И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Математический анализ в задачах и упражнениях (1111792), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Решение, Так как х,'= — агя(п1, у',=а(сояг, г,'=2Ь(, Г:яО, то г(я= [/ х', +у,' +г,' я(( =)/а*+ 4Ягп (х'+ у'+ г') г(я = ~ (а'+ а'гЯ+ Ь'14) [(а'+ 4Ь' 8 яИ = о = 'у' а'+ 4ЬЯ (2азпз+ 4азп4+ — Ьзпз) . 3 Пусть (.— дуга линии г(х, у)=0 в плоскости ХУ и Е кривая в пространстве, полученная пересечением поверхностей Ф(х, у, г) 0 и г"(х, у)=0 (см. рис. 40). Тогда площадь части цилиндрической поверхности Р(х, у) =О, ограниченной снизу дугой Б и сверху кривой Е, вычисляется по формуле г(х, у)г(я, где г(х, у) — функция, определяемая соотношением Ф(х, у, г)=0. Пример.
Найдем площадь цилиндрической поверхности х'+ ху +у'=я', ограниченной снизу поверхностью а= в а сверху— плоскостью х+у+ г=2Р. 1зз Решение. Площадь данной поверхности 5 найдем квк разность следующих интегралов: (2Й вЂ” х — у) с(з и а6 —" й. 2к ° 1 аз+уз — яа з'+аз=я' Рас. 40 Поэтому поскольку для окружности радиуса Л имеем а2з=Лду, то Я = ~(2Я вЂ” х — у) — — Р ~ Нз = Я~ ~ Ж вЂ” Р, соз ар— аз+аз яа 2к о Л вЂ” Я з1 п ~р — — сов ~р з1 и ар ~ йр = — Я' ( и — — ' .
2 Пусть скалярная величина Р(Е) (масса, заряд, количество теплоты и т. и.) распределена на кривой Е с линейной плотностью р=р(х, у, г), тогда Р(Е)= ~р(х, у, г)с(з. Если р — плотность распределения массы на кривой Е и г(тп) — расстояние точки т~Е до некоторой плоскости или п ямой Я, то интегралы ли пря- ~О =" ~ Рат~ УЗ, А 4= )У, И) называются моментами порядка й кривой Е относительно соответствующей плоскости или прямой.
Формально можно сказать, что масса кривой Е является моментом 4; ~м~ нулевого порядка кривой Е относительно любой плоскости или прям й. М р о . оменты р р дка называются статическими моментами, моменты второго порядка — моментами инерции. Используя запись массы 194 как момента нулевого порядка, выпишем формулы для вычисления координат х„ум г, центра масс кривой Е с плотностью р( ~'ь г ~хг ~хт (1! (1) (1) ~'тз ' Пример. Найдем координаты центра масс кривой Вивиани: Е=((х, у, г): х'+у'=ах, х'+у'+г'=а', г) 0) с плотностью р(х, у, г) =г. Решение.
Чтобы воспользоваться формулами для вычисле- ния центра масс, необходимо записать данную кривую в пара- метрическом виде. Поскольку кривая лежит на цилиндре х'+у'= ах, начнем со стандартной параметризации цилиндра: окруж- ность хь+уь=ах, г=О может быть параметризована как х=асоььЕ у=асоьтяпЕ 1~ [ — л!2, л)2] и, следовательно, параметри- ческое задание цилиндра может быть взято в виде х=асоььй у=асоь)япЕ г=г, ! =- [ — л(2, л(2], г~ )с. Связь параметров ! и г на кривой Вивиани получим, используя то, что эта кривая лежит и на сфере х'+уь+г'=аь, откуда сле- дует, что г'=аь — а'соь'1, и, таким образом, получаем параметри- ческое представление кривой Е: Е=((х, у, г): х=асоььЕ у=асоь1яп(, г=а!япт), 1~ [ — л/2, л/2]).
