И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Математический анализ в задачах и упражнениях (1111792), страница 7
Текст из файла (страница 7)
( ( [(х, у) г(хг(у — ~ ~ Г' (х, у) г(хг(у, В о, поскольку условие [~Я(0) не дает права интегрировать функцию [ на множестве 0~~0. Если же из условия задачи можно утверждать, что [~Я(0,), то представление ( [ г(х, р) г)хг(у= ~ ~ )(х, и) йхИу — [ ((х, р) ~!хг)р 'о о, в, законно и может бить использовано для упрощения вычислений. 2. Замена переменных в двойном интеграле. Переход к полярной и обобщенной полярной системам координат Замена переменных в двойном интеграле приводит как к изменению подынтегрального выражения, так и к изменению множества, по которому берется интеграл.
В отличие от одномерного интеграла, где связь двух промежутков интегрирования устанавливается просто, для многомерного интеграла найти множество изменения новых переменных достаточно трудно, ноэтому главное внимание при выборе зависимости между новымн и старыми переменными обращается именно на нахождение этого множества. Наиболее простым случаем является тот, когда границами множества Р, по которому берется интеграл, являются линии уровня достаточно гладких функций: ~р,(х, у) и ~рз(х, у), т. е. Р=((х, у): а(~р,(х, у)(Ь, с(~ра(х, у)(а), причем отображение <р: Р— Щ ~р: и=~р1(х, у), о=-ср,(х, у) регулярно.
В этом случае отображение ~р: и=~р,(х, у), о=~рз(х, у) переводит множество Р в промежуток 7=((и, о): а и(Ь, с(о(а), Нр им е р. Вычислим ~ ~ (х'+ у') йх йу, о где Р=((х, у): 1~~ху(2, 0 (х(2у(4х) (см. рис. 13). Р е ш е н и е. Рассмотрим отображение ф: (и, о)-~(х, у), обратное к отображению и=ху, о=у/х:х=~/и)о, у=')/ио. Из формул, выражающих х, у через и, о, видно, что для множества О, лежащего в первом квадранте и отделенного от координатных осей, существует область 6„,„:э0, в которой отображение ф является биективным.
Геометрически биективность отображения ф видна из того, что произвольная линия уровня функции о — прямая у=С~х и произвольная линия уровня функции и — гипербола ху=Сз при условии х>0, у>0 пересекаются только в одной точке. Как неравенства 1(ху 2, 1/2(у/х(2, так и геометрические соображения (гиперболы ху Сэ н прямые у=С~х пересека- 1 ются с множеством 0 тогда и только тогда, когда — ( С, = 2, 1 ( 2 (С,~ (2) показывают, что прообразом 0 прн отображении ф является прямоугольник 1=~(и, о): 1(и(2, — <о(2~ 2 Далее, для якобиана ф справедливо соотношение 1 1 2 О ив = — чь0, (и, о) ен!.
1 2и Итак, отображение ф регулярно н Д(х'+у') Ыу = Ц ( — "+ио) ° Э с = — ~ щЬ ~ ( — + 1) й~ = — ~ ( — + — ) и4(и = —. 1 1/3 1 Разумеется, можно было бы вычислить этот интеграл н не производя замены переменных. Но тогда множество 0 для представления двойного интеграла в виде повторного нужно разбить на три: 0=0~00эо0м где О,= ~(х> у): — (х(1, --(у(2х~, 04=- ((х, у): 1(х('$/2, — ==,у(- —,, х х 04 = ( (х, у): )I 2 ( х ( 2, — ( у 2 х 1 44 П р и мер. Вычислим ~~ (хь + з) (х (у где Р=((х, у): х)0, у эО, 4х' — Зу'(4, 4уь — Зх'(4) (см. рис.
14). Рис. !4 Р е ш е н и е. Так же, как и в предыдущем примере, для непосредственного применения теоремы Фубини к данному интегралу необходимо разбить множество Р на составляющие, поскольку оно является замыканием области, не являющейся стандартной относительно каждой из координатных осей ОХ и ОУ. Покажем, что переход к переменным и и о по формулам и = 4х' — Зу', о = 4у' — Зх' упрощает вычисление данного интеграла. Поскольку / 4и + Зи -, тг Зи -4- 4и х=~ р у= у 1' и х~О, у>0, то отображение р: (х, у)- (и, о) есть биекция РР(Р). Из неравенств 4хь — Зус(4, 4уз — Зх'-- 4 следуют веривеис1вв и~4, о 4; поскольку 4и + Зс ь / Зи + 4е '=1 то необходимо, чтобы выполнялось условие 4и+Зо.
