X.-Физическая-кинетика (1109687), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Первый член в фигурных скобках отвечает столкновениям рг, рз — ~ р'„рз~ с поглощением кванта, а второй член - - столкновениям р', р! -э р7! рэ с испусканием кванта. Функция И', связанная с вероятностью ерадиационных» столкновений, определяется свойствами волны нулевого звука:, саму эту волну можно рассматривать как распространяющуюся при Т = 0 (см. 1Х, 8 4), и тогда И' пс зависит от температуры ).
В знании функции И'! однако, нет необходимости, если поставить себе целью лишь выражение коэффициента поглощения через его значение в предельном случае 6оз « Т. Для этого заме- ) Испускание же (или поглощение) «кванта нулевого звука» одной квази- частицей невозможно, поскольку скорость нулевого звука превышает фермиевску!о скорость ег. в) Подчеркнем во избежание недоразумений что функция И' не совпадает с функцией ш в интеграле столкновений (74.5). 1'Л ЧШ КВАН'ГОВЬ1Е 1КВДКОС'Гя тим1 что в интеграле (76.6) существенны значения энергий квазичастиц лишь в области размытости распределения Ферми.
В этой области сильно меняются в подынтегральном выражении лишь те множители, которые содержат функции п(е). Кроме того, следует учесть, что угловые интегралы в (76.6) практически не меняются при переходе от области 111е « Т к области 17иг >) Т. Ввиду этого будет достаточно вычислить интеграл ,7 = 1711П2(1 — 711)(1 — П2) — П1П2(1 — 711)(1 — П2)) Х х д(е1 + е2 — е1 — е2 — Бы) е(е1 71е2 7(е1~ е(е2, (76.7) взятый только по энергиям. Коэффициент же пропорциональности между у и,7 зависит лишь от иг.
но не от Т, так что его можно будет определить по предельному значению 7 при 11аг) Т « 1. В интеграле (76.7) можно, конечно, пренебречь малым искажением функции распределения в волне, т. е. положить п(е) = [е(е ")1 + Ц Введя обозначения получим 2 Г (1 — е )б(21 -'е Вг — 21 — Вг — Я 421 7(гг бег 7(ег ,7=Т ~ (е" 1 + Ц (е" г -Ь Ц(1 + е *1) (1 + е '-') Ввиду быстрой сходимости интеграла область интегрирования может быть распространена от — 1ю до ею.
Для проведения интег7гирования переходим к переменным у1, У2, и1, и2, ГДЕ У = Х вЂ” Х, и = Ег. ИНтЕГРИРОВаНИЕ ПО и1 И и2 производится элементарно и дает Т 1,7=(1 — е ) ,— 3 — Е / / / б(уг + уг + б) 77иг Ниг 11уг 77уг (иг + 1)(иг + 1Яи1 -е еп)(иг -Ь егг) 1 — а ГГ угугб(уг -~-уг+б)7(у17(уг = (1 — е Д (1 — е11 )(1 — ег ) = 1 111 '. 1) („, —, „,', ) гг 389 8 77 кинвтичВскОВ РРЛВНВние для ВОВК жидкости Для вычисления получившейся разности двух расходящихся ин- тегралов вводим предварительно конечный нижний предел — Л и пишем з У(с-Ру) в кЬ с) в / ее — 1 / е8 — 1 -л л„ ее — Л = 2с л н 71у 1 у(у — '4) 71у ее — 1 е8 — 1 -л — л-~-4 Имея в виду перейти к пределу Л вЂ” 1 со, во втором из стоящих здесь интегралов пренебрегаем е" в знаменателе.
Первый же пе- реписываем следующим образом: ж ее о к 1к к4к В4к — л о -л о =-'. 1(,"„-')"=-. '1,",'", -'; -л о Произведя сокращения и переходя гюсле этого к пределу Л -+ сс, получим окончательно ,7= ' 4ТВ (1+ «'), Коэффициент пропорциональности между 7 и 7 определяет- ся, как уже указано, требованием, чтобы при с « 1 было у = аТ из (76А). Таким образом, находим ~Р 8- ( — ) ~ .
(78,8) В частности, в пределе болыпих частот, бее >) Т, отсюда полу- В (~ )2 (76.9) 4К8 чем и устанавливается связь между коэффициенталии в (76.4) и (76.5). 9 77. Кинетическое уравнение для квазичастиц в бозе-жидкости Если длина пробега квазичастиц в сверхтекучей бозе-жидкости мала по сравнению с характерными размерами задачи,. д вижение жидкости описывается уравнениями двухскоростной 390 Г!! ОП! кваптов1як жидкосгги гидродинамики Ландау (сы. Ъ'1, гл. Х'г'1). Диссипативные члены в этих уравнениях содержат несколько кинетических коэффициентов (коэффициент теплопроводности и четыре коэффициента вязкости).
