И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Математический анализ в задачах и упражнениях (1111792), страница 39
Текст из файла (страница 39)
279 Основные свойства криволинейного интеграла второго рода (Всюду предполагаем, что функции Р(х, у, г), Я(х, у, г) К(х, у, г) непрерывны в некоторой области Вс:11г, содержащей кривую 1..) 1. ~ Рдх-)-(гау+Рйг= — ~ Рдх+9Иу+Наг л в в л (направленность интеграла). 2. ~(аР,+~Р,) Нх+(аЯ,+Яг) г(у+(аЯ,+())се)г(г= г = а ') Р, дх -)- с1, ау+ Л, Нг+ () ') Р, Их+ Я, ду + В, йг, а, () — постоянны (линейность интеграла). 3. Если АВПВс, =(В), то ~ Рйх+ Яду+В(г+ ~ Рак+ 1гау+Ж1г= ~ Рйх+Яг(у+ййг лв вс лЬ "(аддитивности интеграла). 4.
Если в области Вс:Л' существует такая дифференцируемая функция ((М) „что й1=Рах+9ду+Р~(г, то для АВ~О ~ Р1х+Му+йа =Г(В) — 1(А). лв В частности, в этом случае для любого контура 1~1) ~ Р 1:+цау+ Ваг =О. Обратно, если для любого контура 1.~В верно равенство ~ Рах+Ойу+ )саг = О, то в области 0 существует дифференцируемая функция 1(М), для которой 4=Рг(х+Ог(у+от(г. 5. Если АВ=).=~(х, у, г): х=х(1), у=у(1), г=г(1), 1е= (а, Ь)), где а < Ь и х(1), у(1), г(1) е С'(а, Ь), (х'(1))'+(у'(1))г+(г'(1))г)О, А=(х(а), у(а), г(а)), В=(х(Ь), у(Ь), г(Ь)), 280 то Р(х, д, г)йх+Я(х, у, г)йу+Р(х, у, г) йг= в ь = ~ [Р(х(Е), у(Е), г(Е))х',+О„(х(Е), у(Е), г(Е)) у',+ а +В(х(Е), д(Е), г(Е)) г,] йЕ. Для упро|цения выкладок полезно заметить, что при любой зеараметркзации отрезка Е.=[А, В], параллельного оси ОХ, функзтии у(Е) и г(Е) постоянны, следовательно, у =О, г,'=О, и позтому Рйх+Яйу+ Кйг = ~ Рйх, [л,в1 Ез",в1 точно так же для отрезка [С, О] „параллельного оси ОУ, Рйх+Ойу+Кйг = ') Яйу, Ес',о1 Ес',о1 и для отрезка [М, Ф], параллельного оси 02, Рйх+ ()йу+ Яйг = ~ й1г.
Ем. ьп Ем'.вЕ Свойства 3 и 5 дают формулы вычисления криволинейного интеграла П рода для гладких и кусочно-гладких кривых. Пр имер. Вычислим ~ (у'+ 2хд) йх+ (х' — 2ху) йу Хв где А — дуга параболы у=х' от точки А(1, 1) до точки В(2, 4). Р еш ен не. Запишем кривую Е=АВ как простую гладкую ориентированную кривую Ь=((х, у):х=х, у=ха, хеэ[1, 2]).
Тан как х'„=1, у'„=2х, то, применяя свойство 5, получим, что г (цз+2ху) йх+(хз — 2хд) йу= ~ [(х4+2х')+(х' — 2хз) 2х] йх= лв ! 2 (4х' — Зх4) йх=!5 — — 31 = —— 5 з Пример. Вычислим ~(ху+хз+у')йх+(х' — уг)йу, где  — конй тур треугольника ОАВ: О=(0, 0), А=(1, 2), В=(0, 2) с положительным направлением обхода (см. рис.
