И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Математический анализ в задачах и упражнениях (1111792), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Из системы ! Зу — 4х=0; х' — 10х+у'+9=0 находим, что самая верхняя точка множества Р( есть (9/5, 12/5). 12 Отсюда получаем, что Р, = ~(х, у):0(у< —, Зу14(х«..5— з — '1/15 — уг~ и, следовательно, ~ ~ ~ (хг+ у') ((х((у = 2 ~ ~ ) (хг + у') ((х((у =- 'о 'о,' >г/Ь Б- Г >Π— Кк 2 ~ ((у ) >(хг+уг) (1х о' (гм>и Ь ~р,(к) 3.
Задан повторный интеграл ~((х ~ 1(х, у)((у. Переменить а щ(к) в нем порядок расстановки пределов интегрирования. Для решения такой задачи сначала делаем переход от заданного повторного интеграла к двойному: Ь чк(к) (((х ) Г(х, у)йуаа~~~(х,у)((х((у. а е,(к) 'в' Условия на координаты точек (х, у) множества Р получаем исходя из заданного повторного интеграла: Р=((х, у): а(х«5, (р)(х)«..у((рг(х)). В полученном двойном интеграле приведем расстановку пределов интегрирования в требуемом порядке так, как было разобрано выше. Таким образом, считая для простоты записи, что Р— область, стандартная относительно обеих осей ОХ и ОУ, получаем цепочку равенств ь о.(.
> к м(и) ~ИХ ~ ("(Х, у)((уаа~~((Х, у)Ь(Хду=) ((у ) Г(Х, у)()Х. а 9и(к) 'О к х,(о) Обычно средний член этой цепочки — кратный интеграл — только подразумевается (как общее значение равных повторных интегралов), но не записывается. П р и м е р. Изменим порядок интегрирования в повторном интеграле го ) 4-у' ((у ) г(х, у)Ых, )'г С(Р). о к зз Р е ш е н и е. Начнем с гого, что запишем условие на координаты точек (х, р) из множества В, по которому берется интеграл: с) = ((х, р): О е=' у ( 7 2, р ( х ( ~/4 — ус); множество 0 (рис.
7) есть замыкание области, стандартной как относительно оси ОУ Рнс. 7 (зто видно и из записи повторного интеграла), так и относительно оси ОХ: й =. ((х, у): 0 - х - 2, 0 ~ р ( п11п (х, )' 4 — х')). Поскольку, как указывалось выше, функции, определяющие пределы интегрирования, должны быть гладкими, представим множество й в виде В=ОМОм где 7),=((х, у): 0(х()'2, 0 «=у(х), В, = ((х, у): ~/2 ( х ( 2, О ( р '$'с4 — х'). Итак, к2 1 у к к~ — ы ~ с(у ~ 7(х, п)с(х:-- ~ с(х~((х. д)с(у+ ~ Йх ~ 1(х, У)Ф. с с о О Если подынтегральная функция в двойном интеграле зависит только от одного переменного, то, как было указано в общем и- мерном случае, при соответствующем порядке расстановки преде.
лов интегрирования двойной интеграл сводится к однократному. П р и м е р. Сведем интеграл ) ( 7" (х) с(хс(р, где область Р о ограничена линиями у=2х, у=-х, у=2 (см. рис. 8), к однократному. Р е ш е н и е. В силу следствия 1 из теоремы Фубини получаем, что 2 ~~1(х)Лхасу= ~1(х)ф(х)йх, 'и о Ряс, 8 где ф(а) — длина интервала, по которому прямая х=а, 0(а -2, пересекается с областью О, Так как 1 2п — а=а, 0(а~~1; ф(а)= ~ 2 — а, 1(а<2, то окончательно ~ ~ ) (х) Нхг(у = ~ х~ (х) г(х + ~ ~ (х) (2 — х) дх. о о ! 2а т'~а» Пример. Сведем интеграл ~г(х 1 1(р)ду к однократ- а т 2ал — и ному.
Р е ш е н и е. В силу следствия 1 из теоремы Фубнни получаем, что (х ~ ~(д) (р=()(р)фМ Ь, ты~ — х о где ~Г(и) — длина интервала, по которому прямая у=о, 0(~а(2а, пересекается с областью В=((х, у): 0(х(2а, р'2ах — ха(2у( ( у'2пх) (см. рис, 9). Для 0(п(а имеем оа ~р(сс)=2а — — — 2 д па — 222; для а(22(2а имеем ~р (22) = 2а— 2а Рис. з Итак, окончательно, 2а У 2аа ~ пх ~ [(у) 2(у= ~ [2а — ~ — 2 )/аа — д' ~ 1(у) дд+ У 2аа — а' 2 2а 2а + ~ ~ 2о — ~ ) 1(у) ду= ~ [ (у) (2а — ~ ) Нд— а о — 2 ~[(у) 1/аа — уа пу, о Рассмотрим теперь приемы вычисления двойного интеграла ~~(х, у)йхс(у в случае, когда область 22 ограничена замкну- о той кривой, заданной параметрически: Г=((х, у), х=х(1), у=-у(1), (ен[Т„ТД), х(()еС'[Т„Т2[, у(2)енС'[Т„Т,], х(Т„) — — х(Т,), у(Т„)=у(Т,). Подробно разберем простейший случай: отрезок [Т„Т,1 делится точкой тен(Тм Т,) так, что на [Т,, т) функция х(() строго убы- 36 вает, а на [т, Т)1 — строго возрастает.