О, Зи+4о~О. Объединяя все полученные соотношения, получаем, что образом ~р(Р) множества Р является множество Р,=((и, о): 4и+Зо-ьб, Зи+4о>0, и(4, о(4) 8х — бу .р .Б).Я а фр ( (-2Вр, т — бх 8у на Р этот якобиан обращается в нуль, то условия первой теоре- Рис. 15 мы о замене переменных в кратном интеграле не выполнены, однако выполнены условия второй теоремы, если Р;'~Д=((и, о): и<4, о<4, 4и+Зо>0, Зи+4о>0).
Итак, ~ ~ (и + о) Йи(о = ~ ~ (4х' — Здя + 4дя — Зха) 28хуйхф = о, о = 28 ~ ~ (хзу+ хда) йхйу, о Следовательно, О 4 ~ (х~у+хуе) с(хдд = — ~ 1 (и+ о) Йш(о= — ~ с(и ~ (и + о)ио+ гг 1 28 М 28 о — 3 — 4и/3 4 4 О + — ~Ни ~ (и+о)с(о= — ~~ и (4+ — и) +8 — — и'~йи+ -за~ 4 4 + ~ [и (4+ ' — и11+8 — — и'1Ии= — '1 (4и+8)йи )- 4 / 32 1 28 .1 о о + — 1 — иЫи + — ~ — и ди=З. 1о4я 1Г15 28 9 28 ~ 32 В этом примере фактически рассматривалось не отображение <р: (и, о)- (х, у), а обратное отображение Ч'=<г — ': (х, у)- (и, о).
Хотя в ходе Решения были получены явные выражения кзк функций и(х, у), и(х, у), так и функций х(и, и), у(и, и), но дифференцирование отображения Ч: технически проще дифференцирования отображения ~р. Если связь переменных (х, у) и (и, с) задана соотношениями вида и=и(х, у), о=п(х, д), то для вычисления якобиана Я = 0(х, у) необходимо найти явную зависимость х=х(и, о), у=д 0(и, о] '(и, о). В некоторых случаях проще найти якобиан 7 обратного отображения Ч"=~р-':(х, у)- (и, о) и воспользоваться равен- 1 ством Кт У ПримеР + „ с" хз — Зху~+ ау у + у,(худ,д й— ху о н и у 1)х2 у= — 4/х~ У=х — 1 Р е ш е и не. Граница области .0 составлена из линий уровня функций и=ухх и о=х — у: й=((х, у): 1 <ух'< 4, — 1<х — у< 1) (см. Рис.
!6). Более того, каждая точка (х, у) области 0 лежит только на одной кривой вида ух'=Сь 1<с,<4, и только на одной кривой вида х — У=-С,, — 1<С,<1. Рис га Таким образом, отображение Ч.: и=уха, о=-х — у есть биекцня области Е> па область Ц=((и, о): 1<и<4, — 1<о<1). Не выражая явно переменные х и у через и и о (это требует реше- Р(х, у) ния кубического уравнения), найдем якобиан Р, равный Р (и, о) 1/(де(ф').
Так как 2ху хх де1 ф' = = — х (2у -1- х), 1 — 1 то Р (х, д) 1 1 Р (и, о) ~ х (2у -Г х) хи(и, о) + 2х (и, о) у (и, о) следовательно, биективные отображения ф и ф-' есть соответственно диффеоморфизмы 0 — ~-01 и 0~-~-0. Итак, условия первой теоремы о замене переменных в кратном интеграле выполнены, и поэтому ~ х' — Зху'+ 2у ('(' х (х+ 2у) + х' — Зх' 2З ('(' х х 2 ху х~у о = Д о "' У) (х'+2ху)г!хну = о =О хх(и, о) +2х(и, о) у (и, о) х'(и, о)+2х(и, о) д(и, о) о, йи 2 — = — 1п 4. и 3 1 ~~ ((х, у)дну= ~~1(»созф, »з!пф)»йг(ф, о о, где 01=((», ф)) — прообраз О, если»~О, а угол ф изменяется в промежутке длиной не более 2и: а( ф( а+ 2п. (Чаще всего берутся значения а, равные О, — и или — п)2 в зави- симости от расположения множества Р.) 48 Нахождение прообраза множества О при переходе к полярным координатам на плоскости, т.
