И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Математический анализ в задачах и упражнениях (1111792), страница 3
Текст из файла (страница 3)
С(Хв ~ ((Х„Х ..., Хв, Х„„()С(Ха+1. и сь (вс) Заметим, что в условиях теоремы множество М жордвново ав(вс) (см. свойство 4 жордановых множеств, с. 8), интеграл 1 ) (х„ х,(х) Хь, ..., Х„, Ха+1)С(Х,+1 СущЕСтВуЕт дяя ВСЕХ т=(Х(,...,Х„)~ ~Р и является непрерывной функцией на Р, поэтому все входящие в формулировку теоремы интегралы существуют.
С л од с т в не Е Пусть жорданово множество Р=([а, Ь) 2с Х0,), где ))„с)()(х(=х) жорданово при любом х~)(а, ()), и функция р: 0- К зависит только от переменного х,: 1(х(, х2 - хв)=(а(х(). Тогда в силУ теоРемы фУбиии ь р(х) с(х=~ с(хс ) )'(хс)с(х с(хь... дх„. а и х ТаК КаК фуНКцИя ра(Х() НЕ ЗаВИСИт От ПЕРЕМЕННЫХ ИитЕГрнрОВаННЯ Х2, ХЬ~." Хв тО ~ ~а(Х))дХ ... С(Х„=)*(Х() ~ С(Х ... дХв=(а(Х,)~0,~. Ох Ох )2 Таким образом, в этом случае кратный интеграл сводится к од- нократному: ') 1(х) 1(Х = ') 1 (х)) 0„~1(х.
о а Следствие 2. Если на брусе 1'=П(аь Ь1) функция ( (х„..., х„) = г1 (Х1).... г„(ха! и г1 ~ С(аь Ь1) для всех 1', 1<1 "и, то „31 1=1 а, П р и м е р 1. Вычислить ~ (х, + х + х, + х,) ИХ1 г(хк дхк ~ха, м где М=(х=(х„х„хк, х,); 0 =х1»»1, 0(х3«1, 0»х (1, х1+х3 — хк а» ха»» х1 +ха+ ха) с: кс . Р е ш е н и е. 1 (Х1 + Х3 + Х3 ' 1 Ха) (Хк (Хк дхк ЙХ3 к,+к,+х =) г(х1 ахки ) (х,+х,+х,+Х3)дх„ хх Ькк — кк где 1 есть трехмерный промежуток: 0(Х1~~1, 0»Х3»»1, О~Х3~1. Поскольку х,+х,+х, (х„+х,+х, +х,) азха= — (х, + х,+х,).2х,+ к, ак,— хк + — ((Х1 + Х, + Хк)' — (Х, + Х,— Х3)'] = = 2хк (х1 + х3+ х3) + 2 (х, + х3) х3 = 4ха (хт+ х3) + 2х3, то «у = ~ [4Х3(хт+ Х3)+ 2ХД 1(Х1 Ыхк 11Х3 = ! ! ! =2 ~о(х! ~У(хо ~[2(ху+хо)хо+х~~! ~хо= о о о =2~!(ху~~(х,+х,) — ' — + — / о!х,= 2 3 „о о о ! ! ! —.2 ~дх! ~ ( ' '-+ — ) о(хо=- — ~ ~Зх!хо+ — х~+2хо !~ У(ху= о о о ! ! с 1 з ) = — ~ (Зх, + 7у2) !ух! =- — + 7,'б = 5,'3.
2 о П р и и е р. Вычислим о (х! —, хо+ . +Хо) уул! гухо... !ухи~ у где 7 = ((х!...., х„): О < х, < 1, 1 = ! < л). Решен не, Для фиксированных ! и у, 1<у<л, 1<у<и, множества/1, = УД(х! — — аь О«< а! <!) и !ого!= 7о! П (х =Ьу, 0 =. Ьу< 1) есть брусы объема 1 в пространствах Уг"-! и Я"-о, соответственно. Применяя следствие 1, получаем, что х,'у(х=~хоуу!ху(,У„,! = «хо!!ху=.1УЗ, 1<у<л, о ! 1 ! ! '! х,хуоух= ) ху !ух!) хуо(ху! I,,„у! = ~х,Ых!) хуоух =1(4, у~!. у' Отсюда получаем, что о о о †! л ~ ~~ х; ) Нх = ~ ~ х", о(х+ 2 ~!~~ ~ ' ~ хуху у(х = у=! у-.! у=уь!у л 2 1 л!л — 1) л и — л Зл+л 3 4 2 3 4 12 О п р е д е л е н и е. Биективное (взаимно однозначное) отображение р: Ру-Р„Ру=ур(Р) с:Ух", Рс:Ух'* называется регулярным отображением, или диффеоморфизмом множества Р, если !2~ ~Су(Р) и якобиан ур (определитель матрицы линейного отображения «р') не обращается в нуль на Р.
14 Свойства регулярного отображения Пусть ~р — регулярное отображение области В (т. е. связного открытого множества) на область йо Тогда 1. Если М=о, то внутренние точки множества М переходят во внутренние точки множества р(М), граничные точки М вЂ” в граничные Ч~(М); отсюда следует, что образ открытого множества — открытое множество, образ замкнутого — замкнутое. 2.