Вычисление этих коэффициентов требует детального рассмотрения различных процессов рассеяния, многообразие которых связано с существованием двух типов квазичастиц фононов и ротонов. В реальном жидком гелии ситуация усложняется еще и неустойчивостью начального участка фопонного спектра. Эти вопросы здесь рассматриваться не будут. Длины свободного пробега квазичастиц возрастают с понижением температуры (уже хотя бы из-за уменьшения плотности числа квазичастиц). Поэтому при достаточно низких температурах легко возникает существенная неравновесность системы квазичастиц.
В этих условиях уравнения двухскоростной гидродинамики неприменимы. Более того, вообще теряют смысл понятия температуры и нормальной скорости зг„- их можно определить только по равновесному распределению квазичастиц; вместе с кп теряет смысл и разделение плотности жидкости на сверхтекучую и нормальную части. Полная же плотность р и сверхтекучая скорость и, сохраняют свой смысл, являясь в этом аспекте по существу механическими переменными.
Полная система уравнений, описывающих сверхтекучую жидкость, должна состоять теперь из кинетического уравнения для функции распределения квазичастиц п(1, г, р), уравнения непрорывности для плотности р и уравнения для скорости к,. Кинетическое уравнение имеет обычный вид !) (77.1) э! а. о~ а~ а~ где г -- энергия квазичастицы, зависящая как от параметра от скорости сверхтекучего движения к,; обозначение е сохраняем для энергии квазичастицы в покоящейся жидкости.
Связь между к и Г выясняется следующими рассуждениями. По определению! е(р) есть закон дисперсии квазичастиц в системе отсчета Ко, в которой и, = О. Иными словами, при наличии всего одной квазичастицы энергия жидкости (отсчг!тыпаомая от энергии при Т = 0) есть г(р), а ее импульс совпадает с импульсом квазичастицы р. Совершим галилеевское преобразование в неподвижную систему отсчета К, в котором сверхтекучая скорость равна ч,. В этой системе энергия и импульс массы М жидкости есть Е = е(р) + рк,.
+ ', Р = р + Ми,. (77.2) Разумеется, предполагается вьпюлнеииым уиговие квазиклассичиости — медленного измеиеция всех величии па расстояниях порядка величины длины волны квазичастицы 6/р. 1 77 кинет'ичВсков углвпвник для ьозв жидкости 391 Отсюда видно, что в жидкости, совершающей сверхтекучее дви- жение, энергия квазичастицы есть е(р) = е(р) +рч, (77. 3) (ср, рассуждения прн выводе условия сверхтекучести в 1Х, 2 23). Таким образом, фигурирующие в кинетическом уравнении производные 1) де де — = — +Уз, др др — = — + — (ръ„) = — тур+ (р'17)ъгв.
дг дг дг др (77.4) Во втором равенстве учтено, что энергия е может зависеть от координат за счет переменной плотности р, от которой е зависит как от параметра. Учтено также (при преобразовании производ- ной от ръгв), что сверхтекучее движение всегда потенциально, (77. 5) ° 1У, =О. Уравнение непрерывности для плотности есть — Р + 111У 1 = О, др д7 (77. 6) где 1, по определению, есть импульс единицы объема жидкости. Выражение для 1 можно найти прямо из второй формулы (77.2), просуммировав ее по всем квазичастицам в этом обьеме: (77. 7) 1 = рчв + (р). Здесь и ниже в этом параграфе угловые скобки означают инте- грирование по импульсному распределению: ИЗ з' Остается найти уравнение для сверхтекучей скорости.
Для этого исходим из закона сохранения илгпульса, выражаемого уравнением дг- + дп-д О дг дхр1 где 1 дается формулой (77.7), а Под тензор потока импульса. (77.8) ') Строго говоря, формула (77.2) выведена для однородного сверхтекучего потока, у„ = сопка В неоднородном потоке в энергии могли бы появиться еще и члены, содержащие пространственные производные от ъо В предположении медленности изменения у„однако, эти члены привели бы в кинетическом уравнении к поправкам высших порядков малости. 392 квл!гговые ркидкос'ги !'л чш Пусть П ч значение этого тензора в системе отсчета Ко. (о) Совершив преобразование к системе К, получим ') П р =П, +рпропррч оа г +о' го (о) (о) рд (о> (о) = П„Э + рироорр+ Пр„(рр) + Про(рп) (77.9) (1(о) = (р) илшульс единицы объема жидкости в системе Ко).
