И.Л. Кнунянц - Химическая энциклопедия, том 2 (1110088), страница 231
Текст из файла (страница 231)
„4! 4 Волновые ф-ции Ч', описывающие состояния системы, являются решениями ур-н и я Шредингера, или волно- вого ур-ния д гй-Ч' = //ЯР, ду где /)-оператор полной энергии системы, наз операто- ром Гамильтона или гамильтонианом, он полу- чается из классич ф-ции Гамильтона по правилам, указан- нымвп 3 5 У каждой элементарной частипы м б собсгв момент кол-ва движения, не связанный с перемещением ее как целого Этот момент наз с пином или собств моментом коп-вь движения Спин измеряется в единицах постоянной Планка и равен уй где з-характерное для каждого виль частиц целое или полуцелое неотрицат число, наз спино- вым квантовым числом или просто снииом Проекция спина на любое фиксир направление в пространстве может при- нимать значения (в единицах Ь) — у, — у 4 1,, + у Напр, спин электрона, протона и нейтрона равен '/,, спин к-меэона-О, спин ядра атома дейтерия-! Т обр, частица или система из песк частиц может находиться в разл квантовых состояниях, кажлому из к рых отвечает свое значение спина и его проекции Это обстоя- тельство обычно отражается в том, что для каждой чьстицы вводится помимо трех пространств переменных дополнит четвертая переменная а, от к-рой зависят и спиновые опера- торы Волновая ф-ция системы с учетом спина м б записана в виде Ч'(гг о„г,,п„,г,о„,г) ж Ч'(1,2,,02,1) Системы тождеств частиц (одной и той же массы, заряла и т д ) с целочисленным спином подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна, системы частиц с полуцелым спиномстатистике Ферми-Дирака (см Статистическая термодинамика) В свою очередь, симметрия волновой ф-ции системы тождеств частиц полностью определяется типом статистики, к-рой подчиняются частицы для частиц с целым спииом волновая ф-ция симметрична, т е не меняется при перестановке индексов двух тождеств.
частиц; для частиц с 710 ЗЫ КВАНтОвАЯ полуцелым олином волновая ф-ция антнсимметрнчна, т.е. меняет знак при любой такой перестановке (В. Паули, 1940). Перестановка индексов частиц означает переход к описанию того же состояния системы прн лр. порялке нумерации частиц. Состояния квантовой системы. описываемые волновыми ф-циями, паз. чистыми состояниями. Для них имеется максимально полная информация о квантовой системе. Однако в К.м. возможно описание н таких состояний, с к-рыми нельзя сопоставить определенную волновую ф-цию, а можно только указать набор вероятностей) с;) г появления при измерении к.-л. физ.
величины А состояний, в к-рых эта величина принимает определенные значения. Для таких состояний нельзя построить волновую ф-цию в виде линейной комбинации волновых ф-ций Ф, чистых состояний с коэффициентами г,. поскольку известны лишь квадраты модуля этих коэффициентов, но неизвестны их фазы. Такие состояния наз.
с м е ша н н ы м н. Они м. б. охарактеризованы нек-рой операторной ф-цией, наз. матрицей плотности и позволяющей вычислять средние значения и вероятности разл, значений физ. величин в таком состоянии. Матрица плотности р зависит от тех переменных, к-рые определяют квантовую систему, и от времени; она удовлетворяет к в а н то в о му у р-н и ю Л и у вилл я: ий (др/дг) Йр — ргг. Урчнве Шредингера я мат.
аппарат К.м. Ур-ние Шредингера является линейным дифференциальным и-что очень важно-однородным ур-пнем. Это означает, что если Ч', и Ч'г — к.-л. лва решения этого ур-ния, то и любая нх линейная комбинация с, Ф, ч- с, Ч', с постоянными коэф, с, и сз будет также решенйем ур-ния Шредингера (т. наз. прйнцип супе рпознции). Если гамильтониан Й не зависит в явном виде от времени (напр., для своб. молекулы или для молекулы, находящейся во внеш.
стационарном поле), ур-иие Шредингера попускает разделение пространственных переменных, определяющих положения частиц, и времени. Волновая ф-цня состояния с энергией Е„(энергетич. уровень системы) принимает вид: Е» Ч', Ф,(г„п,; ...; г„,аи)ехр( — ( — г), гле ф-ция Ф, удовлетворяет ур-нию ЙФ„ = Е„Ф„, к-рое наз. с т а ц и о н а р н ы м у р-н и е м Ш р е д и н г е р а. Вероятностная интерпретация квалрата модуля волновой ф-цнн, сформулированная в и.
1 осн, постулатов К, м. для состояний системы с дискретным спектром уровней энергии, требует выполнения условия нормировки ) ) Ч') ' Вт = 1. Нормировка волновой ф.ции на единицу возможна, если соответствующий интеграл по всему конфигурац. пространству сходится, что имеет место всегда, когда модуль волновой ф-ции лостаточно быстро убывает вне нек-рой конечной области (финитное движение).
В этом случае энергетич. спектр, т.е. множество уровней энергии, оказывается дискретным, а волновые ф-цнн, принадлежащие разл. уровням энергии (в общем сз)чае — разл. собств. значениям эрмнтова оператора), оказываются ортогоиальнымн: (Ч'„вЧ'„г(т = 6, где Ь„„= 1 при т = л и Ь„„= 0 при т ~ л. В противном случае, когда частицы ухолят на сколь угодно большое расстояние, напр., от места нх столкновения (ннфиннтное движение), спектр собств. значений непрерывен, а нормировка и ортогональность волновых ф-цнй таких состояний формулируется с помощью Ь-ф-цин. Напр, для состояний частицы с определенными импульсамн р' и р Ч~яб Ч~ядт = 5(р — р).
