И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Математический анализ в задачах и упражнениях (1111792), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Зах — 2х' а 1' 2ах — ха Делая перенос формы, получаем, что ~р'га = — У2ах — х' дх+ ° х 2х (а — х)' дх— Зах — 2ха г(х. а г' 2ах — х~ а Следовательно, гбх+2хйу — уг(г= ~ (: у'ах — (х — а)' Вх+ а +~/а* — (х — а)хнах+2~/ах — (х а)ас(х — "(х — а),(х— р аа — ~х — а)а 2аа 2к~ Нх — Зхбх+ дх) = 3/а' — (х — а) а а а = ~ ~ — 'у' а' — Е'+ 3 у' а' 2ах '!и†"- ) 16 х жР 2 — Оа+ — а = — — — — а.
3 2 3 Заметим, что при втой параметризацни функции у(х) и г(х) не являются гладкими на (О, 2а), так что формально мы здесь не имели права применять рассмотренные выше соотношения. Но, как уже не раз отмечалось в аналогичных ситуациях, если в этих соотношениях вместо интеграла Римана появляется несобственный абсолютно сходящийся интеграл. то они остаются в силе. Этим утверждением будем пользоваться и г дальнейшем. Можно параметризировать кривую АВ и так, чтобы все функции были гладкими.
Например, положим х=а(!+сиз!), у=аз!иг, г=-аз!и!(!+сиз!). Тогда точке А= (О, О, 0) отвечает значение (=и, точке В= (2а, О, 0) — значение К=О; делая перенос формы, получаем ~р'ы =- а' ( — я и' ! — я и' ( соз 1+ 2 соз ! + 2 созх ! — яи ! соз !— — 2 япгсоз'!+3!пх() й= а'(сиз|(2 — 3!и'х — 3!и !)+ + я и ! (1 — 2 созх !) + 3 соз' 1 — Ц Ю. Следовательно, г~х+2х~(у — уг(г=ах ~ (2 — яих! — яи!)соз!+ + (2 соз' à — 1) ( — 3!и !) -(- — соз 21+ — 1 г(! = 3 2 2 1 Х !У яах 2 х лах =-а' ( — созх! — соз 1~ ~ — = — — а' — —. .,3 )х 2 3 2 П р и м е р.
Вычислим — уах+ хну хх -Г у' 252 где Ь вЂ” окружность х'+ух=а' с положительным направлением обхода (а>0). Р еш ен не. Запишем уравнение окружности Ь в параметрическом виде; х=асоз1, у=аз!и!, при этом положительному направлению обхода соответствует изменение 1 от 0 до 2и. Делая а~ ИпР 1 + а"- соз" .1 перенос формы, получаем, что ~у*со= — -' — — — пг'. Следоваа~ тельно, = ) й=2я. о — уях+ хну хх+ у' Полученное равенство еще раз показывает, что замкнутая в ~ ех х ~ х~ — у1х+хау области В: ) — ~х'+у'(2а') форма ы= (см. 2 ) х~-~-у~ с.
248)) не является точной, так как в противном случае инте."рал Г хху — уях в=~ — — ' — должен был быть равен нулю в силу того, что хэ+ ух с Ьс:В и в силу свойства криволинейного интеграла второго рода (см. с. 248). Пример. Найдем функцию 1:хтз-+Я, если гЦ = (у -(- г) Нх -~- (г + х) г(р + (х + у) Лг.
Р е ш е н и е. Поскольку точность формы ы=(у+а)г(х+(г-(-х) Вр+(х+у)дг дана в условии, то в силу свойства 4 криволинейного интеграла второго рода (см. с. 248) имеем 1(х., и з)=)(В)=1(А)+ ~ лэ 25З В этом равенстве символ АВ обозначает произвольную кусочно- гладкую кривую, не выходящую за пределы той области, в которой в=4. В данном примере не дано ограничений на значения х, у, г и форма гэ является гладкой на всем пространстве хг', поэтому можно считать равенство в=И~ заданным всюду в Яз. Точка А выбирается произвольно,— положим А=(0, О, 0).
