И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Математический анализ в задачах и упражнениях (1111792), страница 34
Текст из файла (страница 34)
..., о„), (о,, ог, ..., ог) ен У) являются различными параметрическими представлениями одного и того же простого гладкого многообра- зия йй Диффеоморфизм (, связывающий отображения ф и гр, на- зывается днффеоморфнзмом преобразования параметров, или, короче, преобразованием параметров. Понятие многообразия есть обобщение понятий кривой и по- верхности. Именно простая гладкая кривая Р есть многообразие первого порядка, простая гладкая поверхность 5 — многообразие второго порядка. Пусть М =(гр(и„п„..., мг), (ие иг ..., и,)-Ц и М=(ф~оо о„..., о ), (о„о„..., о,) я Ъ") — два различных параметрических представления одного простого гладкого многообразия порядка д.
Отображение )=Чг 'гр— диффеоморфизм преобразования параметров, следовательно, якобиан Г, бе(()'), не меняет знака на К Все возможные параметрические представления разбиваются на два класса эквивалент- 244 ностей так, что якобиан / для представлений одного класса положителен, а для представлений разных классов отрицателен. Таким образом, на простом гладком многообразии М так же, как в пространстве Яа, определяются две ориентации.
О п р е д е л е н и е. Простое гладкое многообразие М с выбр анной (заданной) ориентацией называется ориентированным простым многообразием. Ориентация многообразия М задается порядком векторов базиса, или, что то иде самое, порядком записи координат в области значений параметров. Таким образом, выражения (ф(и„..., и,), (ид, и,, ..., иь ..., и;, ..., и ) а=У) (др(ид, ..., и,), (и„и„..., и>, ..., иь ..., ив) ~ Ц являются записью одного и того же многообразия с противоположными ориентациямн.
О и р ед ел е н и е. Пусть в области й~Н" задана дифференциальная д/-форма а> и ориентированное простое многообразие порядка»: М=(ф(иь „и ), (и„...,и,)енУ) (Мс0). Тогда интеграл от а> по М обозначается ~ а> и определяется равенством 1 а>= м м =) ф'да, где ф*да — перенос формы да, порожденный отображением др. Из соотношений переноса форм и замены переменных в кратном интеграле следует, что величина интеграла )да не зависит от выбора параметрического представления многообразия М, т. е.
определение этого интеграла корректно. П р и м е р. Вычислим ~ хзхв "хд /> '(хь /> д1хд — хдхзд(хв Л ~хз А д(хв+ х>хад(хв Л д(хв Л '1" ад где 'з(= ддхд=издивиз >в = дддизиз хз= и>изид, ха= и и„х,=и и„ з хь = и>из хз =- и>из хв = "вддз хв = и~из (ид из из) = с=/да,а,а>л».,»), т. е. (>~~и, 1, д'=1, 2, 3. Решение. делаем перенос >рва> формы в> = хх, ь(хд /> д(хь /дд д(х, — хх ваха /> дхв /~ д(ха+ хх, д(хз /> д(хв /д д(хв с дав на /да,а,а>л>,д», порожденный отображением >р: Кз-эЯ', котоРое задает многообРазие М; дР:х,=и',иви„ха=и,и,'и„ха=и,и,из„ ха= и>из хь = и>из ха= и>из хт= идЦ, ха = ддзиз' хв изиз Вычислим з з з последовательно слагаемые ф сс 245 и',и и',и, из О 1 О Зи,иг 2и,и,и, хвхв!4хз /~ 4/хзЛ4/х, = и,изи' Зи!Ыз Из з 4!И Л 4!ив Л 4!И~= 2и,ы, и,и изи, ЗЫ, и, О 4/И1 /4 4/из Д 4/и = из зО Зи,изг — И4ЫЗЫ2 1 г,в = — 4ивизи' 4/из /~ 4/ив /~ 4/из, и,и, г и,'из 2и,и,и, из Зи,и', О из з х!хв дхз /! 4/хв Д 4/хз = из1игизг диз/~ 44ив /~ 4/из= Зи,иг — ЫЗЫ4иг 12З Щ /4! 4/и, Л ди, = = 4и',и,'из!/из /~ йи /! 4/и„ и,и и,и 2 2 Зиги, О О Зи,'из хзхз 44хз Л 4/хв /4! 4/хв = Ы1игиз с/из Д 4ив /~ 44из= — ИЗИЗИ4 12 З 4/из Д 4/Ив /~ 4/и = = 12и',и',из 4И4! /! 4/иг /'! 44из.
