И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Математический анализ в задачах и упражнениях (1111792), страница 45
Текст из файла (страница 45)
~ х'ут(х+(х — у)'с(у, Е.— ломаная АВС, где А=-(2, 1), В= й = (О, 3), С =- ( — 2, 1). 57. ~ (4ху — 15х'у) Нх+(2х' — 5х'+7) ду а)  — часть кривой у=х' — Зх'+2 от точки А — —..(1 — у'3, О) до точки В=(1, О); б) 7 — часть кривой д=х" — Зхт+2 от точки А= (1 — 'у'3, О) до точки В=-(1+у 3, 0). 56.
~ хпу+фх, Ь вЂ” часть кривой, х а1п — + —, хФО; г . х а' 4 —, х=О аа от точки А=-(О, 4/пт) до точки В= (2/и, 8/и'). 59. ~(ху+х+у)дх+(ху+х — у) г(у а) й — часть окружности х'+у'=ах (у(0) от точки А=(0, 0) до точки В=(а, 0); б)  — часть окружности х'+у'= ах (х(а!2) от точки А=(а!2,— а) до точки В=(а!2, а), 66. ~ (1 — — ~ дх -(- — с(у, где Ь вЂ” верхняя (у ) 0) полуокруж- 2 ) 2 ность х'-1-у'=а' от точки А=(а, 0) до точки В=( — а, 0). 61. ~ (е —" сов у — у') дх+ (е —" а( и у — х') йу, 324 где Š— правая (х'=эа) полуокружность х'+у'=2ах от точки А= =(а, а) до точки В=(а, — а).
62 ( ум~,(х хмэ ~ где  — положительно ориентированная кривая хг'-(-уг~э=а'а, 63. ~ хуЧх-(-(у' — х')ду, ь где Š— положительно ориентированная кривая г=а(1+сов р). 64. ~ хту~1х — у'хну, Е где Ь вЂ” верхняя (у>0) часть правой петли (х>0) лемнискаты (х'+у')'=аг(х' — у') от точки А=(0, 0) до точки В=(а, 0).
66. ~ (х'+ у) г(х+ (у'+ г) йу+(г'+х) аг, где Š— эллипс х'+у'=-4, х+г=2, положительно ориентированный на верхней стороне плоскости. 66. ~ (ху —, г) дх + (уг -(- х) г(у+ (хг+ у) Иг„ где  — окружность х'+уг+г'=аг, х+у+г=О, положительно ориентированная на верхней стороне плоскости. 67. ~ (г' — у') г(х+ (х' — г') с~у + (у' — х'+ х) йг, где Š— эллипс хг+уг=8х, х+у+г=О, положительно ориентированный ва верхней стороне плоскости. 68. ~ 2хус(х+гэг(у+хЫг, где  — эллипс 2х'+2у'=ге, х+г=а, положительно ориентированный на верхней стороне плоскости. 69.
Пусть К вЂ” куб, построенный на единичных положительных векторах осей координат. Вычислить ~ у'г(х+ г'Ду+ х'~(г, если Е есть; а) контур сечения К плоскостью, проходящей через точки О= ° =(О, О, 0), В=(0, О, 1), А= (1, 1, 0), положительно ориентированный на правой стороне плоскости; 325 б) контур сечения К плоскостью, проходящей через точки Р -(1, О, 0), Я=(0, 1, 0), Р=(1, О, 1), положительно ориентированный на правой стороне плоскости. 70.
~ (у'+гв)дх+(х'+г)ау+(у'-, 'х')аг, где Š— верхняя (г>2) петля кривой х'+ух=2х, хх+уу+г'=4г, положительно ориентированная на внешней стороне верхней (г> »2) полусферы. 71. ~ (г — х' — у)ах+(х+у+г)ду+(у+2х+гг)й~, где й — кривая ух+г'=х2, х>0, х'+у'+г'=2аг, положительно ориентированная на внешней стороне правой (х>0) полусферы. 79. ~ гЧх+ х'ау+уЧг, /х~ + у~ где й — кривая х-'+ у' = — 2ах, г = ~ ~ з положительно ориентированная на внешней стороне конуса, 73, ~ г'хЫхц (г 1-х+у)ау+у'гаг, где Š— кривая х'+у'=ах, х'=ут+гх, положительно ориентированная на внешней стороне цилиндра. 74.
~ худ.т Р у'гну + гх'аг, где й — кривая хх+г'=а', ух+ г'=а', х>О, положительно ориен- тированная на внешней стороне первого цилиндра. 75. ~ (ху+г)ах+(уг+х)ду-~-у )/а' — х'Нг, где Ь вЂ” кривая х'+ух+г'=2ах, х'+у'=а', положительно ориентированная на внутренней стороне цилиндра. Для вычисления следующих интегралов удобно привести их к криволинейному интегралу второго рода и применить формулу Грина: ~ д (х' + Зху — 4у~) ди где Š— кривая 4(х+а)'+(у — 2а)т=4а', п — направление внешней нормали к ~. 326 д (х -1- 4у — ху) дп где 1.