Из этого представления получаем, что х,'= — аяп20 у,'= — асоь2Е г('=аьйп(яп1)соьц ь(ь — у' а2+ а2 соь21 Ж =- а )/1+ соь2! Ш. Следовательно, Ю2 )у хт = М = 2) хг —.— ~ р (!ь = ') а' ! яп 1~ )/1+ соь'! Ж == — Ю2 = 2а~ ~ у 1 + иь ()и = аь (и ')/1 + иь+ 1п (и + ) 2 ! 1 и2) ) ]1 = = а2 (у 2+!и [! + у'2)), и)'2 (утг =~рх((ь= ~ аасоь'1]я(п1!)Г1+соь21(у= (1) — и/2 1 =2аь~иь'у'1+иь((и= — [(2иь+и) у"! 1 и2 4 а — 1и (и + 1/1+. и')~ ), = — (3 )/2 — (п (1 + 1/2)), а/2 ~Я = ~ ру йв = ') а« сов121п1(я!п1!'$/1+ соя«1121 = О, -Ф2 а/2 «722)=~рго(г= ~ а'я!п'1$/!+соя'1Ф= — а12 1 1 = 2ао ~ 7!/ ! — и' 7!/! + и' о(и = 2ио ~ 1/1 — и« о)и = ! 2 2 а $- 112 ао ( ! 3 1 а' 4 2 4 ' 2/ 2 Г(714) о аз у 4 Го(!!4) а'Го(!14) 4 3 Г (3!4) Г (!!4) 3 )/2п Итак, а' (3 2 — 1и (1 + $/2)) а (3 $/2 — )п (1 + $/ 2)) 4ао( $/2+ 1п (1+ '$/2)) 4($/2+ 1п(! + '$/2)) уо = 0 а'Го (!14) аГо (!14) 3'$/211422($/2+ 1и(1+ $/2)) !2'$/2п($/2+1п(1+ $/2)) Пр имер.
Найдем момент инерции кривой 1'.=((х, у, г): у = 2совх, г=я!п2х, х ~ 10, п)2]) с плотностью р(х, у, г) =г относительно плоскости ХЯ. Решение. Так как расстояние тачки т= (х, у, г) от плоскости ХЯ есть $у$, то «7Хг= '$ гуоо(В. Для данной кривой имеем = 1/3+ 2 соя 2х + 4 сов' 2х о(х. Следовательно, а12 гуоо(в= ~ в!п2х4сояох'$/3+2соя2х+4соя«2хо(х= о = — ~ (1+соя2х) вв/ — +(2соя2х+1/2)21((соя2х)= ГН 4 о 196 ! = ~ (1~-г) Ъ/ — (-12г+ — 1 Иг= — (3+2г+4гз)'"1 + 1-! — ! + — ~ (2г + — ) ')ГЗ+ 2г+ 4г'+ + — 1и 12г+ — +(~3+ 2г+ 4г') ~ ~ = 9 — — 'у'5+ — ( — + — у'5+ — 1п 5 3 1 15 3 — 11 11 ) 3 8 (, 2 2 4 2$/5 — 3 Пример. Найдем силу, с которой масса М, распределенная равномерно на окружности хз+у'=а', г О, притягивает массу гп, помещенную в точке А (О, О, Ь), Решение.
Согласно физическому закону две массы М! и Мз притягиваются с силой Г у= уМ!М,— )!~а где у — гравитационная постоянная и г — расстояние между точками, в которых находятся массы. В нашем случае из соображений снмметрии можно сделать вывод, что гх О, гт=О, так как точка А(0, О, Ь) одинаково удалена от всех точек однородной окружности. В силу этого вектор г направлен вдоль оси ОЯ в отрицательном направлении. Пусть точка М(х, у) принадлежит элементу окружности !(з.
Этот элемент действует на массу, помещенную в точке А с силой, вертикальная составляющая которой равна М д — !(з д!Ь 2дд (Ь + х'+ й) за Суммируя по всем элементам дз, имеем гмд!Ь (' Ф 2яд,) (Ьд+ х!+ у!) з!г Е где !.=((х, у): х'+у'=а'), переходя к параметрическому заданию окружности (.=((х, у): х=асоз1, у=аз)пт), получаем, что Я дд!мь (' д г мь 2лд ) '(Ьз ( д!)Ьп (Ь! ( д!)3/!' о 191 й 2.
ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ ПЕРВОГО РОДА Определение. Пусть 5 — кусочно-гладкая поверхность, лежащая в Я'. Конечный набор кусочно-гладких кривых у, лежащих на 5, назовем разбиением Т поверхности 5. Части 5! (1(!»( (и) поверхности 5, полученные при разбиении Т, назовем участками разбиения. Заметим, что как для поверхности 5, так и для всех участков разбиения 5ь 1(!(и, определены площади 15! и )5!). Пусть функция !':5-~)г' определена н ограничена на кусочно- гладкой поверхности 5ее)г' и Т вЂ” разбиение 5.
Введем обозначения: М;=зцр)(х), хе= 5ь л!!=1п1Г(х), хен 5;; 5 (1, Т) = '~" М, ) 5; ! — верхняя сумма Дарбу; !=! И з(1, Т) = ~ и! !5!) — нижняя сумма Дарбу, ! ! Ю (), 5)=)п15(1, Т) — верхний интеграл Дарбу; т 4' (!', 5) = зцр з Д, Т) — нижний интеграл Дарбу, т Определение. Функция 1:5-ч-)с, определенная и ограниченная на кусочно-гладкой поверхности 5ЕЮз, интегрируема по поверхности 5, если У(), 5)=У(), 5). В этом случае общее значение интегралов Дарбу называется поверхностным интегралом первого рода от функции ! по поверхности 5 и обозначается Ц 115. Определение поверхностного интеграла первого рода переносит определение двойного интеграла Римана по плоской лежащей в )т', области на кусочно-гладкую поверхность 5, лежащую в Ж Основные свойства поверхностного интеграла первого рода 1.