Если Лс:й и М вЂ” жорданово множество, то ср(М) — жорданово множество. 3. Отображение ср — ': Т1,-~11 регулярно. Первая теорема о замене переменных в кратном интеграле Пусть х — — х(1) — регулярное отображение области Т1,с:)Ь' на область б„г)1 . Пусть далее М вЂ” жорданово множество, Я«0„ ~ — якобиан отображения х(1) и )~Я(М). Тогда )(х(1))~ Я(х '(М)) и 11" дх= ) 1ох1Я.)й.
м х ~1м) Практически довольно часто возникает необходимость замены переменных при помощи отображения, которое не является регулярным на всей области йь В этом случае может быть применена следующая теорема. Вторая теорема о замене переменных в кратном интеграле Пусть х=х(Г) — отображение жорданова множества 0,с:Я в жорданово множество Тз„с:Я". Если существуют множества меры нуль 5,с:0„и 5~сдь такие, что: 1)0„~,5„и 0~'~5~ открытые множества; 2) отображение х: Т1;~5;+Пи'~5„регулярно; 3) якобиан Я' отображения х определен и ограничен на ))ь то для любой функции )~Я(0,.) функция (1 х) '~(1) вп Я(э ~) и З(г1х= .) ()ох). ~~~И.
о ос Отметим, что и в первой„и по второй теореме о замене переменных в кратном интеграле утверждается не только равенство исходного и преобразованного интегралов, но и существование преобразованного интеграла, в частности то, что множество изменения новых переменных жорданово. На практике часто существование обоих интегралов устанавливается непосредственно и вопрос идет только об их равенстве. В этом случае используется следующая Теорем а. Пусть й~ и .02 — открытые множества в )г", биективное отображение ф .
'Т1,— Вх, с~ енС'(О,). Если для множества мс:т1, оба интеграла ) 1'(~р(1))~~р'(1)) ж и ) 1(х)ых сущести Ф[м) вуют, то они равны. 15 Переход в кратном интеграле 1(с(х=-)1(х„хв, ..., Хь)<(х,,.. м л! ... <(Х„к переменным Г, ф,, <рт,...,<ри 1, связанным с персмсннымн х<, хт,...,х„формулами Х,.= ГСО5<Р,, Хв Г 51П <Р! ГО5 фт Х~! - ! ! 51П '(11 51П фт .
51П <рн — 2 соз <рч — 1 Г 51П <Р! 51П <Р! .. 5!П <Рл 2 51П фч- называется переходом к полярным (иногда называемыми сферическими) координатам, а переменные Г, <р<, <рм" <р, ! — полярными (сферическими) координатами в )<". Отображение ф: Т вЂ” ь)т" бруса Т=(1, <р<,...,<р„!1!.- О, 0«р,<к (1<!<и — 2), 0«рь !<2тт) в 7<!", задаваемое формулами (1), пе биективно, например, образом грани этого бруса Т,,:(», <р1, ...,<р„..„»=-О) является едпнственн — 2 ння точка 0(0, 0,...,0). Якобиан !р равен Г' ' ) 15(п" ' '<рб он ! —.-1 обраша<тся в нуль на множестве 7' ", (», <ро ..., ф„< .
'Г О, 0 «р; < л (1 < ! < п — 2)). Все это показывает, что для произвольного жорданова множества М отображение ф не удовлетворяет условиям первой теоремы о замене переменных в кратном интеграле. Для обоснования возможности перехода к полярным координатам в кратном интеграле отметим следу<ошие свойства отображения тр. 1) Множество Тв=Т' (г, <р„...,ф„,:Г>0, 0<ф<<я (1<!<и— — 2), 0<ф„!<2л) есть множество меры нуль.
2) Отображение !1:: (Т,Тв) — Кч — <р(Т") регулярно. 3) Для любого а>0 образом жорданова множества Т„= =-ТЦ(г, <р<, ...,<р, .1.! »<а) является открытое л<ордапово множест- ВО; Л1,.— ((ХЬ Х,„, .., Хн: ~ Х-,'.<ае~. 1=1 4) Множество ҄— Т'() (Г, <р„..., ф„< , '»<а) замкнуто, следоватсл!ьно, в силу непрерывности отображения ф множество ф(7',) замкнуто и в силу свойства 3 множество»у(, =.=2)(„'5,ф(Т,) открыто.
б) ф(Т*) есть множество меры нуль*. " Свойство 5 есть утверждение теоремы Серда; если с!с:<<ч — открытое множество; отображение 11(» !<", )аС<((2) и Е=(х, хя(2, <<с! Г(х) =01, зо )(Е) есть множество меры нуль. Но дли отображении ф вместо ссылки нв теорему Серда можно просто заметить, что <р(Т*) есть подмножество множестве Г =- ) ) Г;, где Е; =- (х,, хх, ..., х„: х; . 0) (гипсрилоскость в»< ), и тзк 1 ° . ! квк все Е, есть множества меры нуль, то Е н е<о подмножество ф(Т"1 есть Множестве меры нуль. 16 Рассмотрим теперь интеграл ) (Нх. Так как множество М жорданово, то найдется такой открытый шар М, =(х„х„..., х„, 1) (х), х е= М; ~х'.(аа~, что Мс:.М,. Пусть а(х)= ~ ' ' тогда ! 0, М М, ~=1 '1 гс(хлл ~:,дс(х.
