И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Математический анализ в задачах и упражнениях (1111792), страница 4
Текст из файла (страница 4)
)с') есть. объединение двух жордаиовых множеств: Вг ((хо хв): хг ~~ )тв, 0 ~~ха ~( ) Я вЂ” хг) ):),=((х„х,): х',< ٠— )/~' — х',а-х (О) (см. свойство 3 жордановых множеств), следовательно, жорданово множество. Рассугкдая по индукции, получаем, что и-мерный шар .01лг — жорданово множество. Прообразом шара 1)овг прн переходе к полярным координатам является брус: 1 — — (О я-' г ( Я, О ( врв ( и, 1 » «1 ~~ а — 1, О ( Чг„г ( 2п). Применяя следствие 2 теоремы Фубини, получаем, что )В" ) = ~~в(хгв(ха ...
в(х„= в гв — ' ( 1 1 яп' ' — ' Чгв ) йрвсйрв ... Йр„г = еч 1' г г ! о< вг н зл л — 2 л =~г" 'в)г~ с(гр, )г 1 ~яп' ' 'ччс(Чч = о =г о ('л — 1') У 1 — г), ~г — 1 2пггл П 1 2 / ), 2 ! 2плгв11~ а У л — в+1 ар(л/2) г) ) 2 * При решении примеров часто приходится вычислять ивтегралы вяда лгз совр хяпвхбх (р) — 1, д) — 1). о" Для их вычисления удобно использовать формулу Рассмотрим более подробно пространства: )ст — плоскость ХУ и тса — пространство ХУХ. $2.
ДВОЙНОИ ИНТЕГРАЛ. ЕГО ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 1. Теорема Фубини Поскольку в атом параграфе рассматривается интегральное исчисление функций ):)г'-~-тс, то по большей части не будет специально оговариваться, что рассматриваемое множество лежит в )са. Функцию 1:)г'- )с будем обозначать 1(х, у); двумерный промежуток будем называть прямоугольником, в случае равенства его сторон — квадратом; двумерный объем — площадью.
С целью пояснения понятий верхней и нижней сумм, критерия интегрируемости Дарбу и определения двойного интеграла рассмотрим следующий П р и мер 3. Вычислим интеграл ~ ~ хус)х!2у, о где 0 — прямоугольник !1; 2) )4 [1; 3], пользуясь непосредственно определением двойного интеграла. Р еш е н и е. Обозначим через Т„разбиение Р, индуцированное разбиениями: Тх:1( ( — (...
< (2 и Т:1( л л л «' < лхл2 < л+4 « Зл — 2(3 л л л сев«х 51П«хлх— Г( Р-сч + ~ где Г(х) = ~ р" 1« "лх1х)0) — функции Эйлера со следующими свойствами: в Г 1л) =«1л — 1)!, л ~и У; Г 1х + 1) = хГ 1х), х ) 0; Г(х) Г11 — х) =, ос х<1. в)н лх 20 ! т. е. разбиение Р на прямоугольники прямыми х= — 1+ — и у= а 2! = 1+ —, 1 =! (и — 1. Так как ) 1Т„) = — и ).!Т )= —, то Х(Т„)= 1 2 и п л ! 2, 2 (а и/ л Обозначим через Рп прямоугольник л-1-! — 1 а 1-! ! ! л+2!! — !) л+2! ~ (у( л а и и л л 2 Имеем Р= ~ ) '))' Рп, !Рп) =- „, ' 1=' М!! — зир!ху) =- ) 1 + — (! + — ), 2! ! л)), л о!! л л л л и л д),у, Т„) = ~)~~ ~~~ М„)Р;;1 =~!'„~~~ (1 + — „-~ (1-е -„-1 с-!! ! с=! !.=-! и л л ! )~~~( 21~ 2 ~(1+ ! ) >< ь=! /=1 в=.