Так как равенство ~()=и определяет функцию ) с точностью до произвольного слагаемого, то значение )(А) выбирается произвольно. В качестве кривой АВ при решении задач этого типа берется ломаная, составленная из отрезков, параллельных осям координат. Такой вхтбор обусловлен тем, что на таких отрезках все координаты, кроме одной, постоянны и, следовательно, их дифференциалы равны нулю, поэтому сужение формы в на эти отрезки получается наиболее просто. Итак, АВ = АМ+ МФ+)т'В, где А=(0, О, 0), М=(х, О, 0), М=(х„у„О), В=(х„у„г„). Обозначая а~им, ю(мэ, а1,~э сужение формы о на АМ, Мй, ЖВ соответственно, получаем, что о~„и=Ой, в(мд,—— хос(у, е!лэ=(хотух) ~(з и, следовательно, со =- ~ са+ о) со+ ~ са= ~ОНх+ ~ х,с(д+ ~(х,+уа) с(г= ла лм л!и л!а о о о = "аро+ гога + оога В силу произвольности точки (х„ уо, го) получаем, что ! (х, у, г) =-- ху + хг + уг+ С, где С вЂ” произвольная постоянная, П р и и е р.
11айдсм функцисо 1: )!а-+Я„если уг с(! = — -" — с!х+ (' — ' — + — ! с!у — — с(г. , у"' а'! г! Р е ш е н и е. В данном' примере форма х Сха у! уа со = — — с(х+ 1 — + — ') с(р — — с(г сд уа а аа является определенной и гладкой в области !1, замыкание которой не пересекается с плоскостями у=О и г=О, и, следовательно, функция ! определяется в точках (х, у, г), не принадлежащих этим плоскостям. Примем для определенности, что у>0 н г<О. В качестве начальной возьмем точку А=(0, 1, — 1), тогда для любой точки В=(хо, Уо, га), Уо>0, го<0, ломанал АМйсВ, где М= = (О, 1, го), !а'=-(О, уо, го), лежит в области гладкости формы оь Следовательно, !(В) = !(А)+ ~ о!= !(А)+ ~ а!+ ~ со+ 1 со=- ха лл! мм лв г, а, =«)+ ~ .
—,-~ ", «р+~ — а 'а ус! — ! ! а ! "о ! Уо со а 2 2 — — — —: 1(А) — — + — — — —. о а 2 9- о 2 а -Уо -' ав -Уо = !(А)- ' ' + "' 2оа 2 о-а оо -'о В силу произвольности точки (х,, (са, г,), уа>0, г,<0, получаем, что уа ха !(х, у', г)= — — — +С, 2а 2уа где С вЂ” произвольная постоянная. 254 Если дифференциальная 1-форма от п переменных и = т ас(х) ас ! — ! Х с(х! точва, то функция 1: )т — Я, удовлетворяющая условию с(!=со, находится по такой же схеме. Если ! — брус в )со и с()=а! в Х, то длЯ любых двУх точек Л=(дь Уз,...,йк)ен! и В=(х,, хз..., ..., х„) ~1 имеем равенство: Г (х„х,..., хз) =-- ( (В) = Г' (Л) + ~ аЯь уз,..., д„) 4Н, + о| к к +~аз(хо (2 Уз У )оВз+...
+~ а;(хо х„...,х~ ь Гь В+и - уз) ойз+... + ~ а (Х„Х„..., Х„Ь („) 4(Ш,. "з Пример. Найдем функцию Г:)сь — ~й, если ь(Г = (2хзхз+ хь) 4(х, + (хз — 2х,х,) дхз+ (2хзхз — х"-,) дхь+ + (хз — 2хзхь) 4(хз+ (2хзхь х42) 4(х " Решение. Положив Л=(О, О, О, О, О), получаем, что к, 1(хм хз хз~ хм хь)=1(Л) + ~ О 4((,+~ х',Жз— к, кк — ~ х„оаз; ~ хз~б14+ ~ (2хкгь х4)Шь о о о = Х2Х Х2Х ) Х2Х Х42Хь 4 Хзх Отсюда следует, что 1(хь Х" Хз Хз Хь) Х Хз Х Хз+Х Хз Х Хь+Хьх +С, где С вЂ произвольн постоянная, й 4.
