И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Математический анализ в задачах и упражнениях (1111792), страница 28
Текст из файла (страница 28)
91. Найти координаты силы притяжения дугой астроиды х= асоз'С, уг аз1п'С, 0(С(я/2, единичной массы, помещенной в начале координат, если плотность астроиды в каждой ее точке раппа кубу расстояния этой точки от начала координат. $4.
Вычисление площади поверхности с помощью криволинейного интеграла первого рода Найти площадь цилиндрической поверхности Р(х, у)=0, ограниченной снизу поверхностью г=(~ (х, у) и сверху — поверхностью х=(,(х, у), если 92. Е(х, у) =ут — 2х, 7~=0, ~ (х, у)=)/2х — 4х'. 93. г" (х, у) = Р' — х' — у', С, = О, ~,(х, у) = 211 94. Р(х, у) =- у' — — (х — 1)', (, = О, 1~ =- 2 — У х. 9 95.
Р(х, у)= С(' — х' — у'", (,=О. С~=Я+в Р 211 96. Р(х, у)=х« — у, 1 =х(2, ~«=0, ~,=«+у. 97. Р(х, у)=у — — х«, 0(х(4, ~,=0, ~«=х. з 98. Р(х, д)=х'+у' — ах, ~«= — у'а' — х' — у*, ~«='у'а' — х« — уа. 99. Р(х, д)=д — х', )',=О, !,=х, 0<« ~~1, у)0. «~ 'а« 100. Найти площадь части цилиндра — + — = 1, заключена «й «3 ной внутри цилиндра — + — = 1. а~ «« 9 8. Вычисление поверхностного интеграла первого рода Вычислить интеграл 1О1 ° ) ) (х +д«+2 ) ЙЯ, где Я вЂ” поверхность, полученная вращением кардноиды г а(1+ + соа~р) относительно полярной оси (декартова и полярная си- стемы координат совмещены) . ~пи.
!) ( у ~.д ~-**>л, о'= ((х, у, г): г= у'х~+у', х«+д«(2ах). 108. ')) (х'+у')оо, где 3 — граница тела У= ((х, у, г): у'х'+у'(г(1), 104. ~) (у+г)ЙБ, где 3 — лежащая в первом октанте (х)0, у)0, г' «,О) часть поверхности, полученная вращением арки цйклоиды х=а(г — з!п1), у=а(1 — созе), 0(1~2я, вокруг оси ОХ. где 5 есть поверхность, полученная вращением линии Е=((х, у): : у=з!пх, О~~х(п) относительно оси ОХ. 108 Ярою где Я вЂ” удовлетворяющая условию г>у>0 часть поверхности, полученной вращением кривой у=созх, 1х!~я/2, относительно оси ОХ, ИЯ 1аЗ. ~~(~.~.У-~-* — !ОЯ, ! 2 где 8 — часть параболоида 2г=2 — х' — у', г) О. !09. ~~ (х'+у'+г) И8, где 8 — верхняя полусфера: х'+у'+г'=а', г~О.
109. Ц (Зх*+ бу'+Згк — 2) д8, где 8 — часть конуса у= у'х'+гк, лежащая между плоскостями у=о, у=Ь. 1ю. Ц ~/1.~ — *', ~ — "' ,юз. к~ у~ где 8 — часть параболоида г= — — —, х~а О, лежащая внутри 2Р 2д ! кк ук !к т к',к ' цилиндра ( — + — ~ =ак ~ — — !. Ш. Ц ука'+ у'+ г' б8, где 8 — часть параболоида ах=уг, лежащая внутри цилиндра (у'+ + га)' = 2оауг. 112. 11 хугб8, где " 8 — часть конуса гк = 2ху, г ~ О, лежащая внутри цилиндра х'+ у' = а'. 113.
Ц(ху+уг+хг) а8, где 8 — часть конуса х'-!-уа=г', г~О, лежащая внутри цилиндра х'-!- у' = 2ах. 114. ~~) (х+у+г)48, где 8 — часть конуса х'=ук+г', лежащая внутри цилиндра хк+ук= 2ах. !1Б. 1~ыдЗ. а!з где Л вЂ” часть цилиндра х'+у'=2ах, лежащая между конусом г= )х'+ у' =')/х~+у' и параболоидом г= 25 116. Ц (х — у + г') гБ, где  — часть цилиндра ха+уа=ае, Х~О, лежащая между плоскостямн х+г О, х — г О. 117. ) ) ')/х аЯ, где о — часть цилиндра ха+ух=2ах, лежащая вне гиперболоида х'+у' — г' а'.