4б). гз! Р еш ен не. Кривая 1.— кусочно-гладкая. Опа состоит ив трех гладких ориентированных кусков: отрезков ОА, АВ, ВО. Запишем каждый из них как простую гладкую ориентированную кривую, проходящуюся при возрастании параметра: ОА=((х, у):х=х, у=2х, хин [О, 1!), АВ=((х, у):х=-1 — 1, у=-2, ге= (О, 1!), ВО=((х, у):х=0, у=2 — 1, 1е=(0, 2)). На отрезке ОА имеем х„'=1„у„'=2, следовательно, в силу свойства 5 ~ (ху+ х'+ уо) г(х+ (х' — уо) о(у = — ~ ((2хо + х'+ 4хо) + Ол о 1 + (х' — 4х') 2) о(х= ~ хЧх=1)3, о На отрезке АВ имеем х>'= — 1, у,'=О, следовательно, 1 (хд+ хо+ у') о(х+ (х' — уо) Иу = ~ (2 (1 — 1) +(! — (!'+ 4) ( — 1) й = лв о 1 = ~ (41 — 7 — (о) Ш = 2 — 7 — 1)3 = — —.
16 3 о На отрезке ВО имеем х,'=О, у>'= — 1, следовательно, 2 ~ (ху+ х'+ д') >)х+ (х' — у') о(у = ~ — (2 — 1)' ( — 1) о(1 = во о = ') (2 — 1)ой=8,'3. о Применяя свойство 3, получаем, что (ху+х'+у')о(х+(хо — у') Иу= ~(ху+хо+у')йх+ +(х' — у') о(у + ( (ху+х'+у') дх+(хо — у')ду+ лв + ~ (ху+ х'+ у') о(х+ (х' — у') 4у = — — — + 873 = — 7/3. 1 16 3 3 во Выкладки становятся проще, если испольэовать свойство 1, тогда отпадает необходимость вводить параметр так, чтобы кри- 262 свая проходилась именно при возрастании параметра. Покажем вто.
Если отрезок АВ параметрически представить как ((х, у); х=х, у=2, хе= (О, 11), то он будет проходиться при убывании параметра х от 1 до О, а отрезок ВА будет проходиться при возрастании параметра х от 4) до 1. Следовательно, (ху+х'-1-у')Нх+(хо — у') г(у= — ~(ху+хо-1-у') йх+ лв вл ! +(х' — уо)о!у = — ~(2х+х'+4) йх= — (! + — -1- 4! = — —. 3 / 3 о Аналогично ОВ=((х, д):х=О, у=у, уев(0, 21) (ху-1- х'-1- у) ~!х+ (хо — у) г(у = — ( (ху+ х'+ у) дх+ во ов + (хо уо) г(у — ~ ( уо)у ==— 8 3' о Применяя свойство 3, получаем, что 1 !б 8 7 (ху+ х'+ у') о(х + (х' — у') ду = — — — + — = — —.
3 3 3 3 П р и м е р. Вычислим ~ удх — хо(у, где (. — астроида х'~о+ !. +ум'=а'м с положительным направлением обхода (а>О), Р е ш е н и е. Запишем уравнение астроиды в параметрическом виде: х=асоз'1, у=аяп'й Тогда положительному направлению обхода соответствует возрастание параметра 1 от 0 до 2л. Итак, ).=-((х, у): х=асозо(, у=аяп'1, ! еа (О, 2л!).
Отсюда получаем, что х', = — За созо ! 3! и 1, у', = За 3! по г соз 1, и в силу свойства 5 удх — хф=~ ( — аз!и'! Засов'1яп ! — асозо! Заз!и'!соз!)Л= о Л лн = — За'~ соз6!3|па! (яп*!+соз61)о(= — 12аа ~ соза(яп'!6((= о о = — ба' Г (3,'3] Г (3/3) 6 1 6 / ! ! Заал = — Заа . — Г' ( — ) =— Г(3) 4 2 ) 4 На практике удобно преобразование подынтегрального выра- жения вести отдельно.
П р и м е р. Вычислим (х+ у) 4х — (х — у) 6(у, где (.— петля кривой г=а сов бф (а>0), пересекающая полярную ось, с положительным направлением обхода (декартова и полярная система координат совмещены). Р е ш е н не. Запишем уравнение кривой Ь в параметрическом виде: х4 псозбфсозф, у4 псозбфяпф, тогда положительному направлению обхода заданной петли соответствует возрастание параметра от — и/6 до п(б. Итак, ь=((х, у): х=асозбфсозф, у4 псозЗфяпф, фен [ — и/6, и/61).1 Отсюда получаем, что х' = — а (3!и 2ф+ 2 яп 4ф), у' = а (2 соз 4ф — соз 2ф); (х+у)6(х — '(х — у)бу=( — а'(созф(-япф)созбф(яп2ф+231п4ф)— — аа (соз ф — 31п ф) соз Зф(2 соз 4ф — соз 2ф)] !(ф= = — аа соз Зф (б 31п Зф + 2 соз Зф) !(ф Следовательно, (х+ у) 6(х — (х — у) 6(у = — ~ а' соз Зф (6 я и Зф + 2 соз Зф) 6(ф = — Л,'6 Л66 абл = — аа ~ (1+соз бф) бф = — —, з — Л66 П р и м е р.