Волновая ф-ция, описывающая к..л. состояние системы, опрелеляется неоднозначно, но все такие описания эквивалентны, т, е. приводят к одинаковым наблюдаемым следствиям. Так, любую волновую ф-цию можно умножить на произвольный фазовый множитель ехр((а), где а-действительная постоющая, не меняя средних значений любых операторов. Далее, любые преобразования систем отсчета, 719 оставляюгние инвариантным ур-нне Шредингера, преобразуют волновую ф-цию, но все получаемые при этом ее представления будут зквивалентнымн.
И, наконец, волновая ф-ция м.б. задана в разл. формах при разл. представлениях пространства, на к-ром определяются волновые ф-ции; так, волновая ф-цня, заданная как ф-ция пространств. координат, т.е. в конфигурац. (или координатном) представлении,м.б. разложена в интеграл Фурье, так что коэффициенты этого разложепив (т.е. ее фурье-образ) будут представлять волновую ф-цию того же состояния в импульсном прелставленни Мат. аппарат К.м.
определяется прехсде всего тем, что наблюдаемые физ, величины представлюотся эрмитовыми операторами. Разл. соотношения между наблюдаемыми величинами должны сказываться на тех мат. соотношениях, к-рым под шияются операторы. Если, напр., для рассматриваемого состояния системы волновая ф-ция является собст. ф-цней оператора А нек-рой наблюдаемой величины А с собств. значением а, то в этом состоянии измерение величины А будет приводить к одному и тому же значению а. Измерение др.
физ. величин Рв' будет также приводить к определенным значениям гхп только в том случае, если эти величины имеют в рассматриваемом состоянии определенные значения. Это возможно, если отвечающие этим величинам операторы Рш коммутируют с оператором А, т. е. если выполняется соотношение: г" вг.ч — Зри' = О. Если же нек-рый оператор В не коммутнрует с А, так что 3.4 — А В вв О, то не может существовать состояний системы, для к-рых А и В имеют одновременно определенные значения. В частности, не существует состояний, в к-рых координата и импульс частицы имели бы определенные значения, т. к.
имеют место соотношения: Я В, — )йвЯз = )йб,.„, где индексы г' и Я принимают значения (, 2, 3 и относятся к нумерации переменных: х, ж х, хг ту и хз ж г. Из приведенных коммутационных соотношения для коорлинат и импульсов следует, что в любом состоянии произведение среднеквадратичных разбросов координат Ага и импульсоввбж' для каждой из частиц удовлетворяет соотношению: /ЕР дну>(яй)э. Это неравенство наз. соотношением неон репеленн остей для координат и импульсов. Следует подчеркнуть, что в К.м. подобного типа соотношение справедливо также для энергии системы и времени: гзЕ бг » й, где гзЕ-разброс в измеряемых значениях энергии, обусловленный взаимод. мехсду измерит, прибором и исследуемой системой, Лг-длительность процесса измерения. Это же соотношение может иметь и др.
смысл: в качестве ЬЕ может выступать неопределенность значения энергии нестационарного состояния замкнутой системы, тогда Ьг будет тем характерным для данного состояния временем, за к-рос существенно меняются средние значения физ. величин. Соотношения неопределенностей для координат и импульсов, для энергии и времени имеют важное значение для понимания оси. положений К.
м. и нх интерпретации. Поэтому эти соотношения часто наз. принципом неопределенности. Совокупность волновых ф-цнй в заданном представлении (конфнгурационном или импульсном), описывающих стационарные квантовые состояния системы из )9 частиц, наз. полной, если любая др. волновая ф.ция этой системы м.б. представлена в виде линейной комбинации или раца, состоящего из таких ф-ций. Волновые ф-ции полной системы являются совместными собств. ф-циями Згх) (без учета спина) илн 4(9 (при учете спина) эрмитовых операторов, к-рые коммутируют между собой. Один из этих операторов-гамильтониан. Если одному и тому же уровню энергии системы отвечает песк. состояний, различающихся собств.
значениями др. операторов, то такие уровни наз. в ы рождее ни ы м н (см. Вырождение эигргвтичвсиих уровней). Собств. значения ряда операторов либо пропорциональны целым числам, либо выражаются через целые числа. Такие числа наз. квантовыми числами; они часто служат для идентификации состояний квантовомеханич. системы. В ряде случаев набор квантовых чисел позволяет полностью задать состоание системы. Напр., для указашш состоянив 720 атома водорода достаточно четырех квантовых чисел: главное квантовое число л = 1,2, определяет спектр возможных энергий с„ = — Дгглз, где )2- постоянная Ридберга, равная 13,6 эВ (109737 см '); азимутальное (или орбитальное) квантовое число 1 = 0,1, , н — 1 (при заданном и) определяет квадрат орбитального ())лового)момента й')Ц + 1); маги, квантовое число т = — б — 1( †) + 1,..., ! определяет проекцию йт орбитального момента на заданнУю осйй спиновое квантовое число 3 ( = ')з или — ')з) определяет проекцию спина (Ь)2 ю)и -й)2) на ту же ось.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