118. Д(х — у)ИЯ, где 3 — часть цилиндра х'+у'=а', лежащая внутри цилиндра г'=а(а — х) . 118. Ц!Ху! (З, 5 где Я вЂ” поверхность тела, образованного пересечением цилиндров х'+ха а', у'+г'=ат. где 3 — часть поверхности геликоида х и соко, у инно, г=о, О«.ю~~2п, 0 =и 1. 121. П(х+у+г)ал, где 5 — часть тора х=(Ь+а сов ф) соа у, у (Ь+а со5 ф) 51п у, г аа!п~р, х)0, гъО (Ь)а). ф 6. Механические приложения поверхностного интеграла первого рода 122.
Найти массу части однородного параболоида г= †(х'+у'), 1 2 0(г(1, плотности р. 123. Найти массу части цилиндра х'+г' 2аг, лежащей внутри конуса х'+у'=г', если плотность р 1у~. 124. Найти массу части конуса ха=у'+г', лежащей внутри цилиндра х'+у5=2ах, если плотность р х.
214 125. Найти массу части конуса х'+р'=г~, 0<г<4, если плотность в каждой точке равна квадрату расстояния до вершины. !26. Найти статический момент части цилиндра, х'+у' 2Яу, лежащей между плоскостями г=О и г=с, относительно плоскости ХЕ, если плотность р=у+г. !27. Найти момент инерции однородной поверхности х'+у~ 2ах, хапуг+г' плотности р относительно оси ОЯ. !28. Найти момент инерции однородной поверхности плотности р, полученной при вращении одной арки циклоиды хе а(Ч~— — а!и ~у), у=а(1 — соа ~р) вокруг оси ОХ, относительно оси ОХ.
129. Найти момент инерции части однородного цилиндра х'+ +д'=ах плотности р, лежащей внутри сферы х~+у'+г' а~ относительно плоскости ХЕ. 130. Найти момент инерции части однородной верхней полусферы х~+ф+га а~, г>0 плотности р, лежащей внутри цилиндра х'+ух=ах, относительно плоскости уЕ. !3!. Найти моменты инерции относительно плоскости ХУ части однородного конуса ха+у'=г'(йта, х~+д~<Л~ (0<а<и/2), массой М.
132. Найти момент инерции однородной поверхности х=(Ь+ +асоаф) сов~р, у (Ь+асозф)а!п~р, г-аа(пф(Ь>а) плотности р относительно оси ОХ. 133. Найти момент инерции однородного параболоида х'+у' 2сг, О~г(с плотности р относительно оси ОЛ. 134. Найти момент инерции однородного сегмента сферы х'+ +у~+г~=Щ г> Н (Н<й) плотности р относительно оси ОЕ.
136. Найти координаты центра масс однородной полусферы х'+уа+г~ Щ г>0. 136. Найти координаты центра масс части однородной сферы х'+ у'+ г'=)(а, х>0, у>0, гъО. 137. Найти координаты центра масс верхней полусферы х'+ +у'+г'=Яа, г>0, если поверхностная плотность в каждой ее точке равна расстоянию от этой точки до оси ОЯ. 138. Найти координаты центра масс однородной поверхности, полученной от вращения дуги кривой у~ 2рх, 0 х<р, относительно оси ОХ.
139. Найти координаты центра масс части однородной поверхности ха+у~ 2сг, О:г<с. 2!5 140. Найти координаты центра масс части однородного конуса Я' ха+ уь = — 2~, 0:- а ( Н. 141. Найти координаты центра масс однородной поверхностп х и соь о, у=и з!п о, г=ао, 0(и(а, 0(о((п. 142. По поверхности кругового цилиндра, радиус основания которого равен Я н высота которого равна Ь, распределена масса с постоянной плотностью т.