Этим определяется зависимость тензора По)з от скорости ха. Для дальнейшего преобразования уравнения (77.8) вернемся к кинетическому уравнению (77.1), умножим его на р и проинтегрируем по (1эр,((2л6)з. Ввиду сохранения суммарного импульса квазичастиц при столкновениях, правая часть уравнения обратится в нуль. Интеграл же в левой части уравнения преобразуем точно так, как это делалось в 9 74 (при выводе (74.10)), и находим — (р„) .,'- — (р„— ) .,'- ( — ) = 0. (77.10) Подставим теперь в (77.8) выражения (77.7) и (77.9) для ! и По,з и затем исключим др/д1 и д(р))7д1 с помощью (77.6) и (77.10). В результате получим дп„д ге 1дП в 1 де др 1 д (7 де ро— дл дт 2 р дхз р др дх р дхз л дрз )( Из ушювия го1чр = 0 (учтенного уже и во втором члене) ш)едует, что сумма трех последних членов должна быть градиентом некоторой функции. Кроме того, тензор П„д в отсутствие квази(о> частиц должен быть равен Роб д, где Ро(р) .
давление жидкости при Т = О. Из этих требований однозначно следует вид тензора П<о>. П р = р — + б )) Ро + р (77.11) Уравнение для чр принимает теперь вид ре (77.12) ') Формулу галилеевского преобразования для П д легко найти, рассмотрев классическую систему частиц, для которой п,е = 1 р ее = 2; )пг ев, где суммирование производится по всем частицам в единице объема. 1 77 кипьтичвокос углвпвнис для ьози жидкости 393 п(р) = (ехр ' " — 11 (77.16) Путем усреднения полученных выше уравнений по этому рас- пределению можно получить систему уравнений двухскоростной гидродинамики (в этом приближении — без диссипативных чле- нов); мы па этом здесь останавливаться не будем. Задача Определить коэффициент пот логдения звука в бозе-жидкости при частотак 1о» и, где и — частота столкновений квазичастиц.
Температура предполагается настолько низкой, что практически все квазичастицы являются фононами (Л.Ф. Андреев, И.М. Халатников, 1963). где ро химический потенциал жидкости (при Т = 0), связанный с давлением РО термодинамическим соотношением 11ре = = тс1Ро/р (т, "масса частицы жидкости, гп)р - - молекулярный объем). Уравнения (77.1), (77.6), (77.12) составляют полную систему уравнений, описывающих сверхтекучую жидкость в неравновесном состоянии (гз'.М. Хпу1ап1н!!кон, 1952). Остановив!ся еще, для полноты, на законе сохранения энергии. Он выражается уравнением вида — + г11чс1 = О, дЕ (77.13) дг где с1 -- плотность потока энергии жидкости.
Согласно (77.2), Е = Е(р) + (е) + ч,(р) + — ', (77.14) где Ео(р) энергия при Т = О, связанная с химическим потенциалом соотношением с1Ео = 7зо 11р71т. Дифференцируя выражение (77.14) по времени и используя известные уже уравненигг для всех величин, можно найти плотность потока энергии.
Опустив вычисления, приведем окончательный результат с1 = ((р) + рч,) — + — + — ' + (е + рч,): + ч, (77.15) Равновесная функция распределения квазичастиц в системе отсчета, в которой егаз квазичастицв как целое покоится (т, е. нормальная скорость ч„= 0), есть обы шое распределение Бозе с энергией квазичастицы е, даваемой выражением (77.3). Распределение же в системе отсчета,. в которой нормальная скорость оз.лична от нуля, получается заменой е на à — рчв. Таким обра:зом, равновесное распределение квазичастиц при наличии обоих движений есть 394 >(Влн'говык >кидкосггси гл >>ш дп /де Дсч — ь>) бг> = — ъ 1с ~ — др + рч,), д- ~д, двр ь>бр — 1св,р = / 1србп >2хк)з' ь>ч, — 1спо — — — 1с~ 1 и — бр 4- — дп, р / 1 др> с)р ~ 12хй)3 (2) (3) Здесь использованы термодинамические соотношения да с1Ро ив = — д~>, ш р р где по — скорость звука при Т = 0; индекс 0 у р и и здесь и ниже опускаем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