е. при отображении х=»созф, у=»з!и ф, облегчается простым геометрическим смыслом параметров» и ф. Именно» есть длина радиуса-вектора из начала координат в точку (х, у), а ф — угол между этим вектором и положительным направлением оси ОХ. Как уже указывалось при общем рассмотрении полярных координат в п-мерном пространстве (с. 17), для любого жорданова множества Рс:Рг' и функции 1'с: ~С(0) имеет место равенство Расстановку пределов в полярных координатах большей частью делают в виде а они ~ йр ~ н(г, ~р)дг, а пни поскольку зависимость г(~р) чаще всего аналитически выражается проще, чем 9 (г). Заметим, что переход от переменных х и у к переменным г н ~р можно рассматривать как переход к согласованной с декартовой полярной системе координат, а не как преобразование множества О.
Поэтому для упрощения записи ие будем в дальнейшем изложении вводить новое обозначение для множества изменения г и ~р, а будем рассматривать множество О как в виде 0= =((х, у):...), так и в виде В=((г, ~р):...), где вместо многоточия стоят условия на координаты (х, у) и (г, ~р) соответственно. Пример. В двойном интеграле ~ ~ ) (х, у) дну, где о Р=((х, д): х'+у'>а', х'+уз<2ау, а>0) и (ни С(О) (см. рис. 17) перейдем к полярным координатам и расставим пределы интегрирования в том и другом порядке. Рис, !7 Р еще н н е. Запишем условия на координаты точек (г, ~р)ен11 в полярных координатах: гх>а', г'<2агз!ну, т, е. в силу условия г>0 имеем а<г<2аз)п~р.
Из чертежа видно, что луч ~р=~рэ пересекается с множеством Р тогда и только тогда, когда п16 < <~р„<5п~б. Каждый такой луч пересекается с 0 по отрезку (а, 2аз)п <р,). Итак, 0 = ((г, гр): и!6 < гр < бп/6, а < г < 2а ей п <р) 49 бп, б Па Ип Ч ')й ! (х У)б(хФ= ') 4<1! ~,1(гсобф, га!и !Р) гс1г, О ппб а Для расстановки пределов интегрирования в другом порядке снова обратимся к чертежу. Минимальпое расс!ояние точек миоже.
ства 0 от начала координат равно а, максимальное — 2а, следовательно, имеем а<г<2а. Линия г=С вЂ” окружность радиусом С с центром в начале координат — пересекается с 0 по дуге (и, и — а), где а=агса1п(С/2а). Итак, 0=((г, !р); а<г<2а, агсб)п(г!2а) ф< < и — агса(п(г(2а)) и ) ) 1(х, у) б(ха(у = о йа и — пап-!и!оба! = ) г(г 1 ! (гсобф, Га!и ф) гб(ф. а апсз!и!гГба! Пр и мер. В двойном п!меграле ((, !'(х, р)!(хс(у, где Р— об- о ласть, лежащая одновременно как внутри кардиоиды г=а(1+ +соаф), так и внутри окружности х'+!гб=-Зих, а)0 и !"енС(0) '(см.
рис. 18), перейдем к полярным координатам и расставим пределы интегрирования в том и другом порядке (декартова и полярная системы координат совмещены). Рис, !а Р еш е н ив. Запишем уравиенис окружности в полярных координатах: г=Зо сов ф. Так как точки (г, ср) ~0 легкат внутри области, ограниченной обеими кривыми, то их координаты должны одновременно удовлетворять неравенствам: г<а(1+сов ф) и г< 50 <Засозф. Из условия г>0 н второго неравенства получаем, что — а/2<ф<л/2. Так как и первое, н второе неравенства ограничивают г сверху„то, объединяя нх, получаем, ч!о 0<г<ппп(а(1+ +соз ф), За соз ф). Как и раньше, разобъем интервал изменения ( — и/2, н/2) на подынтервалы так, чтобы границы изменения г записывались с помощью простого выражения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