Следовательно, !р'4в= 4и',ивы,'4/И1 /4, диг /~ ы4из. Итак, по определению ~ хзхв 41х1 Л !ззв А 44хг хзхв ыхз Л 44хв Л 44хв+ +хзхз 41хз /! 44хв /1 44хв = ~ 4ив1игвиз з4зиз /1 4!из /~ в!из 14в,в, Зз,41.1. П и по определению 4Ы1Ы2ыз 44И1 /! !«42 /'! 44из —— 1<О,З,С>,41,1,1! 246 и,2иии ии, иг Зи,иг О О из Зигз изи, и,и, 2и,и,и, Зиг О из ! 1 О Зи з 2и и,и, из ! И з 4и~и~~ио йи! био о(ио = г!о,о,о1,<!,! ш ! ! ! 1 1 1 2 =4 ( ио!(и ( ио о(и ( ио!1и =4 —.—.— =— — - 7 7 6 147 о о Заметим, что, обобщая понятие касательной плоскости к поверхности, дается понятие касательного пространства к многообразию. Определяются также понятия дифференциальной формы на многообразии и сужения дифференциальной формы из области, содержащей многообразие, на многообразие. Но поскольку практически всегда мы имеем дело с формами, определенными на области, включающей рассматриваемое многообразие, то на этих понятиях останавливаться не будем.
5 3. КРИВОЛИНЕИНЫИ ИНТЕГРАЛ ВТОРОГО РОДА Еше раз обратим внимание на то, что материал, изложенный в этом параграфе, рассмотрен в $2* в терминологии векторных полей, Читателю полезно сравнить определения, основные свой- ства рассматриваемых понятий и ход решения примеров. Простая гладкая кривая 1 =(г(г), 8ен (а, Ь), г~ С!(а, Ь], )г'„(ФО), как уже говорилось, является простым гладким многообразием первого порядка. 1(ак многообразие первого порядка кривая В ориентируется заданием ориентации в области значения парамет- ра й Область значения параметра 1 — отрезок; ориентация 1а, Ь1 этого отрезка соответствует ориентации АВ, А=г(а), В4 г(Ь), кривой Т„а ориентация [Ь, а| — ориентации ВА кривой В.
Таким образом, понятие ориентации простой гладкой кривой 1. как од- номерного многообразия совпадает с введенным в $ 1 понятием ориентации кривой. В дальнейшем под термином «ориентирован- ная кривая 1.» будем понимать выбор ориентации на Т. в обоих смыслах. О п р е дел е н и е. Пусть 1. — кусочно-гладкая ориентирован- ная кривая и Т.„1(!7(Я,— простые гладкие ориентированные кривые (простые гладкие ориентированные многообразия) без общих внутренних точек (неперекрывающиеся), составляющие е, 1., т. е. Т.= О1, Интеграл от 1-формы !о по ориентированной «=1 кривой В или криволинейный интеграл второго рода обозначает- ся ) оо и определяется равенством Я 247 Определение криволинейного интеграла второго рода по кусочно-гладкой ориентированной кривой корректно, т.
е. его величина не зависит от способа представления кривой ь в виде объединения простых гладких ориентированных многообразий (простых гладких кривых Ь,). Основные свойства криволинейного интеграла второго рода 1. ) в= — ) в (направленность интеграла). вл 2. ~а,,в,+а,в,=и, ) в,+а, ~в„где а, и а — постоянные (линейность интеграла). 3. Если В =А В О В С, то ) в= ) в+ ) в (аддитивность инте- АВ ВС грала). 4. Если форма в точная, т. е.
в=ф(М), то в =-- ) (В) — 1(А). В частности, для контура Ь и точной формы в имеем (независимость интеграла от пути интегрирования). Обратно, если для любого кусочно-гладкого контура Ьс:0 верно равенство )в=О, то форма в точна в области В. 5. Пусть ь — ориентированная гладкая кривая, т=(сова, соз(3, сову) — единичный вектор, касательный к В и направленный соответственно ориентации 4., и в=а,г(х,+а,дх,+а г(х,. Тогда ') в= ~ (а, сока+ а.,совр+а,созу)г(з (связь криволинейных интегралов первого и второго рода). П р и м е р. Вычислим '1 (р'+ 2ху) ах+ (х' — 2ху) ау, .4В где А — дуга параболы у=ха от точки А(1, 1) до точки В(2, 4). Р е ш е н и е.