ПОВГРХИОСТНЫИ ИНТЕГРАЛ ВТОРОГО РОДА Еще раз обратим внимание на то, что материал, изложенный в этом параграфе, рассмотрен в В Зз в терминологии векторных полей. Читателю полезно сравнить определения, основные свойства рассматриваемых понятий и код решения примеров, Простая гладкая поверхность 5=(г: г =г(и, о), (и, о) ен 2".4), 0 с Щ г ен С' (О), (г„х г„) чь О, как уже говорилось, является простым гладким многообразием второго порядка. Как многообразие второго порядка, поверхность Я ориентируется заданием ориентации в области значений пара- 5 с противопо- метров — области Ос:)тз. Записью поверхности ложными ориентациями являются выражения 5=-(»: г=-г(и, о), (и., о) = О) 5 =- (г: » =- г (и, о), (о, и) ==- О).
Поставим в соответствие ориентированной поверхности 5 век!»,' н г,1 торное поле пормалсй й1= ( ' , а ориентированной по! р„'х..'! ' !г»" г«! верхностн 5 †по М = - -"- - †"--1. Поскольку выбор порядка =1 .";!г параметров (и, о) или (о, и) взаимно однозначно определяет выбор поля Л" нли У, то понятие ориентации простой гладкой поверхности как двумерного многообразия совпадает с введенным в й ! понятием ориентации поверхности. Если 5 — простая гладкая поверхность, то под термином «ориентированная поверхность 5» будем понимать поверхность 5 с фиксированной ориентацией как в том, так и в другом смысле.
Кроме того, будем пользоваться введенными в й 1 понятиями ориентированной кусочно-гладкой поверхности, положительного обхода контура на незамкнутой кусочно-гладкой ориентнруемой поверхности и терминологией указания ориентации поверхности. В частности, выражение 5=(»; »(х, у)=(х, у, 2(х, у)), (х, у) "= О) задает верхнюю, а выражение 5=.= (г: г(х, у)=(х, у, г(х, у)), (у, х) = О) — нижнюю сторону поверхности, определенной явной функцией г=г(х, у); выражение 5 ==(г: »(у, г) =(х(у, г), у, г), (у, г) си О) задает правую, а выражение 5=-(г; г(у, г) =. (х(у, а), у, х), (г, у) =-О) — левую сторону поверхности, определенной явной функцией х= =х(у, г).
О п р е д е л е н и е. Пусть 5 — кусочно-гладкая ориентироване ная поверхность, 5= (~ 5„, где 5, ! -д~!~, — простые глад«=. 1 кис ориентированные многообразия (простые гладкие ориентированные поверхности) без общих внутренних точек. Интеграл от 2-формы ь> по поверхности 5 или поверхностный интеграл второго рода обозначается ~~е> и определяется равенством ~~ о>= ') ') ') е>. з 3 ч=> 3 ч Определение поверхностного интеграла второго рода корректно, т. е. его величина не зависит от представления 5 в виде объединения непересекающихся многообразий.
Основные свойства поверхностного интеграла второго рода 1. Если 5 и Я есть обозначения одной и той же поверхности с противоположными ориентациями, то ~') е>= — ~~ е> (направ- 3 3 ленность интеграла). 2. ~~ а>ь>>+а,,ь>,=.>х> ~~а>>+и, ')') ым где а> и а,— константы (линейность интеграла). 3. Если 5=5,05,, поверхности 5> и 5> не имеют общих внут- ренних точек и их ориентации согласованы, то ') ~ е> = ') ~ ь> + ) ~ е> (аддитивн ость интеграла). 3 3, 3, 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
