотношением р'ы(о)(чс, мм "., т„)=м(р(о))(р'(о)чо р'(о)тм ", р'(о)ч,) Итак, каждое гладкое отображение ср: (/-«У порождает отображение срь: Яч(У)«йч((/), преобразующее с/-формы, заданные на Р; в д-формы, заданные на У. Это отображение называют переносом форм с У на (/.
Основные свойства отображения ср*: ь1ч ( У) «ьзч ((с) Е ср" (сьс+сьз) ср (сьс)+чр (сьз). 2. ср" (Хсь) .=Бр'(сь), Х с= Я. 3. ср' (а (о) сь) == а (ср (о)) ср' (сь). 4, (ср ср)' = ср' ср', ((ср(ср)) =ср'(ср')). 5. ср' (с(сь) = д(Чс'сь). б. ср' (сЬи Д сЬн /~ ... /~ сЬс ) = Е 1~Хсз< ° (сч 239 7. Если форма сз записана в координатном виде оэ и1 Гиэ из о~=иьизссм оь "1иэиз дифференциальная форма оэ сЬ1 Л сЬэ Л сЬэ+ (оэ+ из) гЬ1 Л сЬ3 Л сЬ4+ + 32сь 1.Ь1 Л сЬ4 Л сЬь+ (оэ+ оэ) сЬ1 Л сЬэ Л сЬь— -ос сЬэ Л сЬз Л сЬь+ (оз — оэ) сЬэ Л «оз Л «оь ЗаДаНа В У.
НайтИ ФОРМУ сйэСЗ, ЗаДаННУЮ В (/. Р е ш е н и е. с(ос = 2и,иэиь с(и1 + и',и, с(иэ+ и',иэ с(иэ сЬз = 4из с(иэ — 4из с(и + 4изз с(из сЬз — — 4из с(иэ+ 4из сЬэ — 4и, 'с(и„ сЬь ="' иэиз с(иэ+ 2иэиэиз 41142 + иэиэ ииэ, сспь = и,и, 'с(иэ+ и,из' с(иь+ 2и,иэи, с(иэ. Отсюда получаем, что 2и,и,и, и',и, 4из — 4из 4из — 4из и,и, 2 4изз — 4иэ сьэ Л сьз Л сьэ =- с~и Л с(иэ Л с(из= = 32из(изэ+и4) с(и, /\ с(и Л с(и 2и,и,из иэиз 4из 4из иэи, 2и,и,и, и,и, 2 4из з и,иэ 2 с(иэ Л с(и Л с(из=- = 4иэи'из(Зи4+ и4+ изь) ссиэ Л с(иэ Л сЬз, 240 — Х сс. „(о) сос, Лсьь Л "Л ь„, 1'ПС,<С <...<1 то координатная запись формы срэм получается из координатной записи ьэ прямой заменой переменных о=~(и) с последующим преобразованием в 'соответствии со свойствами внешнего произ- веления.
П р и и е р. Пусть область У лежит в /сз, область У лежит в /43, отображение 411(/- У задается формулами о,=-и и,и, п =и; — и +и, 2 — 4 4 4 3' Э 1 2 3' и,и, и,и, г г 2и,и,и, и,и' и,и,, '2и,и,и, 2и,иаиз игиз г и,из г г(и, Л Ниа Л азиз = зЬ, Л з(оэ Л а(из = = 4и-',иги (и4 и4 3и') г(иа Л г/иа Л азиз 4иг — 4и' и,и, г 4из — 4иг 4и' 4и' 1 г иггиз 2игизиэ (,Л ь,Л(.= г(па Л '(пз Л <"из= = 32и4иа(из+ 2иза) ди, Л азиз Л азиз, 4и' — 4и' 4и' 4и:,' 4и, '— 4и,' и,и, 'и,иг 2и,и,из 3,Л ('Л /.= г(о Л г(пз Л (оз = =32и~и (2и',+Ю ° Л ° Л за = (иги'из 32 (и,'и' + и-,"и„") + 2и1 (12иги'и, '+ 4и,'изи, + 4изи'из)-)- + 32и,и и' 4изизиэ+ 2и," (4изи'и,— 4игизи — 12и'и,'из)— — и',и,и, (32и',и'+ 64и',иэи4) + 2 (и4 — и4) (64и',и",и, + 32и4и')) м мди, Л авиа Л г(из= 16и'и 1изиг г— 2и'и'и'+ 8иэ+ 4и'и4— — 4и,') г/и, Л Ыиа Л г(из.
