И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Математический анализ в задачах и упражнениях (1111792), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Вычисление потока вектора А через боковую поверхность конуса К проведем двумя способами. 1. Обозначим через (Яь У~) внешнюю сторону верхней части поверхности дК. Тогда Я,=(г: г(х, у)=(х, у, Н), (х, у) он 0), Т1=((х, у): х'+у~ Вектор и ен Ф, направлен вверх. Так как г,'= (1, О, 0), г„' = (О, 1, О), (г,' хг„'] = (О, О, 1), то и = (г„' х г„'1. Так как 5, параллельна как оси ОХ, так и оси ОУ, то в силу следствия 1 свойства 4 поверхностных интегралов второго рода получаем, что ~~ (А и) э(5 ~~ аз~(х Д г(у (') ЦзДхф яйзЦз з, 3, о Пользуясь аддитивностью интеграла и результатом предыдущего п.
б), окончательно получаем, что Я(А.п)И5=-- Д(А и) 05 — Д(А.п) г(5= Ю, зк зэ З~й Н (йз ! 2цг) пйзцз ~й Н (Зг(з 4цэ) щ !о Далее, ду ду ду дх дг дг 0 (у, г) Нх й )/хэ+ уэ 0 (у, х) Ну Нх ду дх и угхэ+ у' й )/хэ -(- у' 0 и у'хэ+ уэ 1 Р(г, х) ду дх дх дх 0 (у, х) Следовательно, Я(А и) г(5 ду дх з, 2.
Обозначим через (5г, Мг) внешнюю сторону боковой части дК. Вектор п~Мг образует с осью ОЛ тупой угол, т. е. рассматривается нижняя сторона 5г. Условие г~ О позволяет записать 5, в виде 5, = ~ г: г (х, у) = ~ х, у, — У хэ+ уз ~, (х, у) ~ 0 ~, й Р=((х, у): х'-(-у'(гхэ). Так как вектор п~Мг, определяющий нижнюю сторону поверхно[г, х г„'1 сти 5,, равен ,' ," , то ((г'„Х г'„1~ ' ~(А п) й5.— - Дхзг(у Цйг+ узг(г Р, г(х+гэг(х Д г(у= зэ ьз Г э 0(у, г), 0(г,х) Нз ° э э.зд Р(х, у) 1 =Г:.,+'. 0 (у, х) 0 (у,х) й' Р (у, х) о = — 1 Фр~[/(з (СОЗ' ф+ 3!П'ф) — О'] Г' Й'= О и л ~ о з // этэ 4 Г (5~2) Г (1/2) /1 5 Г(3) . 2п = ' [8йз — 4//~] /!э 3 10 (сову+уз!их+у') з(х — (сов х+хяпу+х') э(у, с где /.— часть кривой г=а(1+сов ф), уэ0 от точки А(2а, О) до точки О(0, О) (декартова и полярная системы координат совмещены) (а)0), Р е ш е н и е.
Замкнем кривую АО отрезком [ОА] оси ОЛ (см. рис. 48). Направление кривой АО индуцирует обход полученного контура так, что область /)=((г, ф): 0<ф<п, 0<г<а(1+созф)), ограниченная им, остается слева. Следовательно, используя аддитивность интеграла и формулу Грина, получаем, что (созу+уяп х+у ) Их — (созх+хяпу+х )э(у= (сов у+уяпх+у') э(х — (созх+хяпу+х') э(у— ьп(ол1 — ~ (соз у + у я и х + уз) с1х — (соз х+ х 3! и у+ х') Иу = !ОА! за = — ~ ах+ Я~(яп х — 3!ну — 2х+3!и у — яп х — 2у) э/хну = з о ээ аи+ совр) = — 2а — 2 Д (х+ у) дх э/у = — 2а — 2 ~ йр ~ г'(соз ф+3!п ф) г/г= о з з ээ = — 2а — — аз~ [(1-(-созф)зз!пф+созф+3 соззф-(-8соззф)- 3 з э !о -1- созэ ф] э(ф = — 2а — а' — (1+ соз ф)4 !— 3 4 ~п 2 з Г Г (3/2) Г (1/2) Г (5/2) Г (1/2) 1 3 з вазэ ,з "3 + = — 2а — — аз —— 3 ~ Г (2) Г (3) ! 3 4 310 Предоставляем читателю сравнить достоинства и недостатки каждого из способов и остановиться на том или другом.