! ( 2 л!и!1) ) 2(2и+1) ~1(1 ! ! ) ! — --1 2 !2л 1-1) ! и(л+ 1) ! !2а+ 1) !зи !. !) )и+ л' зл л! и и л з!ху, Т„) =~~~~ ~~) ~и!, )Р!!1 = — ~' (1 + „) и с= 1=. ! л и „Е(1+ 2!! — !) '= 2 Е(1+! — 11. (и+ 2и!и ') 1= ! ! и = — ри — 1) ~~~(1+ ' ) = — (2и — 1) (и+ а=! (2л — 1) !Зи — 1) 21 Так как бс апра(1, Т„)<апра(1, Т)<)п18(1', Т)<!п15(1', Т )=б, то, следовательно, знр а (1, Т) = 1п1 5 ([, Т) = б. т т В силу общего определения делаем вывод: функция [(х, у)=х:у интегрируема по Риману на прямоугольнике Р: [1, 2) Х [1, 3) и 1 1 хус(хс(у = б. 'о Разумеется, способ вычисления интеграла, рассмотренный в данном примере, не является практическим методом.
На практжке вычисление двойного интеграла осуществляется применение1м теоремы Фубини. Рассмотрение этого метода вычисления являетгся основным содержанием данного параграфа. Непосредственно из определения двойного интеграла следуетг, что если 1енЯ(В) и множество П симметрично относительно ос:и ОУ, то из равенства 1(х, у)=1( — х, у) (четности функции 1(х, ус) относительно переменной х) следует, что ~ ~ [ (х, у) с(хс(у = 2 ~ ~в [ (х, у) с(хс(у, о1 где В, = й П ((х, у): х ) О), а из равенства 1(х, у)= — 1( — х, у) (нечетности 1(х, у) относи- тельно переменной х) следует, что ~~1(х, у)с(хс(у=-О.
'о Так, например, сразу можно утверждать, что интеграл ') ) х'в(1+ хв-( у')" с(хс(у, где 1)=((х, у):х'+у'<х'+у') равен нулю, а интеграл [ ~ (х'-1- ув)'хвувс(хс(у, о где В =- ((х, у): (х'+ у')' 2хву), равен 2 ~ ~ (хв 1 ув)г хвувс(хс(у о, где 0,=с)П((х, у):х 0). 22 Аналогичные равенства справедливы, если область Р симметрична относительно оси ОХ, а функция )(х, у) четна или нечетна относительно переменной у.
Множество 6=((х, у): а<х<Ь, (р,(х)<у<(р,(х)), где (г(е= С(а, Ь], (р, а= С(а, Ь] будем называть областью, стандартной относительно оси ОХ; множество 6 = ((х, у): с < 'у < ((, х) (у) < х < х, (у)), где х, ~ С]с, ((], я, яС(с, ()], — областью, стандартной относительно оси ОУ.
Стандартная относительно той или инои координатной оси область и ее замыкание являются жордановыми множестваь:и. Для стандартной области теорема Фубини формулируется следующим образом: Если Р=-((х, у): а<х(Ь, (р,(х) =у<(р (х)), (р, ьн С(а, Ь], (р, еи С (а, Ь] и ) (и С (Р), то ь я(х) ~ ~ (' (х, у) ((хну = ] пх ( ((х, у) ((у. о а Ььм) Если Р=((х(у):с<у <(), н)(у)<х<)(,(у)), х,енС(с, ()], н, ь С(с, ((] и )( ив С(Р), то Ц~(х, у)((х((у=.~ Иу ~ )(х, у)((х о е х,(а) Геометрически область 6, стандартная относительно оси ОХ, 6=((х, у): а<х<Ь, (р((х) <у«рз(х)) характеризуется следующим образом: если интервал (а, Ь) есть проекция 6 на ось ОХ, то для любой точки х,~(а, Ь) вертикаль, проходящая через зту точку (прямая х=х,), пересекается с 6 по единственному интервалу (а(ха), ])(хь) ), концы которого, вообще говоря, зависят от хь.
Утверждение, сформулированное в теореме Фубини, можно описать так: полагая х постоянным, берем интеграл по интерва- 23 лу (а(х), р(х)) снизу вверх и получаем функцию Ф(х), которую интегрируем слева направо по интервалу (а, Ь) изменения х. Аналогично интерпретируется повторный интеграл по области, стандартной относительно оси ОУ.
