И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Математический анализ в задачах и упражнениях (1111792), страница 37
Текст из файла (страница 37)
П р и и е р. Проверив, что поле А=(х — у+г, у+ г — х, х+у — 2г) соленоидальио, найдем его векторный потенциал. Р е ш е н и е. Поле А соленоидально, так как б(чА = — (х — у+г)+ (у+г — х)-,'- (х-,' у — 2г)= д д д д» ду дг =- 1 —; 1 — 2 =- О. Одним из векторных потенциалов поля А является поле ))7=(йГ„()У, в7,), где ))7,=- О, х2 Я7„= ~ (х + у — 2г) с(х = — + ух — 2гх, х~ Ж г = ~ (х у — г) ох+ ф (у, г) = — — ух — гх+ ф (у, г), дч д Г «~ — = х — у -(- г -(- — ~ — + ух — 2гх) + ду ' дг ~ 2 д I х| + — ( — — + ух+ гх ), ду(, 2 де — =- — у+ г, ду <у =- — — + гу.
2 Итак, векторным потенциалом поля Л=(х — у+г, у+г — х, х+ +у — 2г) является векторное поле Р=йт+дгад и, где хч х' — у' К= ~0, — -1-ух — 2хг, — ху — хг+гу~ 2 2 и и — произвольная функция класса С'. Т е о р е м а (формула Грина) . Пусть область 0 лежит в К' и граница д0 области 0 состоит из конечного числа кусочно-гладе ких контуров д0= (~ Ь,. Обозначим через д0!- объединение ч=! контуров 0 (1(д(Я), ориентированных так, чтобы при их обходе область 0 оставалась слева, Тогда если функции Р(х„у) и 1,1(х, у) непрерывны в 0 вместе со своими частными производны- дР д»2 ми — и —, то ,ду дх ' Рйх+Ггйу Я ~ др д ) йхйу до+ О Если через ь» обозначить форму Рйх+Яйу, то формула Грина за- пишется в виде Если контур !'.
лежит на поверхности 5, то назовем часть 5, ограниченную !'., поверхностью, натянутой на контур Ь. Если поверхность 5 ориентируема и контур 0 ориентирован, то ориентацию 5, при которой заданный обход контура Л положителен, назовем согласованной с ориентацией 0. Т е о р е м а (формула Стокса). Пусть область 0 лежит в )гз; функции Р, Я, ЯеС»(0); ориентированный контур Т.с0 и 5с:0— натянутая на !'- ориентированная поверхность, ориентация которой согласована с ориентацией !'..
Тогда е ' ду д!'> Рйх+Ойу+Ябг=~~ ) — — — ) йу Д йг+ ,, ду дг +~ ду — дн )дг ь, Лх+( д!г — др )йх/' йу. ,дг дх! , дх ду На практике поверхностный интеграл второго рода, стоящий справа, часто переводят в поверхностный интеграл первого рода н пользуются формулой Стокса в виде сова соз)) соз у д д д ~ Р йх-~- О, йу+ )!' дг = Д дх ду дг Р Я К где сова, совр, сову — направляющие косинусы вектора нормали к 5, характеризующего ориентацию 5.
Если через ы обозначить форму Рак+ лбу-~-)Тс(г, то формула Стокса запишется в виде В терминах векторного анализа формула Стокса выглядит так. Пусть область Р, контур Е и поверхность 5 удовлетворяют сформулированным выше условиям; и — единичный вектор нормали к 5, характеризующий ориентацию 5, т — единичный вектор касательной к Е, направленный соответственно ориентации Е. Тогда циркуляция гладкого в Р векторного поля А вдоль контура Е равна потоку го(А через поверхность 5 (А.т)аз=~А,йх+А„с(у+А,ах=а(го(А п) й5= с 3 Т е о р е м а (формула Остроградского — Гаусса). Пусть область Р лежит в йз и граница дР области Р состоит из конечного числа кусочно-гладких поверхностей.
Тогда если функции Р, Я, )гс-С'(П), то ~~ Р а'у /~ с(г+ Я йг ~~, с(х+ Рт ау Д ах =- ~'~~ ~ дР + дС> ду о где первый интеграл берется по внешней относительно Р стороне дР. Если через ы обозначить форму Р йу Д йг+Я иг Д ах+ К ау Д ах, то формула Остроградского — Гаусса запишется в виде ~ ~ ы = — Я йы. В терминах векторного анализа формула Остроградского— Гаусса выглядит так.
Пусть область Р удовлетворяет сформулированному выше условию. Тогда поток гладкого в Р векторного поля Л через поверхность дР равен интегралу от б(чА по .Р: 267 соз а А„ соз р соз у, д д — — с(5. да дг Л, А, ~ ~ (А п) с(5 = ( ~ А, дд Д с(г+ А„дг Д дх чс А, дх /~ а'д = дй 'гО =) ') ~с(1чАдхдудг.