Вычислим ~ г6(х+2х6(у — удг, где А — кривая: ха+у6=-2ах, аг=-ху, х) 0; А=(0, О, 0), В= (2а, О, 0), а О. Р еш ен не. Для точек кривой АВ из первого уравнения пелучаем условие х>0; из условия г>0 и второго уравнения сле- дует, что у>0. Отсюда получаем, что кривая АВ может быть па- раметризована следующим образом: х= х, у= ')/2ох — х', г= — "у'2ах — х', х ен 16, 2а) а и заданной ориентации соответствует возрастание параметра х от" 0 до 2а. Итак, В =- ((х, у, г): х = х, у = 'у 2ах — х', г = — "~(2ах — х', х еп (О, 2а1 ~ а Отсюда получаем, что а — х х' = 1, у' = , , г' = х 1,'2ах х« ' к а г' 2«х — х« Следовательно, гйх+ 2хду — удг = ~ — ~/2ах — х' —,' а +2х ° — — — у 2ах — х'.
) дх= а — х Зах — 2х« 1 2ах — х' а г' 2ах — х« «+2а « 2ах , ' 2х« у 2ах — х' — —. - — Зх+ — ~ дх. а 1' 2ах — х«а Итак, г« гйх+ 2Ыу — уИг = ~ ~ у' а' — (х — а)'+ а лв о + 3 у~а — (х — а)— « 2а (х — а) 2«« Уа' — (х — а) ' 1/а' — (х — а) ' « — Зх+ — ~ г(х= ( ~ — ~/а- "— 1«+ З~'а' — )а— — « 2«1 2«« и гу бо«+ о« 1' ૠ— И )Гૠ— «« з з~ .г,, ), г ~« = — ~1 1га — 1 — — а агсгйп — ~ ~ — аа = — — — — а'. 2 2 З 2 З Заметим, что в этом примере при такой параметризации кривой АВ функции у(х) и г(х) не являются гладкими на 10, 2а], так что формально мы здесь не имели права применять рассмотренные выше соотношения. Но, как уже не раз отмечалось в аналогичных ситуациях, если в этих соотношениях вместо интеграла Римана поставить несобственный абсолютно сходящийся инте- 285 грал, то они остаются в силе. Этим утверждением будем пользоваться и дальше. Можно параметризировать кривую АВ и так, чтобы все функции были гладкими.
Именно положим; х=а(1+сов !), у=а з!и Г, г=а яп !(!+сов !) , "тогда точке А= (О, О, 0) отвечает значение 4=и, точке В=(2а, О, 0) — значение (=О. Итак, АВ= Р=((х, у, г): х=а(! +сох!), у=аз)п г, а=аз!и((!+сов!), ! е= [О, и]), кривая АВ проходится при убывании параметра ! от и до О. От- сюда получаем, что х,'= — аяи1, у',= — асоз1, г,' — — а(соз!+созз! — яи'(); следовательно, гйх+ 2хйу — уйг= [а'( — з!и' ! — яп'!сох!+ 2 соз (+2 созз !— — соз ! яп ! — созУ ! з! и ! + я и' !)] й! = а' [соз ! (2 — з!и' ! — яп !)+ +з!п((! — 2 созе!)+ЗсозЧ вЂ” 1] й! гйх+ 2хйу — уйг = — а' ~ [(2 — яиз ! — яи !) соз !+ + (2 созз ! — 1) ( — я и !) + 3/2 соз 2! +! /2] й! = й 2 з ~ ~з ла' ла1 2аз =а ~ — соз ! — соз(~ ~ — — = — — — —, з 1~л 2 2 3 Если известно, что выражение Рйх+Яйу+Кйг является полным дифференциалом некоторой функции !': В'-~-)(, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
