И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Математический анализ в задачах и упражнениях (1111792), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Для этого найдем, на каких подынтервалах интервала ( — и/2, и/2) функция ппп(а(1+созф), Засозф) совпадает с функцией а(1+созф) и на каких — с функцией Засозф. Так как неравенство а(1+созф) < <За соз ф справедливо для — и/3<ф<п/3, а неравенство а(1+ +созф) >Засозф — для и/3<)ф) <п/2, то Б=Р)()РЗЦРЗ, где Р, = ((г, (р): — и/2 < ф < — и/3, О < г < За соз (р), Р,=((г, (р): — и/3<ф<п/3, 0<г<а(1+созф)), 0,=((г, (р): и/3<ф<п/2, 0<г<Засоз(р). Следовательно, а/3 Засогга ~~ /(х, у)((х((у= ) ((ф ~ /(гсозгр, гяпф)г(гг+ и — а/2 О Л/3 а((-).соач) + ~ ((ф ~ /(гсоз!р, гяпф)г((г+ — а/3 о гг/2 Засосе + 1 ((ф ~ /(гсозф, гяпф)гг(г. а/3 С другой стороны, из исходных неравенств получаем, что 0< <г<2а, соз ф>гпах(г/Зи, (г/а) — 1).
Опять разобъем интервал изменения г: (О, 2а) на такие подынтервалы, на которых функция щах(г/За, (г/а) — 1) совпадает с одной из функций г/За или г/а — 1. Получим, что 0=0!()02, где 0,=((г, (р): 0< г<За,,/2, созф) 2,'За), Р, = ((г, (р): За/2 'г - 2а, соз ф ) г/а — 1) и, следовательно, За/2 сгссоа(г/2а) ~~/(х, у)((х((у=- ~ (/г ( /(гсоз!р, гяпф)г((ф+ и о — агссоа(г/За) 2а агссоа(г/а в !) + ~ г(г ') /(гсоз!р, гя(п(р) г((ф. Заа — агссог(г/а-!) На чертеже все эти рассуждения наглядны. Луч ф=фо пересекает Р при — и/2<фо<п/2.
Если и/3<(фо)<п/2, то этот луч пересекается с й по отрезку, начало которого в начале координат, а конец — на окружности г=Засоз«р, т, е. 0<г<Засоз«р, если же — и/3««ра<п/3, то по отрезку, начало которого в начале координат, а конец в на кардиоиде г=а(1+сов «р), т.
е. 0<г<а(1+сов «р). С другой стороны, минимальное расстояние точек (г, «р) енх> от начала координат равно нулю, максимальное — 2а, т. е. 0< (г 2а; окружность г=С пересекается с 5 по дуге, концы которой при 0<С<За/2 лежат на окружности г=За соз «р, т. е. — агссов(г/За) <«р<агссоз(г/За), а при За/2<С<2а — по дуге, концы которой лежат на кардиоиде г=а(1+сов «р), т. е. — агссоз(г/а — 1) =«р агссоз(г/а — 1).
П р и м е р. Перейдем к полярным координатам и расставим пределы интегрирования в двойном интеграле )') /(х, у)«1хду, где о область 0 ограничена кривыми г=аяп(«р/6), г=а«р/Зп, 0 <«р(Зп, а)0, и /енС(Т>) (декартова и полярная системы совмещены). Рис. !9 Р е ш е н и е. Сделаем черте>к области /> (см. рис. 19). По чертежу видно, что наиболее простые условия иа координаты (г, «р) точек области /> выглядят ток: 0<«!<За, а«р/Зг«<г<аз!п(«р/6). Но такая запись формально нарушает требование, чтобы при переходе к полярным координатам длина интервала изменения угла Ч не превосходила 2п. Это требование связано с тем, чтобы нарушение биекции при переходе к полярным коор пп«и>зм иро.
исходило си««ое большее на множестве об'«",:«ъ'«, «> ««! ! .и в данн «случае, как хорошо види «из черти !.и. />« =-((г, «р): 0<«р <Зл, а«р.'3>«<г<аз1п(Ч>«6))-- б=((х, у): х=гсоз«р, у=гз(п р, (г, «р)«-=О«) как раз биективно. При этом все условия первой теоремы о замене переменных в кратном интеграле выполнены н, следовательно, Зл ап)п(ч/6) ) ') /(х, у)йхйу=~ йф ') /(гсозф, гз(пф)гйг.
о' 6 аа/Зл Можно обосновать это равенство и чисто аналитически. Для этого представим множество Р как объединение В=Р)()Р„где В,=((г, ф): 0(ф(2п, аф/Зп:а г~аз(п((р/6)), Р,=((г, (р): 2п<(рп Зп, аф/За(г<аз(п((р/6)). Для каждого нз этих множеств переход к полярной системе коор- динат уже не имеет формальных препятствий, следовательно, ~ ~ / (х„у) йх йу = ~ ~ / (х, у) йх йу+ ~ ~ / (х, у) йх йу = о о.' 2л ав(п[Ч/6) =~ йр ) /(гсозф, гз(пф)гйг+ ач/Зл Зл Юп(6/6) + ~ йр ~ /(гсоз(р, гз)пф)гйг, 2л ач/Зл так как внутренние интегралы в первом и втором слагаемом одинаковы, то, пользуясь аддитивностью одномерного интеграла, получаем, что Зл ап)п( р/6) ~~/(х, у)йхйу= ~ йф ~ /(гсоз(р, гз)пф)гйг.
'и 6 аа/Зл Обобщенными полярными координатами называется пара (г, ф), связанная с координатами х, у формулами х=агсоз"ф, у= =Ьгз!п ф. Прн этом г=;О, а ф пробегает либо промежуток (О, 2п| ([ — и, и)), либо промежуток (О, и/2) в зависимости от значения постоянной а так, чтобы функции соз"ф и з)паф имели смысл и оба равенства з(п'фа=э)п"ф„ соз"фа ††'ф, одновременно выполнялись только при (р =0 и ф) = 2п (фа — — — и, ф) =и) или )ра — — 0 и )р) —— и/2.
Переход к обобщенным полярным координатам делается в основном тогда, когда уравнение кривой, ограничивающей область интегрирования Р, в новых переменных при соответствующем выборе постоянных о, Ь, а становится существенно более простым. рак квь обобшснныс полярные координаты не имеют наглядного геометрического смысла, то границы их изменения для точек (х, у) нз данного множества Р определяются аналитическим путем. Если при переходе к полярным координатам мы 53 оставляли обозначение множества Р без изменения, то теперь, как и в общем случае замены переменных, будем соответствующее множество значений (г, ф) обозначать через Рь Якобиан при переходе к обобщенным полярным координатам равен аале/ созе-1 ф з!па-1 ф.
П р и м е р. Вычислим ,),)( 2 5) о где .Р— область, лежащая в первом квадранте (хъО, у~О) и ограниченная осями координат и кривой ( — + — ) = ( — +у ). (,2 5) (9 Решен ие. Положим х=2/созоф, у=5/япзф, тогда уравие- 4 ние заданной кривой примет вид г'= — соз'ф+25яп'ф. Функ- 9 ции соззф и япзф имеют смысл при любом ф~
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