Ь Область Р~/с' называется односвязной, если для любого контура /.с Р область Р„~)с", ограниченная Ь, целиком лежит в Р. Если область Р односвязна, то любой контур !с:Р можно непрерывно стянуть в точку, не выходя из Р. Теор ем а. Пусть область Рс:/с' (Рс:)с') такова, гго любой контур /.~Р непрерывно стягивается в точку, не выходя из области Р. Тогда гладкая замкнутая дифференциальная 1-форма сь, заданная в Р, точна в этой области. В терминах векторного анализа это утверждение выглядит так: Пусть область Рс)сг (Рс:/с') такова, что любой контур /.сР непрерывно стягивается в точку, не выходя из Р. Тогда гладкое векторное поле, заданное в Р, потенциально тогда и только тогда, когда всюду в Р го1А=О. Поле, удовлетворяющее условию го1 А =О, называют безвихревым полем.
Естественная область применения формул Грина и Остроградского — Гаусса — это интегралы второго рода по замкнутым контурам на плоскости и замкнутым поверхностям в пространстве. Нв иногда, особенно в пространстве, вычисления упрощаются, если замкнуть незамкнутую поверхность или кривую и считать данный интеграл как разность преобразованного интеграла по замкнутой поверхности или кривой и соответствующего интеграла по замыкающему множеству.
В качестве такого множества обычно берутся отрезки прямых или части плоскостей, параллельных координатным, поскольку по таким множествам интеграл второго рода вычисляется наиболее просто. П р и мер. Вычислим уназанным способом интеграл из примера на с. 261: ) ) у'дг Д дх — х'дд/1 дг+ггдх Д ду, где 5 — часть поверхности тела г'=(х, у, г):2х'+2у'(аг(хг+ +у'+а') (а>0), вырезанная условием д»0, и нормаль, характеризующая ориентацию 5, в точке М=(0, а/2, ба/4) образует острый у.
лс Ог, Р е шеи не. Замкнем поверхность 5 частью пяоскости у=О. Тогда полученная поверхность 5 будет границей тела: т" = ((х, у, г): у>0, 2х'+2д'(агах'+д'+а'). Точка М=(0, а/2, ба/4) лежит на верхней границе тела р и нормаль в этой точке направлена вверх, следовательно, интеграл берется по внешней стороне поверхности д(т. На поверхности 5~ — части плоскости у=О, входящей в у, внешняя нормаль направлена противоположно осы 268 ОУ, следовательно, запись ориентированной поверхности 5г есть 5,=(х=х, у=О, г=г, (х, г) ев/), 0=-((х, г): 2х'(аг(х'+а')). Итак, в силу формулы Остроградского — Гаусса '! '! у'!(г /т !(х — х'т(у /т аг+г'ах /т т(у == = П у-'с~г /! дх — х'дг Д'!(у+г'ах /! !!у— ар — Д у'"' дг /т т(х — х' аг /! йу --,'.г' Йх /! Йу = зр = Щ(2у — 2х + 2г)ахт(уаг — '! ~ у'- !(г /т пх — х' ау /1, аг + гг ах /1 ау.
Находим сужепис ф*ы формы !п=угаг/т,!(х+хЧгД!(у+гЧх/~!2у на 5,: !(у=-О, ф*ы=О. Так как 'т': ((х, у, г): х'+у'~а", 2х'+2у' аг(х'-(-у'-(-а' д)0) следовательно, ~ у' !(г /! с(х — х' !(у /'1 !(г+ г' дх /~ !(д = И+у~+я' 0 = Я~'( (2у — 2х+ 2г) ахат/г= 2 Д т(хдд ~ (у — х+г) !(г= О г м+гу' О = — ~~ ~а( — х+у)(а' — х' — у')+ 2 г а' о + — (Зх'+ Зу'+ а') (а' — х' — у') ~ !(х !(д = 1 э И О 2 = —" ~ с!ф ( ! (атг' — ат') ( — соз ф+а(п ф)+ — (а'г+ 2а'г' — Зга) ~ г(г дЯ 2 о о =а'( — + — ~, !5 2 Пример. Найдем поток вектора А=ха)+уа/+ге/г через: а) боковую поверхность конуса 0=((х, у, г): Н (х" +у')е г'тс', О~г(о) (/с) О); б) через полную поверхность этого конуса. Р е ш е н и е.
Обозначим через и единичный вектор внешней нормали к границе дР конуса Р. Начнем с и. 6). В силу формулы Остроградского — Гаусса поток вектора А через поверхность дР есть ~ (А ьг) ь(5.— 'ь, ') ~ д! т А сьх ь(у г7г — — ~ ~ ь(х ь(у ео о к ~-к <яь (Зх~+ Зу~+ ьь --. Ь'кмкаь я +Зг')бг=З ~ ь(ср ~гй. ~ (г'+гз)ь(г= е а нья я Нг ' к Ь а Высь =бп~ ~»'(Н вЂ” — )+ — (Н' — — ! ~ ь(к=в 17 ь 3, 71ь о 2п~ЗНгз — гь( — "-; — —" д гНь ьЬ= о 2„~ Няь ' (ЗНоь+Ньяь)+ ' На)гк( 4 5 2 ьс'Н (йь'+ 2Н') 1О Д(А.п)ь(5=Я(А п)ь(5 — Д(А и) ь(5= 3, ао Зь ф'+ 2Н') — Д Н' ь(х ь)у =- 10 к'+аькяь (Льь+.