П р и м е р. Вычислим Пусть (1., Т) — гладкий контур с положительным направле- нием обхода и и=(совр, з!пЯ вЂ” единичный вектор внешней нор- мали к Р. Так как вектор и направлен вправо от вектора с= =(сова, з!па)сн7, то угол поворота от т к и равен — и/2. Отсюда получаем, что для плоского вектора А=(Р, Я) (А и) = Р соз р+ Я гбп и = — 1~ соз со+ Р з)п = (А, т), где вектор А=( — Я, Р) и ~ (А и) с(з= ~ (А.т)с(з= ~ Рс(у — Цс(х. П р и м е р, Односвязная область Рс:.Гс'. Преобразуем к двой- ному ннтегралу криволинейный интеграл первого рода ~ — с(з, и д1 дл где функция 1енСо(Р); кусочно-гладкий контур 1.~Р; и — еди- ничный вектор внешней нормали к Р.
Р е ш е н и е. Применяя полученное выше равенство и формулу Грина, получаем, что — с(з = ~ (йгаб ) и) с1з.= ~ — ду — — ~- с(х = г д1 дл д д дх до =Д ( — '+ — '~ ) с(хс(у, где Є— область, ограниченная контуром Р. П р и м е р. Вычислим интеграл Гаусса ! С05 (г, л) и (хо~ уо) = ) с(з !г! с. где Лс:Ро — гладкий контур; г=(х — хо, у — уо) — вектор из точки Мо(хо, уо), не лежащей на Е, в точку М=(х, у) контура 1; и— единичный вектор внешней нормали к 1., Р е ш е н и е. Не ограничивая общности, можно считать, что хо=О и уо=-О. Тогда соз(г, и)=- .
Применяя полученное вы(г л) !г! ше равенство, получаем сох(г, л) (' (г и) (' хду — удх 1г! ,) !г! ° .) хо + уо Выше было показано (см. с. 252), что интеграл хда — удх хо + до с+ где С+ — окружность х'+у'=-а' (а)0) с положительным направле- з!! Рис. 50 Обозначим через С,ч- окружность С„с положительным направле- нием обхода и через С; — с отрицательным. Так как начало ко. ординат лежит вне Ь1„то, как уже получено, хду — у ах х'+ у| зос, Отсюда, пользуясь аддитивностью и направленностью нейного интеграла второго рода, получаем, что хду — удх Г хау — удх Г хду — удх х' + у~ ) х~ + у~ ) хх + у~ с— с+ х х криволи- Итак, интеграл Гаусса и(х„уо) равен нулю для любой точки М=(х„уо), лежащей вне заданной области, ограниченной кон. туром Ь, и равен 2я для любой точки М=(хо, уа), лежащей внут. ри этой области.
312 нием обхода. Функции Р = У и Я= в любой области, хз + у' хх + уэ не содержащей начала координат, являются бесконечно гладки- дО дР ми и удовлетворяют равенству дх ду Отсюда следует, что если начало координат лежит вне замкнутой области О, ограниченной контуром Ь, то к интегралу применима формула Грина, и он равен нулю, х~+ у~ Если же начало координат лежит внутри области О, ограниченной контуром Ь, то возьмем область 0„ границей д(д„, которой является контур Ь и окружность С,:хх+у'=а'. Число а>0 берется так, чтобы окружность С, лежала внутри В. Область Ьд, лежит слева от контура Ь при положительном его обходе и слева от окружности С, при отрицательном ее обходе (см.
рис. 50). (г„х х„) и= ", ", евЖ. ((х„Х х„)1 Применяя формулу Стокса, получим, что (А т) дз = ~ х (у+ г) Их+ у (х+ г) бу+ г (х+ у) г(г =— =Я(г — у) ау /( г(г-~-(х — г)г(г /( г(х+(у — х)г(х /~ г1у= =Д ~(г(х, у) — у) у' ' +(х — г(х, у)) х' " + В +(у — х) ' ~ х(хну. 0 (х, у) Дифференцируя г(х, у) как неявную функцию, получаем, что ду ду дх ду дх дх дх ду О 1 0(у, х] 0(х, у) г Область применения формулы Стокса — это вычисление криволинейных интегралов второго рода в случае, когда кривая интегрирования Р задана как пересечение двух поверхностей. При таком задании кривой /., во-первых, как правило, уже определена поверхность, натянутая на /., а, во-вторых, нет необходимости производить параметризацию кривой /., что часто требует нетривиальных преобразований.
П р и м е р. Найдем циркуляцию вектора А=(х(у+г), д(х+г), г(х+у)) вдоль кривой /.:х'+у'+ах=2)гх, х'+у'=2гх, г~О, (О< <г<)(), положнтельно ориентированной на внешней стороне сферы х'+ у'+ гх=2/тх. Р е ш е н и е. Ориентированный контур (Ь, Т) лежит как на сфере хе+у'+гх=2/гх, так и на цилиндре х'+у'=2гх, но условиям применения формулы Стокса удовлетворяет только часть сферы, поскольку она является простой гладкой поверхностью.