Кривая АВ есть простое гладкое ориентированное многообразие первого порядка: АВ=(х=х, у=х', х~(1, 2)). Делаем порожденный отображением ~р: (1, 2) — ~-Рз:х=х, у хз перенос формы в=(у'+2ху)г(х+ (х' — 2ху)г(у на промежуток (1, 2). Так как у=х', г(у=2х4(х, то ~р4в=(х4+2хз)4(х+(хз — 2хз)2хг)х= 248 = (4х' — Зхс)с(х и по определению криволинейного интеграла второго рода (у'+ 2ху) с(х+ (х' — 2ху) с(у = ~ (4х' — Зх') с(х = — —, 18 5 л в с П р и м е р. Вычислим ( (ху + х' -)- у') с(х+ (х' — у') с(у, где Š— контур треугольника ОАВ: О=(0, О), А (1, 2), В=(0„2) с положительным направлением обхода (см. рис.
46). Рчс. 46 Решение. Кривая Е составлена из трех ориентированных гладких кривых: отрезков ОА, АВ, ВО. Запишем каждый из вих как ориентированное многообразие: ОА=(х=х, у=2х, х~(0, 1)); АВ=(х=х, у=2, х ~(1, О)); ВО=(х=0, у=у, усн(2,0)). Обозначим сужение подынтегральной формы со= (ху+х'+у')с(х+ +(х~ — у~)сну на соответствующие отрезки через соол, свлв, саво~ тогда на отрезке ОА имеем с(у=2с(х и свол=(7хз — без)с(х=хЧх на отрезке АВ: осу=0 и сола=(х'+2х+4)с(х на отрезке ВО: с(х=б и соло= — у~с(у.
Следовательно, с о ) св = ) со+ ~ со+ ) со = ~ х' с(х -1- ~ (хв-+ 2х -1- 4) с(х -1- ол лв во и ! + ) ( — у') с(у =- — ( (2х + 4) с(х + ) уз с(у = — 713. 249 П р и м е р, Вычислим 3 уах — хну, где ~.— астроида х'~э+ум'= ах в с положительным направле- нием обхода (а>0).
Р е ш е н н е. Запишем астроиду в параметрическом виде: х ° асов'(, у=аз(п'Г, при этом положительному направлению об- хода астроиды соответствует изменение 1 от 0 до 2п. Итак, Ь= (х=асозз (, у=аз(пз(, (ен(0, 2п]) есть запись астроиды как ори- ентированного многообразия. Так как дх= — Засов'(яп(г((, с(у=Заз(п'(соз(, у дх — х ду =- ( — За' соУ Г яп4 ( — За' соз' ( яп' () й = = — За' соз' ! яп' ( й, то ус(х — хау= — За'" ~ соз'гз(п'ГЖ= — )2а'— ! Г (3(2) Г (3/2) 2 Г(3) ь о П р и м е р. Вычислим ~ (у+ х) дх — (х — у) ду, где 1.— петля кривой г=а сов Зф, пересекающая полярную ось, с положительным направлснисм обхода (декартова н полярная системы координат совмещены) (а>0).
Р еш ен не. Запишем уравнение кривой 1. в параметрическом виде: х=асозЗфсозф, у=асозЗфз)пф. При этом положительному обходу заданной петли соответствует изменение ф от — и/6 до и/6. Итак, Л=(х=асозЗфсозф, у=-асозЗфз(пф, ф ~ ! — и/6, п(6!) есть запись кривой как ориентированного многообразия. Так как ~х= — а(яп2ф+2 3!п 4ф) йр, ду= а(2 соз 4ф — сов 2ф) г(р, (х+ у) ах — (х — у) г(у = — а' соэ Зф (соз ф+ яп ф) (з(п 2ф+ -(- 2 яп 4ф) г(ф — а' соз Зф (соз ф — я п ф) (2 соз 4ф — соУ ф) дф = =- — а' соз Зф (6 я п Зф + 2 сох Зф) йр, 250 то л/6 (х+у)ах — (х — у)Ну= — ~ ахсозб~р(бз)пЗЧ~+2созЗ~р)йр= — л!в л/б аал = — а* ~ (1+ соз Ьр) Йр = — —, З вЂ” л/6 П р и м е р.
Вычислим [ гдх+ 2хбу — уг(г, Яв где А — кривая х'+у'=2ах, аг=ху, г»О, А=(0, О, 0), В=(2а, О, 0) (а'- 0). Решение. Так как на кривой АВ имеем х)0, г~О, то и уъ ) О. Следовательно, кривая АВ может быть параметризована следующим образом: *=*.у=1 2 — ', — т'2 — к * х, 2 !. а Запишем АВ как ориентированное многообразие АВ= (х=х, у= и'2ах — х', г= —" у'2ах — х', хан [О, 2а1~, а Тогда а — х ( (а — х) х Р 2ах — х' (у = дх, Ф вЂ” ~ т' 2ах — ха а У2ах — х' Нх.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