2Нк) — иМНа = (Зй' — 4Н'). 10 10 270 Вычисление потока вектора А через боковую поверхность ко- нуса Р проведем двумя способами. 1. Обозначим через 5, и 5г соответственно внешнюю сторону боковой н верхней поверхности конуса Р. Тогда вектор и, харак- теризующий ориентацию 5м сонаправлен оси ОЛ, следовательно, запись ориентированной поверхности 5г есть 5 =((х, у, г): х=х, у=-у, г=Н, (х, у) ~Р, Р=((х, у): х'+у'(яз)). Находим сужение ьр~ь» формы ьа=(А п)ь(5 =хэь(у)ь, ь(г+узь(г )ьь ь(х+гзь1х Л ь(у на 5: ь(а=О, Чь'ьа=Наь(х Д ь(у.
Следовательно, 2. Вектор и, характеризующий ориентацию 5,— боковой поверхности конуса О, образует с осью ОЛ тупой угол, т. е. внешней стороной поверхности 5, является нижняя сторона. Поэтому за-' пишем ориентированную поверхность 5, тзк: 5, = ((х, у, г); х=х, у=у, г= — 1/х'+у', (у, х) ~ О, Н Н О=((х, у): х'+у'с. Д') (, Находим сужение ф*ы формы уз=(А и) /15 = ха//у Д Дг+ухг(г Д г(х~-гхпх Д Ду на 5,: дг=— Н хдх+уяу й 1/хэ+ уэ Н ххнуиах Н у4 д Н ')/хи+уз + Н ')/~в ануя у/' + + — (х'+у'))/хх+у'г(х /~ ду= — ( — — (ха+уз) ''+ Следовательно, ~ (А. и) Й5 = Д~ х' йу /~ г(г+ уз дг Д г(х+ г' Йх Д г(у = 8, 81 = — ~~ ( — — (х'+у') + Н гп/ Н, з/ +у' ) пу /'~ Нх ~Д [ Н2 (хз+ ух)з/з ь дй х +у ~ .(унх о 2я я = — 1 йр ( ( — Н'+ Ях(созхф+з!п'ф)) 74 г(г= — (ЗЯз — 4Нз) Нз 1о о а П р и м е р.
Вычислим (соз у+уз)их+у')Нх — (сов х+ ха(пу+х') Ыу, где 1.— часть кривой г=а(1+воз ф) (а)0) от точки А (2а, О) до точки 0=(0, О), лежащая в верхней полуплоскости (декартова н полярная системы координат совмещены). 271 Р е ш е н и е. Замкнем кривую АО отрезком ОА оси ОХ (рис. 48). Направление кривой АО индуцирует обход полученного контура так, что область /)=((т, ]р): 0«р<п, 0<т<а(1+ Рнс 43 +соз<р)), ограниченная им, остается слева. Следовательно, применяя формулу Грина, получаем, что (созу+уз]пх+у') !/х — (соях+хя!пу+х')!/у+ + ~ (соз у+ у 33 п х (- у'-') дх — (соз х + х ейп у — х') ](// = ол ~(з(пу — 31пх — 2у+3)ох — гйпу — 2х) ах]/у= о Н а! ]4 СМ4] = — 2 Д(х+у)дх]/у= — 2 ~4(!р ~ г'(соа]р+3]п]р) с/г= 9 Э = — — па ~ ((1+ соа ~)а з(п ]р+ с!и ]р+ 3 сова ]р+ 3 сова !р+ 2 3 +сов <р) 4(]р= — — а — (!+сов]р) ~ — — а ]С 4 2 3 ! 4]~ 2 з 3 4 3 3 )'(3/2) Г (!/2) Г (3/2) Г (]/2) ) 8 3 з вне' Г (2) Г (3) ) 4 Так как ОА (х х, у=0, 0<х<2а), то сужением ]р*е] формы а]=(сову+уз]ну+у')](х — (соз х+хгйпу+х')!(у на ОА является форма е]=ах.
Следовательно, ') (соз у+ у з)п у+ у ) ](х — (соз х+ х 3(и у + х') !(у = ') !(х = 2а ОА о 272 и, окончательно, (соз у †. у з!п у -, у ) лх — (соз х+ х 5!п у+ х ) г(у = 3 зла" , з 3 ч В дополнение к свойству 5 криволинейного интеграла второго рода (см. с. 248) выведем еще одну формулу связи криволинейных интегралов первого и второго рода. Пусть ь — простой гладкий контур, лежащий в Я'; т=(сова, яп а) — единичный вектор касательной, направленный соответственно положительному обходу т'., и п=(совр, яп И вЂ” единичный вектор внешней нормали к т'.. Так как вектор и направлен вправо от вектора т, то угол поворота от т к и равен ( — и/2). Отсюда получаем, что сов й=з1п а, яп р= — соь а и, следовательно, в силу свойства 5 для функций а,:)(" — ь', а,:тс'- )с имеем равенство ') (а, соз р —; а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