Найти притяжение, нспытываемое со стороны поверхности единичной массой, расположенной в центре основания цилиндра. ОТВЕТЫ 1. а) х = ! — 21, У = 2 .+ 1, 1 ев [О, 1]. б) х= 2 + 31, у =3, 1 еп [О, 1] либо х=х, У= 3, х ее [2, 5]. в) х= — 1, !У= 2+31, ген [О, 1] либо х= — 1, у=у, у еп [2, 5]. [2. х=х, у=х', хая [1, 3]. 3. х=ас)11, У=Ьз)11, 1еп( — оо, +оо) правая ветвь; х= — ас)11 ь У=Ьь!11, гьп( — оо, +оо) левая ветвь.
4. х=асоь'1, У=Ьь!и'1, 1~[0, п12]. 5. х=асоььг, у=аз!и'Ф, Меп[0, 2тс]. 6. а) х= а 1 снэ! — ььэ11 (с)1ьт-!-ь)1ь1), у=а [ ), 1еп( — оо, +со); б) х 2 2 гь ! 1, у Гь — 1, 1еп( — оо, +оо) либо х= 2о+ оз е У= ф о ее( — оо,'+оо). 7. х= а соз1, у=асоьтЯ[ь!пг[ Х 4 хяйп(яп1), 1'еп [О, 2п]. 8. а) х=асоь1, у=а(соз1-)-япг), Фен [0„2п]; б) у=у х= ~, уев( — оо, +оо)~(0). 2у й. х= у,—, у=ту —, 1 [2, +.). 10.
х=ат'+а!; -Г 1 -Г 1':! У ! — ! у= атэ+ата, — оо (1(+ оо. 11. Х= от — ар у = Гач ать — оо(1(+оо. 12. х='у'а'соз'лг+Ььь!п«ьгсоь1л1, у= а'соз~~з1+Ь'ь!и' згь!пмзг, ген [О 2п]. 13. х=ас 21с(уг Ф у=асоь21, 1~(0, и), либо х= (~ 1), У= о1(1ь ') 1+Р ' 1 -!-а ~( — оо, +со). 14. х=асоьь<р, у=асоь<рь!п<р, <реп ! — —" 2 ' и/2~. 15, х=асоз<р(1+соз<р), у=аз!п~р(1+соь~р), уь=[0, 2п].
21б !8. х асозфсозбф, у=аз!пфсозбф, ф~[0, и,'б]Ц[л/2, бл/6]() ()~7Ъ/б, — 1() ~ —, 2л1. 17. х= — созф, у= — з!пф, 2 ~ ~ 6 ~ 1~ф ' !+ф ф~[0, +по). 18. х=аз!пф']//!бфсозф, у=аз!пзф'уЧбфф, ф~ [О, и/2)()!л, — ). 19. х='р/з п2~рсозф, у=']/з п2~рз!пф, 2 Зп 1 4 ф св [О„л/2] () ! и, — 1. 20. х=а7' 2соз2фсозф, у= =ау'2соз2ряп ф, ф 66 [ — л/4, и/4]() [Зп/4, бл/4].
21. а) х=1 — 2!, у=!+2, г=З вЂ” 7!, ! ~ [О, 1]; б) х= — 1, у=2, г=1, ! 66 [1, 4]; в) х=!+!, у=З, г=! — 1, ! гп [О, 1]. 22. а) х=)ссоз!, у=)сз!и!, г=2, ! 66 [О, 2п]; б) х=йсоз!, у= /7 =Кз!п1, г=Д(соз!+з!и!); ! ~ [О, 2л]. 23. а) х== соз1, 2 /7 . /7 /7 / Яп! у==а!и!, г==, !зв[0, 2л]; б) х= — [ — +соз!), !/2 '!/2 ' 2 [, 1/3 /7 / Мп/ 2 у = — [ — — соз/)„г= — — Из!и/, 1ы [О, 2л]; в) х= '!/2 [, !/3 ) '!/6 =Ясозз!, у=йз!и!соз!, г=йз!и!, !зп[0 2л].
24. х= =ср/фсозф, у=сфяпф, г=сф. и!б =ф«(гз/с. 25. г=!, х= / г з г/з зз/Зп-1/3!4/3 ! ! / 24/Зп-1/3! Ф/3 2 )' 4 ], 2 заф с!гф фсп [О, «Рз]. 27. [/5 !п2. 28. ]/2+1п(1+'У'2). 29. 3 36. О. 31. —. 32. — + — — 1п(1!+ )/2). 33. — ~5+ +1п(2+ 1/5) 34.. 35. 2аз. 36. 3 2 37. — (25)/5-+15 у'2+1). 38. 2паг"+'. 39.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