Представление двойного (в общем случае кратного) интеграла в виде повторного: Ь ч,(к) 4 х,(р) ~~~(х, у)йхйу=~йх ) '1йу==~йу ') 1йх о а Ч)(к) к Х1(р) называют расстановкой пределов интегрирования в определенном порядке. Задача расстановки пределов интегрирования допускает несколько вариантов.
1. Задан двойной (кратный) интеграл по множеству Р. Расставить пределы интегрирования в том и другом порядке. Как следует из вышесказанного, равенство Ь Ч,(к) х,(р) ~йх ~ 1ЙУ=~йУ ) 1йх а Ч,(к) х,(р) имеет место для множества Р, являющегося замыканием области, стандартной как относительно оси ОХ, так и относительно оси ОУ: Р = ((х, у): и ~(х ~( Ь, у1 (х) ~( у ~( ур (х)) = = ((х, у): с ( у «- й, х) (у) а- х ( хь (у)).
Если Р не является множеством такого вида, то прибегают к представлению его как конечного объединения неперекрываюе шихся (без общих внутренних точек) множеств Р = () Р„, каж1=1 дое из которых есть замыкание области, стандартной относительно той пли другой оси. Тогда в силу аддитивности ( ( ) (х, у) йхйу =- ~, ( ~ 1йхйу. о р=) О 11оскольку область, стандартная относительно одной из осей, не обязана быть стандартной огиосительио другой, то разбиение 0 Р = О Р, зависит от желаемого порядка расстановки пределов 4=1 интегрирования.
Естественно, желательно, чтобы количество коме понент в представлении Р= ЦР, было минимальным. Но при 4-1 рассмотрении кратного интеграла по конкретному множеству появляется еще дополнительное требование: необходимо, чтобы функции, определяющие пределы интегрирования, были не только непрерывными, но и гладкими (говоря нестрого, функциями, 24 заданными достаточно простым аналитическим выражением). Это требование, формально не высказанное, но подразумевающееся, может привести к необходимости дополнительного разбиения множества В„хотя это множество и является замыканием области, стандартной относительно рассматриваемой оси. Аналитическая запись области В, стандартной относительно оси ОХ или оси ОУ, состоит в представлении заданных условий на координаты точек этой области системой неравенств специального вида (а<х<6, ф,(х)(у(ф,(х)) или (с(у<0, )(„(у)<х<)(а(у)).
Возможно ли такое представление или необходимо разложить рассматриваемое множество на составляющие, каков конкретный вид этого представления всего множества или отдельных его частей,— ответ на эти вопросы часто существенно упрощается при изображении множества 0 на чертеже. П р им ер. Область 0 лежит в правой полуплоскости (т. е. х~О) и ограничена кривыми: Зу = х', Зу =- — х', х' + у' .= 4. В двойном интеграле ~~)(х, у) с(хну, Ген С(0), расставим о пределы интегрирования в том и другом порядке. Р е ш е н и е.
Перейдем к неравенствам, которым должны удовлетворять координаты (х, у) точек множества В без помощи чертежа — аналитически. Используем то, что координаты точек, лежащих по одну сторону от кривой ф(х, у)=0, удовлетворяют одному из неравенств 1р(х, у) >О илн ф(х, у) <О. Так как из неравенства у< — х')3 следует неравенство у<х'13, а из неравенства у>х'!3 — неравенство у> — х'/3, то условия на координаты точек рассматриваемой области должны иметь вид — х93<у<х'/3, в противном случае одна нз данных парабол окажется лишней. Вели к этому неравенству добавить неравенство х'+у'>4, то получим неограниченное множество.
Учитывая, что 0 лежит в правой полуплоскости, получаем окончательно, что к~ х~ 0= ~(х, у):х)0, — — (у ..—, х~+у'< 4~ Приводя полученные неравенства к эквивалентной системе неравенств, характеризующей области, стандартные относительно координатных осей, получаем, что В= ~(х, у):0 <х<2, гпах ~ — —, — 'р'4 — х'~ < или хг ( у ( пп1 и ~ —, (/ 4 — х'( 1, з' 11' В=((х, у): — 1(у<!, ~/13у1(х -. )/4 — у').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