Непрерывная на поверхности 5 функция 1 интегрнруема по 5. 2. Если функции 1! и )! интегрируемы по поверхности 5, то функции к=!'!)з и !'=пи'!+ай при любых числах а!, аз интегри. руемы по 5, причем ЦИ5=11(~т! + А) 15= ~ЦЬ(5+а,~~1,(5 (линейность интеграла). 3. Назовем две поверхности 5, и 5! неперекрывающимися, ес. ли их пересечение представляет конечное множество кусочно. гладких кривых (может быть, и пустое). Если функция 1 интегрнруема по двум неперекрывающимся поверхностям 5, н 5,, то 7 интегрируема по 5 5Й5г и Ц 105 = Д ) «и5 + Д гй5 (адаптивность интеграла). з 51 за 4.
~ ~ 1. б5= ~5~, где ~5~ — площадь поверхности. б. Если функция ) интегрируема по поверхности 5, то функция ~~~ интегрируема по 5 н ~Д1а5~( ~~ ()) б5. б. Если функции 7 и д интегрируемы по поверхности 5 н Г(х) ( ~<у(х) для всех хен5, то Д 7а5 ~( Ц Ка5 (монотонность интеграла). Я 5 7. Если функции ) и у ннтегрируемы по поверхности 5, у(х) =ъО для всех хен5, а=(п()(х), Ь=знрг(х), то а~(уб8<~~ф15~~ ~аз абаз 4,Ь~~уЖ, в частности а !5~ ~Ц~ )б5(Ь;~5). Если к тому же функция 1 непрерывна вдоль поверхности 5, то существует точка ха~5, такая, что Цу~д5=~(х,)Ддд5 (теорема о среднем).
8. Пусть 5 — простая гладкая поверхность, т. е. 5=(г=(х, у, г)): г=г(и, о)=(х(и, о), у(и, о), г(и, о))(и, о) сна, где 0 — жорданова область в )сг, гевС'(Щ и ранг (г')=2 (((г„' Х х «,'1)~ 0). Если 1: 5-ь Я непрерывна вдоль поверхности 5, то Ц «й3 = Д) 1'(х(и, о), у(и, о), г(и, о)) 1««Еб — Р'Нийд Б О где Е (г'„. г'„)= ~г„'!', 6=(г, 'г„')= ~г,'~', г=(г„' г,'). В частности, если поверхность 5 задана явной функцией г=г(х,у): 5=((х, у, г): г=г(х, у), (х, у) ен г«), 199 гу с= Яф — квадрируемая область, г еп С' (Тр), то Ц '1Ж= Д1(х, у, г(х, у)) (/1+(г„')'+(г„')'ф(хф(у. 5 в Пусть скалярная величина Р(5) распределена на поверхности 5 с поверхностной плотностью р р(х, у, г).
тогда Р(5) = ) ') о(х, у, г) ф(5. Интегралы чУч~ф=Д Р(х, У, г)гЮ, Й енрф', где р(х, у, г) — плотность распределения массы на поверхности 5 н г(т) — расстояние точки от луы5 до некоторой плоскости или прямой Я, называются моментами порядка й поверхности 5 относительно соответствующей плоскости или прямой. Массу поверхности можно считать моментом нулевого порядка относительно любой плоскости или прямой; моменты первого порядка называются статическими моментами, моменты второго порядка — моментами инерции. Координаты хм уф, гф центра масс поверхности 5 с плотностью р(х, у, г) вычисляются по формулам хур= —, уф= —, гф= —, з тг ~ха ~хг Пример.
Вычислим поверхностный интеграл первого рода ~(х+у+г)Ю, где 5 — поверхность тела, ограниченного плос~м *-ф, у ф р 2*-2 2 '~ — у', „у„-Ррр '(а)0). Решен не. Так как все поверхности, заданные в условии, являются поверхностями вращения относительно оси ОЕ, то сделаем чертеж меридионального сечения данного тела (см. рис. 41). Рас. 41 Из этого чертежа видно, что поверхность 5 состоит из трех глад- ких поверхностей: части плоскости 5,=((х, у, г):г=О, х'+у': 2а'), части полусферы 5,=((х, у, г):г= ~2аз — х' — у', аз(хз+уз з- 2а'), части конуса 5,=((х, у, г):г=~хз+у', хз+уз(аз). В силу свойства 3 1~( ~-ю~-ззз -11 ~~-ю~-ззз+ зз +~~(х+у+г)И5+ (((х+у+г)Ю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