Если порядок а/ формы ы, заданной в области У~/с", больше„ чем размерность области (/~/1'-, то для любого гладкого отображения ф: У- 'г' форма фаза будет нулевой. С другой стороны, если ф: У вЂ” э-'г' — диффеоморфизм, т. е. существует обратное гладкое отображение ф-': 1г — з.(/, то отображения ф': ззз(У)-э4зз(0) и (ф ')*: 1зз(У)- ЙР(1г) взаимно обратны, т. е. отображение фз: : 1Р(1') — э4зг(У) бнективно. Оп р ед ел е н и е.
Пусть 5~/сз — простая гладкая поверхность. Дифференциальная 2-форма еа задана на 5, если на векторах плоскости Т5„ касательной к 5 в точке з, определена 2-форма н. Если поверхность 5 кусочно-гладкая, то дифференциальная 2-форма задана на 5, если эта форма задана на каждой из гладких составляющих 5. 241 Подставляя выражения переменных оь оь оз, п4, оз через переменные иь иг, из в коэффициенты формы в и заменяя простейшие дифференциальные 3-формы переменных оо ог, пз, о,„оз полученными выражениями через 3-форму ди,ЛдигЛйи„окончательно получаем, что Примером дифференциальной 2-формы, заданной на простой гладкой поверхности 5~)с', может служить одна из координат вектора нормали к 5, если этот вектор определяется как векторное произведение двух неколлинеарных векторов соответствующей касательной плоскости.
Пусть гладкая поверхность 5с:)с' лежит в области Ос:)сз и дифференциальная 2-форма в задана в 40. Тогда для любой точки зен5 имеет место включение Т5,сТ11, и, следовательно, можно рассмотреть сужение формы в на Т5,. Такое сужение представляет собой форму, заданную на 5; эту форму называют сужением в на 5 и обозначают в|е. Если 5=(ср(и, о), (и, о)енсс)— параметрическое представление поверхности 5, то можно сделать перенос со*в и ср*в~е форм в и в~е на О, при этом формы ср*в и ср"'в)з тождественны. Поскольку отображение ср': Т(/оь в — Т5, есть изоморфизм, то можно переносить формы как с 5 на У, так и с У на 5; поэтому формы на гладкой простой поверхности обычно задаются в области изменения ее параметров.
Точно так же определяется задание дифференциальной 1-формы на кривой /.с:Я' и ее перенос на область изменения параметра. Покажем это на примере. Пр имер. Найдем сужение формы в=уггс(х — хугс(у+хггссг на коническую винтовую линию х=ае — ссозг, у=не — сз)пс, г=ае-' (а>0). Р е ш е н н е. 41х = а ( — е-' соз 4' — е — ' яп () сУ, с(у=а(е — ссоз1 — е — сз1пс)с(с, с(г= — ае — 'сУ. Следовательно, в= — а'е —" япзс'(е — 'соз/+е — 'з!пг) ссс— — а'е —" яп с соз 1(е — ' сов 1 — е — ' яп () с(/— — а'е — '"соз/е — 'с(с= — а'е — "(яп с+соз 1) су. Пример. Найдем сужение формы в=хус(х /т с(у+угс(у Д с(г+ +хгс(г /1 с(х на конус х=ио, у=и'+о', г=и' — ос.
Решение. с(х=ос(и+ис(о, с(у=2ис/и+2ос(о, с(г=2ис(и — 2осЬ. Следовательно, дх /44 41у = ~ 2 2 ) Ии /т сЬ = 2 (о' — и') 41и Д сЬ, 2и 2о~ с(у Д с(г =1 и о ! йа /1 4(о = — 8ио с(и /1 с(о, ~ 2и — 2о с(г /т с(х == ! " о ) с(и /~ сЬ =- 2 (и'+ о') с(и /т сЬ о и и в= 2ио(и'+о ) (о' — и) с(и /4 сЬ вЂ” (и' — ос) Зиода /4 с(и+ +2ио(и' — ос)(и'+ос)4(и Д сЬ= — 8ио(и' — о')4(и /1 с(о. 242 С) Интегрирование дифференциальных форм. Ориентация пространства К". Простое ориентированное многообразие в К', Интеграл по многообразию Множество базисов в пространстве Р" разбивается на два класса эквивалентности таким образом, что определитель матрицы перехода от базиса одного класса к базису того же класса положителен, а к базису другого класса отрицателен.