— кривая (х — 2) '+ 4(у+! ) 2=16, и — направление внешней нормали к Е.. ~ д (хг — 5ху+ Зуо) ди Е где Š— контур, составленный правой (х~а) полуокружностью хо+у'=2ах и прямой х=а, и — направление внешней нормали к 1., 79. ~ ~ '1/хо+ 4уо — х " ху) ((3, где Ь вЂ” контур, составленный верхней (уъ 1) полуокружностью хо+у'=2у и прямой у=1, и — направление внешней нормали к Ь. Проверив, что подынтегральное выражение представляет собой полный дифференциал, вычислить интеграл: (1.0) 80. ~ (2х — у) о(х -(- (Зу — х) ((у. ( — 1, — 2) (),о> 81. ~ (Зх' — 2хд -1- уг) ((х — (х' — 2ху) ((д.
<о', и Нпз> 82. ~ 2х (у' — 2) ((х+ 2у (х'+ 1) ((у. (1,1] (1,1) 88. ~ х(1+бу')((х-)-!7(1+бх')о(у. (о,о> (2,3,!) 84. ~ (2ху+у'-1-уг') о(х+(х'+2ху+хг')а>у+2хуг((г. (1,1,1) (1,1,2) 88. ~ х (ух+ г') о(х+ у(хо+го) <(у+г (х'+ у') ((г. ! — 1, 1, — 1) (2,2,2) 86. ~ угхо' — ' ((х+ гхог 1пх((у+ ухог!п х((г. (1,1,1) <3.3,1> хгду 4 хууг — уЫх 87.
вдоль путей, не пересекающих новерх(х — уг)3 (7,2,3) ность х=уг. 327 (-г, з( хгу — удх 88. ~ " " вдоль путей, не пересекающих оси ординат. хг+ уг ( — (, — г) (гхв хуу — уах 89. ~ . " вдоль путей, не пересекающих оси абсцисс. хг+ уг ( — (,5) Найти функцию !г', если задан ее дифференциал: 90. Шl = (2х соз д — д' з!п х) ((х+ (2д соз х — х' з)п д) ((д. 91. (КУ = (! + ех!У) г(х + ! ! — — ( ельку ((д. у 1 хйх (- уеду хну уг(х )' х'-1- уг яг 93. (Кт = "+ ' ((дг+ гг — хд — хг) Кх+ (хг+ у' -1- гг)г + (г' -)- хг — дг — дх) ((д + (хг + д' — гх — гд) Кг) .
94. (Кl=- ~1г ! — д' —, " — У ~ Кх+ 1 1 — х' хг+ у" + ! И вЂ” "' — —.— х"=--+,' +-'- ! д. )1 — У х+У У 95. ((с(= ~ — —,. =-1- У + е*з!п 2д+ 1((х+ 21'1-,— ху ' хг-(-уг япх, У +2ехсоз 2д1 (!д 2! 1.1- ху лг+ уг 96. (К(= ! +2х)/ !+д — " +!пх) ((х+ хл -(- уг 1 + хгуг 2У х' х 1 + х'+ у' 2)' 1+ у 1-1-х'у* у у !+Уг + , + г— 97. (К/= — ~ " -)- -1- 2х ) ((х-)- 1+ (хуг) х +г +~,, — — !)(гд+ 1+ (хуг)г 2 )луг 1 + (хуг)г х'.~+ гг 2г !/г 98. (КI= ! 2хдг+ — '1 ((х+ ~х'г — —,) ((д+ г ) г', +(х'д — — + — ) Кг. х 2У' гг г' 328 00. сШ = (2ху -(- г' -(- уг) дх + (х~ + 2уг + хг) ду+ + (у' + 2хг + ху) с(г. 9 3.
Вычисление поверхностного интеграла второго рода Вычислить поверхностные интегралы второго рода 100. ~ ~ (у'+ г') Нх /~ с(у, где 5 — часть верхней стороны цилиндра г=1а' — х', О(у(Ь. 101. ~ ~ (хч -( уа -, '2атга) дх Д ду, где 5 — часть нижней стороны параболоида аг=ху, лежащая в первом октанте и внутри цилиндра (х'+у')'=Ьху. 102.
~~ (х'+бг — 2у') пх /~ пу, где 5 — часть нижней стороны цилиндра у'=бг, 0:='х(З, г(б. 1ОЗ. ~~ (а'х-ЬЬу'+сг')Ыу Д дг, а где 5 — правая сторона цилиндра у'=2рх, х -2р, О« г 'д. 104. ~~ (х'+гт)ду /~ Нг, где 5 — часть внешней стороны цилиндра х=)/9 — у', О(г~2. 106. ~ ~ (х'+ ут + г') ох /~ Нг, где 5 — часть внешней стороны конуса у=1хг+ге, О(ут-Ь.