Рассмотрим два способа решения: сведение криволинейного интеграла второго рода а) к поверхностному интегралу второго рода и б) сведение к поверхностному интегралу первого рода. Первый способ. Обозначим через (5, /х) часть внешней стороны полусферы хх+у'+гх— — 2/тх, г~б, лежащую внутри цилиндра х'+у'=2гх. Так как для верхней полусферы внешняя сторона является одновременно и верхней стороной, то 5 = (г: г(х, у) =- (х, у, т)/2Кх — хх — у'~), (х, у) е- :Р), Р=((х, у): хх+у'<2гх) дх дг дх ду дх дх Р (г, х) 0 (х, у) дх ду Следовательно, (А. т) й =- Д ~ (г — у) — "+ (х — г) — "+ у — х1 дх ду = х х О = Я ~ Уй — я) ух (у, Применяя формулу Стокса, получим, что (А т) пз = ~ х (у+ г) ох+ у (х+ г) ду+ г (х+ у) Нг =-. х — й у й й й д д д Д3= дх ду дг х(у+г) у(х+г) г(х+у) =Я~" (г — у)+ — у(х — г)+ — ' (у — х)1 И5=- Я~(у — г)ЙЖ Так как йЯ=ф' 1+(г'„)х+(г'„)'»(хну= 1/1 + х +-у- »(х»(у= 314 о Так как область Р симметрична относительно оси ОХ, а функции г(», у, г)= Ау йу нечетна относительно у, то г (/2кх — х' — у' Ю+ ~ —" дхду=О и, следовательно, ~(А т)»(з=.
— г» Я»)х»(у= — п1»г*. и ьу о О Второй способ. Единичный вектор и внешней нормали к сфере х'+у'+г'=2)»х равен ~ ", у, -~-). Часть верхней полул ' й' )г сферы, лежащей внутри цилиндра х'+ух .'2гх, как и в первом случае, запишем в виде 3= (г, г(х, у)= (х, у, )/2йх — х' — у'), (х, у) е-:Р)„ Р=((х, у): х'+у'(2гх).
то (А т)г(з=)!Я ( " ) г(хг(у= — яй«г. о Пример. Вычислим интеграл г «(х-)-2х ду — у г(г, где А  — кривая х'+ у' = 2ах (а 'з» 0), А В аг=ху, гвО, А=(0, О, 0), В=.(2а, О, 0), используя формулу Стокса. Решение. Так как отрезок (ВА) оси ОХ лежит на поверхности параболоида аг=ху, то, объединяя его с кривой ЛВ, получим контур Т., лежащий на поверхности аз=»у.
Обход полученного контура, индуцированный направлением кривой ЛВ, положителен, если рассматривать его на нижней стороне параболоида. Итак, натянутая на контур (Т., Т) часть (В, Л!) параболоида аз=»у с согласованной ориентацией есть Я = г: «(х, д) == (х, у, -'-' — '~, (х, у) ен Т)), а 0 = ((х, у): хг + уг ( 2ах, д ) 0) («', и.„') и= ',, г=:«У, ((~„Х ~„(! Так как г ь!х+ 2» г(у — у «(г = ~ . г «(х = О, (вл! (вл! то в силу аддитивности интеграла имеем, что г «(х + 2» г(у — у Лг .=- ~ г г(х+ 2х г(у — у г(г— л в — ~ гг(х+2хду — удг= ~ гг(х+2хг(у — уг(г. (ВА! Как и в предыдущем примере, проведем два вычисления интеграла по контуру Е.
П е р в ы й с п о с о б. Применяя формулу Стокса и учитывая указанную сторону поверхности параболоида, получаем, что г г(х + 2х ду — д дг = Д дг /~ г(х + 2«(х Д г(у — г(у /~ г(г = Р (У, г) + Р (г ») + 2 Р (»' У) 1 (х (у Р (у, ») Р (у, ») Р (у, ») 1 а 3!5 Далее, дг дг ду дк дх дх О дх ду ду О ду дк дг дг 1)(у, г) 1) (у, х) дк Следовательно, ~гг(х+2хг(у — уг(г=~Д ~ — — 2 — — ") с(хг(у=- агг гасог г 1 = — ~ г(~р ~ гг(созгр — з(п~р)г(г — а'л= а о а а/2 за* а — (соя' гр — я! и гр сонг гр) г(гр — а'л ==: з а 4а' ( Г (512) Г (112) ! ~ г з 1 Г (з) 2а' 2аг 3 1 2аг ага = — + —.—.— л — агл--=- — — — —, 3 3 2 2 3 2 Второй способ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