Эти классы эквивалентности называют классами ориентации базисов. О п р е дел е н и е. Ориентированным пространством )г" называется пространство Я" с фиксированным классом ориентации его базисов. Поскольку класс ориентации базисов определен указанием одного из принадлежащих ему базисов, то ориентированное пространство ц'" задается как пространство )г"',„„, „ ,„ с фиксированным базисом аь ам ..., а„. Для краткости пространство Я" со стандартным базисом е„ е„ ...,е„ будем называть просто ориентированиыи пространством К". Базис фиксирован, когда заданы составляющие его векторы и их порядок, Базис аь ..., аь ..., аь ... ...,а„, полученный из базиса аь „ао...,аь...,а„перестановкой любой пары векторов, принадлежит другому классу эквивалент- П е ности, т. е. пространства Йа„...,а,...,а,...л н Яа„...,а...,а,,а орн ентированы противоположно. В одномерном случае базисами разных классов ориентации являются ненулевой вектор а и противоположно направленный вектор Ха, к<0.
Гсометричсски, задать ориентацию на промежутке (а, Ь)Й~ — это указать, проходится ли этот промежуток слева направо или справа налево, т. е. указать начальную и конечную точку движения по промежутку. В пространстве й" (п>2) простейшим методом перехода от одного класса ориентации базисов к другому является перестановка векторов стандартного базиса. В двумерном случае, переставляя векторы базиса, получаем два противоположно ориентированных пространства Р.„и К„„. я 2 В трехмерном случае имеется шесть перестановок хуг, угх, гху, хгу„ухг, гух векторов базиса и шесть ориентированных пространств разбиваются на два класса К.'„„й„,„, й'„,'„„и )(,',„, й„'„, з Й,„; таким образом, что пространства в одном классе ориентированы одинаково, а ориентация любой пары пространств из разных классов противоположна.
Определение. Интеграл от и-формы в=((х)йх|Д~(хгД... ...Ддх„по области йс:Я" обозначается ) ы и определяется равенством ~в = ~) (х)п'х. Если Ь' и г' — области в к'", то диффеоморфизм (регулярное отображение) ф: У-~-К задает переход от базиса диь зим...,пи„ к базису поп дом...,Но„. Рассматривая эти два базиса в Я", видим, что отображение ф сохраняет ориентацию Я", если бе( (ф') > 243 >О, и изменяет ее, если йе((~р')<О. При этом чгг'(гЬ1ЛгЬгЛ... ...
ЛгЬ„) де((го')г(и,ЛйигЛ ... Лг(н,. Формула /(х) г(х= ) Г" йо(1))бе((ср')Ж о=тгон о, замены переменных в кратном интеграле при условии, что диф- феоморфизм гр: Р,— г-Р сохраняет ориентацию тгк (т. е. Йе((гр') > )О), получается формальной подстановкой х=го(1), и ее можно записать в виде ~ в= ~~р"ьг. В таком виде эта формула спра- чЬ> В ведлива и для диффеоморфизма гг, изменяющего ориентацию, ь а т. е. если бе((ч/) <0. В частности, формулу ) )(х) Нх= — ( /(х)г(х а ь' можно рассматривать как замену переменного гр:х-+-( — х), ме- няющую ориептациго пространства )г'. О яр ед ел е н не. Множество Мс:.)т называется простым гладким многообразием порядка д, если М есть образ жордано- вой области (или ее замыкания) Р~Яч при гладком невырож- денном отображении гр:Р-г-Гт' (т.
е. ~ренС'(Р) и ранг матрицы Якоби ~р равен д). Запись М=(гр(хь хг....хг), (хь хг,...,х )енР) называется параметрическим представлением М, область Р— об- ластью значений параметров М. О п р ед е л е и и е. Гладкие невырохгденные отображения : У-+Я", У~)гг, и гр: Г-+гт", Ус)гг, называются эквивалентными, если существует такой диффеоморфизм /: У-+-'к', что ~р(и) = =ф()(и)) для всех и~К Если ~ и гр — эквивалентные отображения, то выражения (гр(ио иг,...,и,), (иь иг,...,иг)енУ) и (ф(о,, о,,...,ог), (о„о„...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