106. ~~(у — г)ду /~ дг+(г — х) Нх /~ дг+(х — у)с1х Д с(у, где 5 — часть внешней стороны верхней г> О полусферы ха+ +уг+гс=2Ех, лежащая внутри цилиндра ха+у'=2ах, а(Я. 107. Ц~ хну Л~ дг+уЧг /~ дх+гЧх/~с(у, где 5 — внешняя сторона поверхности тела х'+у'(а', — //=г~ ~~//.
108. ~ ~ хну Д Нг+ убг /~ йх+ Мх Д Ну, 329 где 5 — внутренняя сторона эллипсоида х~ у' г~ — + — + — = !. а~ Ь~ с~ 109. ~ ~ хЧу Д дг+ уЧг /~ бх+ гЧх Д Ну, *5 где а) 5 — внешняя сторона поверхности тела х'+у'(г, г(Н; б) 5 — часть внешней стороны параболоида хг+уг-г, 0(г( (Н. 110. Ц') хЧу Д дг+ уЧг /~ дх+ гЧх /~ дд, где 5 — внешняя сторона поверхности тела хг+у'(гг, 0(г«Н. ~~ хФ Л ~)а+дог Л пх+г/х Л пу, где 5 — внутренняя сторона поверхности тела х+2у+Зг(!, х> >О, д>0, г>0. 112 Ц~ (ху'+ г') ду Л дг+ (уг'+ к') Нг /т дх+ !гх'+ у') пх /! ду, где 5 — внешняя сторона верхней !г>0) полусферы х'+у'+г' а'.
113. ~ ~ худ!у /~ т/г+ уЫг Д Нх+ хЫх Д ду, где 5 — часть внешней стороны конуса х'+у'=г', 0(г(Н. 114. Ц ')/х'+у'йд /~ дг+~/х'+у'Нг Д ох-~-~'г пх /~ ду, где 5 — правая сторона части поверхности тела х'+у'(г', ха+ +дг(2 — г, г> О, удовлетворяющая условию х> О. 116. ~ ~ хйу Л ~)г+ у~й Л Нх+ гНх Л «у, где 5 — правая сторона части цилиндра уг+х=1, 0(г(2, к> О. 116. ~ ~ хЧд /~ с)г+ уЧг Д дх+ гЧх /т 4у, где 5 — верхняя сторона части параболоида хг+у'=2 — г, г>0. 117. ~ ~ (хг'-)- у ) с!у Л с)г-)-(ух'+ г ) Нг /т дх+ !гу'+ х ) дх Д ду, где 5 — часть внешней стороны конуса.1 — г= д'х'+д', г ) О. 330 118 ') ') хЧу Д г)г-|- уЧг Д г)х+ гг/х Д г)у, 3 где 5 — часть внутренней стороны гиперболоида х'+у' — г'=1, 0~(г(З. 119 ~~ (х+уг) г|у д аг+(у+гх) дг д г)х+ |г+хх) дх д ду, где 5 — часть внешней стороны цилиндра х'-|-у'=а', 0(г(О.
120. ~ ~ угЧу Д г)г+ гуЧг Д дх+ ухЧх ДЧу, где 5 — внешняя сторона поверхности тела 0(г(х'-|-у', х'+уз(1, х. вО, у) О. 121. ~ ~ хгЧу Д г/г+ ухЧг Д г/х+гуЧх Д ду, где 5 — внешняя сторона поверхности тела х'+у'+г'(2аг, х'+ + у' ) Зг', х ) у. 122. ~ ~ (хт + у') г)у Д г/г+ (у'+ гх) г)г Д г|х+ (г'+ х') г/х Д ау, где 5 — внутренняя сторона поверхности тела хг+у'+г'(а', х> ~0, у>0, г>0. 123. Д х'*+'уагт | — ~) г|у Д 1)г+ ('а+ 2 3 (и -|- 1) / а + х~~уа+1гт ( Ц 1 ) г)г Д г/х+ |1 + 2 3 |й -)- 1) + х"уаг"-'-' ( — ) йх Д ау, г 1 т+2 3 |т+1) где 5 — внешняя сторона поверхности тела х+у+г 1, х>0, уъ ъО, г>0.
124. ~') уду Д г|г — хг|г Д г)х+гг)х Д г)д, где 5 — часть верхней стороны геликоида х=исозо, у=из!по, г= =ао, 0(о(2п, 0(и(|. ф 4. Векторный анализ Найти нгаг) |/, если; 125. |/= 'у' х'-|- д'-|-г', 331 126. ()= 1 Х +уг+71 127. Найти угол между градиентами функций и=!п(хг+уг+хг) н о=«у+ух+ах — 18х — Бг — у в точке М=(3, 5, 4).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