Тогда кривая Г состоит из двух ветвей: у=у,(х)=у((С(х)), хя [х(т), х(Т,)[, г ~ [Т„т) н у=у,(х)=у(1(х)), хеп[х(т), х(Т,))=[х(т), х(Т))), (я[т, Т(1. Предположим еще, что у,(х) >уз(х) для всех хеи[х(с), х(Т,)1. При этих условиях кривая Г проходится так, что область 0 остается слева (положительное направление обхода)„когда г возрастает от Т, до Т,, и область 0 стандартна относительно осн ох: 0=((х, у): х(т)(х(х(Т,), у,(х)~у~у((х)) (см. рис. 10). Рис )О Пусть Ф(х, у) есть первообразная для функции Цх, у) относительно переменной у, т. е. Ф„(х, у)=1(х, у), тогда «(Тк) ук(к) Д ) (х, у) ((х((у = ~ ((х ) ).(х, у)((у = и «(и «,(к) мт,] [Ф(х, у,(х)) — Ф(х, уи(х))1((х= Ь) «(Тк) к(Т,) Ф(х, у,(х))дх — (( Ф(х, у,(х))((х.
«(к! 4'«] В каждом из полученных однократных интегралов сделаем замену х=х(1). Тогда т ~~((х, у) ((х((у= ~ Ф(х((), у(1)) х((()в о т, т, — ~ Ф(х(1), уф) х((((= — ~ Ф(х(1), у(()) х,'(У. 37 П р и м е р. Вычислим Ц х )/4хс + ху дну, о где 0 — область, ограниченная правой петлей кривой: Г=((х, у): х=асоз(, у=аз)п21), х О. Р е ш е н и е.
Правая петля кривой Г проходится в положительном направлении при изменении ( от — и/2 до я!2 (см. Ряс. !! рис. 11). Заметим, что для точки (х, у)а=0 справедливо неравенство: х ! хй !у~( а з(п ( 2 агс соз — ~ = 2х 1 — —, а а' следовательно, хй и <.,д)ы —,~д~-сс(с ~,'~ ) ~о, а~ т. е. функция ! (х, у)=х у'4х'+ху определена и непрерывна в 1). Первообразная этой функции по переменной у есть функция (4х'+ху)м~ —. Следовательно, используя формулу (1), полу. з' чаем, что я/2 ~х )/4хя+ ху дхду = — — ~ (4а~ созР(+ 4а' э(п 8 ° соэ'г)в~ х з з о — лм х с((а сок 1) = — а4 ~ (1+ з1п Г)мс з!и ! .
созз Г !11 =- 16 з У2 — пв ~ гв(гв 1)(2гв гв)Нг= — ав ~ (Згв гвв 2гв)((г 32 ° 3 3 о в 3 13 11 7 266 1 2 4 2 ' йв ° 1'2 3 ~ 3 11 7 4 9.1! 7 Если замкнутая кривая Г=((х, у): х=х(1), у=у(1), 1~(Т„ ТД) проходится в положительном направлении при возраста- нии параметра 7 от Тв до Т„т.
е. область 11, ограниченная Г, остается при этом слева, то, повторяя приведенные выше рас- суждения, получим формулу г ~ ~ 1(х, у) 4(хв(у = ~ Ч' (х, 1), у (1)) у' (1) в(1, (2) 'о у. где Ч'(х, у) — первообразная функции )'(х, у) относительно переменной х. Формула (1) справедлива и тогда, когда область й ограничена кривой Г=((х, у): х=х(1), у — — у(1), 1~ (Т„ТД и прямой х=С, если кривая Г при возрастании 7 от Т, до Т, проходится так, что область 11 остается слева. Формула (2) справедлива, если область 11 ограничена кривой Г=((х, у): х=х(1), у=-у(1), 1ен ~ (Т„Тф и прямой у=С при том же условии прохождения Г.