Из свойств 1 — 5 отображения <р следует, что Й ма множество М, и отображение <р<Т,- М, удовлетворяют условиям второй теоремы о замене переменных в кратном интеграле. Сле- довательно, '11(х„х„..., хл)с(х<<(хз . <гхл= ~Д(х„к„..., кл)с(х<...с(хл= л-2 = ~ к'(г, ф„..., <Гл,)гл — ' П з1пл-' — '<Р; с(гс(ф!...
с(ф„ Г„ л — 2 =-- ) )*(г, <р„..., фл. !)гл ' (15(па-« 'р<с(гс(ф! <(ф„ М' 1 — 1 где С<'(г, фм ..., <рл !)= =Д(гсозф<, Гз!пф!созф2...,, Г51пф<... 51пфл — 1)1 ('(г, фм ..., <Рл !)=) (гсозфи гз1п<Р<соз<Р2, ..., гз!пфс, ..., гйп<Р— 1) и Млс:.Т есть прообраз М на множестве Т. Отметим, что все предыдущие рассуждения остаются в силе, если основным промежутком изменения угла фл, является не (О, 2л), а (а, а+2п1 при любом и, П р и м е р.
Вычислим ~ (х', +кз+хзз-1 х,') с(х,с(."айхзс(х„ м где М=(х, к=(х,, х„хгл х,): х',+х',+х,'+ха' 2ах„х,)0), (а)0). Р еще и и е. Множество М жорданово, так как часть шара в трехмерном пространстве: М,=-(х, х=(х,, х,, х,):222+хз2+х<з(а', хз)0) является жордановым множеством и М=(х, к=(х„х„х, х,): т=(хз, х„ха) ен М„ ' — «3 — Я~4а~*,<Л*,Л 4~ ' — — <4+~~ 1!! 1т Х1 = ГСО5ф1 Хз Гз!П ф1 СОзфз Хз= Г 5!П ф151П фз СОзфз~ Хз = Г 51П ф1 51П фз 5!П фз. Из Условий, наложенных на пеРеменные хь х„хм х4, УчитываЯ, что Г~.О, 0<ф!<и, Озфз(зз, получим условия для переменных г, р1, !рз, !р,: г<2асо51р1, сов ф,~О, созфз~О, Если основным промежутком изменения угла фз берется промежуток (О, 2л), то условие соз фз) 0 выполняется на двух отделенных друг от друга промежутках (О, и/2) и [Зп/2, 2л); если же взять в качестве основного промежутка изменения фз промежуток ~ — и, и), то условие сов фззьО выполняется на связном множестве — промежутке ( — и/2, и/2).
Это обстоятельство делает выкладки более удобными. Итак, в качестве прообраза множества М при переходе к полярным координатам берем множество М =((1' ф1~ !рз фз) 10~(ф1~~44/2* О~~фз~(п, — и/2 ( !р ( и/2, 0: г ( 2а соз ф1) ! и полччаем, что (1!, Х +Ха-1-Х4) «Х1«Х1! Лз«ХЛ =- ) Г !" 5!П ф15!П фа «Гй!Р1«фзйфЗ, Л! и Так как М ((Г !р1 !рз !рз) ' Гп (ф1 !Рм |рз) ~ — У О ( г ' Г (л!)) где / а((!!' фз фз): 0(1р1( и/2, 0(!рз<п, г(гч) - -г(!йо !з.„!Р„) =-2а соз!Р„ то в силу теоремы Фубини — и/2 ( !р, ( и/2), За саа З, г' 5!па ф, 5!и фзйгйфз«фзйфз = ~ 5!П' ф, 5!П ф, йфзйфзйфз ~ Г «Г = а = —.
~5!Пзфзсозфзз!Пфз«фг«фз«ф' 3 Применяя следствие 2 из теоремы !Эубини к брусу /, получаем окон- чательно: (х! "г х, + хз + хз!) «Х1«хзйхзйхз гв (см, свойства б и 4 жордановых множеств, с. 8), Сделаем в данном интеграле переход к полярным координатам: л!2 32ав Р = — 1Яп'ЧггсозвгР,вйРг') ЯпвР,ЙРз ) сйРа= 3 1 о о — л!а 32ав 5л бивав =- †. — - 2гс= 3 ' 2в 12 П р им е р. ))айдем объем и-мерного шара радиусом И: Ф"г=((х,,...,Ха):~' хз(яа), в=.г Р е ш си н е. Отрезок (х,:хз,«-.)сз) есть жорданово множество. двумерный шар (круг) 0~~~ = ((х„х,): хзг+хяз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