П р и и е р. Вычислим ) ~ х у'2ав — ау г(хну, и где 1) — область, ограниченная одной аркой циклоиды Г =((х, у): : х=а(1 — з!п1), у=-а(1 — соз1), 14=. [О, 2п)) н осью ОХ. Р е ш е н и е. При возрастании 1 от 0 до 2п кривая Г прохо. дится слева направо, так что область О остается справа от Г (см. рис. 12). Поэтому формула принимает вид ~~ 1" (х, у) Мха= — ~ Ч'(х(1), у(1))у'(1) Й1. Ъ о Первообразной для функции 1'(х, у)=х у'2ав — ау относительно хв переменной х является функция 'Р(х, у) = — )72ав — ау Итак, 2 ~х 1'2а' — ау 4(хну = — ~ ав (! — мп 1)' у а'+овсов( аз1пЫ1 2 о в 39 ло н — — ~ яп'1 ')/1+ соз1 сЫ. 2 а Рис.
12 Вычислим отдельно каждый из интегралов: — ~ 1о~!+соз1з)п8Ж= — 1 1ос((1+сов()о~о= 3 .) = — (1+ сов 1)з~о ~ — — 1 1(1+ соз Г)з/о с(1. 3 !о 3 1 о Так как Г (1 + сов 1)о/о с(1 = ~ 1 (1 + соз 1)ого сИ + ~ 1 (1+ сов 1)ого Ж = л л =(~(1+ а 'л-,'~(2 — 4(14* г"И = а =2я~(1+соз1)згосЫ=2я ~2 ~2 созо — с(Г= 2 3 4о — ~ з(па1 о с(1 = ~ (1 — созо 1) )/1+ сов 1 с( соз 1 = О, а то (зу'1+ соз(81п(,(1 (8У2 ' 84 )'2 3 9 о Лалее имеем "'"" ъ'> ~- ° и~ = 1 ~ *' ~ ~ )(( (. ж~ а —, о о зв л «-~ы ч)1-~- и~-~ыи~тт~ па~ ь а + ) (хп — г) яп'г )~1+ соя г((г = 2п ~ з(п' г )/1-1- сов ((1(= о о = 16')Г2п~8(п' ( с(м' ~ (( / ( 1= 2 2 (2/ а 6 ~~2 „ г (3(2) г (2) 32 ~/2 в г (т('2) 15 Объединяя полученные результаты, окончательно имеем, что Д (' уй ) 1 1 ~ 8')/2 кз 32я~/2 32 "$/2я ) 9 )5, (15п — 20+ 12) = 1 (15п — 8).
Обратим теперь внимание на наиболее характерные ошибки при расстановке пределов в двойном интеграле: ь чз(л) ~~~(х, у)((х((у=~((х ~ 1(х, у)((у. о а ч,(~) 1. Неправильно, если при некоторых значениях х()я=[а, Ь1 (ь (~) нижний предел во внутреннем интеграле ( ~(х, у)((у больше ЕвР) верхнего: Ч((х())>я~я(хо).
Эта ошибка возникает обычно при отсутствии нли неправильности чертежа. 2. Следует четко представлять, что постоянные, не зависящие от х границы с и (( во внутреннем интеграле, бывают только то- 41 гда, когда соответствующая (верхняя или нижняя) граница множества 0 представляет собой отрезок прямой, параллельной оси ОХ, т. е. одна или обе функции р(х), ч,(х) представляют собой константы, Если же эти линии не являются параллельными оси ОХ, то границы интегрирования во внутреннем интеграле обязательно представляют собой функции от х.
Является ошибкой, если вместо функций ~р,(х) и ~Г,(х) поставить их значения в концевых точках (ф,(а), ~рз(а) или чч(Ь), рз(Ь)), или шах ~рз(х), хе=[а, Ь] и пни ф,(х), х~[а, Ь], т. е. границы проекции Р на ось ОУ. 3. Неправильно, если границы внутреннего интеграла чнм )(х, у)йу зависят не только от х, но н от у нли границы ч,(м внешнего интеграла не являются постоянными. Если при этом провести все указанные операции, то в результате получится не число, а функция от х или от д, илн от обоих переменных х и у в зависимости от допущенной ошибки, 4. Если множество 0 симметрично относительно одной из координатных осей, но не дано условие четности функции Цх, у) относительно соответствующей переменной, то равенство ~~ ~(х, у)дхг(у=2 ~~ ~г(х, у)г)хг(у, о о,' где Р, часть множества Р, лежащая по одну сторону от соответствующей оси, вообще говоря, неверно.
5. Если множество Р проще представить не в виде объединения замыканий стандартных относительно той или иной координатной оси областей, а в виде разности таких замыканий: 0= 01(Рз, то, вообще говоря, нельзя вместо представления интеграла ~~)(х, у)дхг(у в виде суммы делать представление в виде разности ~ ( г' (х, р) г(хНу =.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
