X.-Физическая-кинетика (1109687), страница 78
Текст из файла (страница 78)
е. оставлЯет четнУю фУнкцию четной и нечетную -- нечетной. Действительно, в смысле своего воздействия на, функцию от ц оператор е, „„ имеет вид Я 2(„~6(р(0)) ( К(е5А)(рй) — р(йу е1П 406 металлы гл ~х откуда непосредственно следует указанное выше свойство оператора. Это свойство будет использовано в 8 80, 82. Интегралы столкновений 179.9), 179.10) обращаются тождественно в нуль функциями 179.13) а2 = сопв$ в,,"С = сопв$ ь2 1с одинаковыми коэффициентами сопвЦ. Это «паразитное» решение кинетического уравнения соответствует 1как и решение 167.18) в фоноп-фононном уравнении) изменению температуры системы на малую постоянную величину.
Но интегралы 179.9 10) обращаются в нуль также и постоянной 179.14) ~р = сопвФ 1/2 и ив( — ) 179.15) Отсюда дебаевская температура Ьи у си* 11!2 О ймпах вр ~ ) М (79.16) В оператор же электрон-фононного взаимодействия масса М входит только через операторы смещения атомов Оа (66.2); никакой другой малости по 1/М это взаимодействие пе содержит .
его энергия становится вр, когда Га сь Матричные элементы операторов Оа, а с ними и матричные элементы оператора электрон-фононного взаимодействия, сз(Мь2) 1~2схзМ 114 (при заданном квазиимпульсе к частота ы ~йсазМ ~ ). Вероятность — 1,12 же рассеяния определяется квадратом матричного элемента. Поэтому функция 2п в интеграле столкновений пропорциональна при С = О. Это решение связано с постоянством полного числа электронов (в отличие от полного числа фопонов); с формальной точки зрения оно отвечает изменению химического потенциала электронов на малую постоянную величину.
Для дальнейших количественных оценок напомним, что порядки величины параметров электронного спектра в металле выражаются лишь через постоянную решетки д и эффективную массу электрона т*; так, фермиевский импульс (обычныс единицы) рр Ь(с1, скорость ин рр(т* Ц(т*Й), энергия вр пррр й~/(т*д~). Параметры фоноппого спектра н электрон-фононного взаимодействия содержат еще и массу атомов М. Плотность вещества р саз М, а скорость звука исазр 1РасхзМ 1~2; дополнив до нужной размерности с помощью величин й, д, т' 1что можно сделать лишь одним способом), получим оценку 407 1 ав МВ'ГАЛЛЫ ПРИ ИЫСОКИХ ТВМПВРЛТУРЛХ М '70, или, дополнив до требуемой размерности, -О Р10.
(79.17) Эту оценку надо изменить в случае, если речь идет об испускании или поглощении длинноволнового акустического фонона. Тот факт, что в таком случае ш пропорциональна Й, означает, что в оценку надо ввести дополнительный множитель Й/Й, Ы: (79.18) ш ОпкЫ' . 8 80. Кинетические коэффициенты металла. Высокие температуры При высоких температурах, Т» О, в кристалле возбуждены фононы со всеми возможными квазиимпульсами, вплоть до максимальных, совпадающих по порядку величины с фермиевским импульсом электронов: Й л, рр 1/д. По самому определению дебаевской температуры, максимальная энергия фононов шп, О и, таким образом, для всех вообще фопопов ш « Т. Таким образом., в рассматриваемых условиях энергии фононов малы по сравнению с шириной области размытости фермиевского распределения электронов.
Это позволяет приближенно рассматривать непускание или поглощение фонона как упругое рассеяние электрона. Углы же рассеяния отнюдь не малы, г10- скольку. квазиимпульсы электронов и фононов в рассматриваемых условиях одинакового порядка величины. При высоких температурах, когда числа заполнения фононных состояний велики, установление равновесия в каждом элементе обьема фононного газа (фонон-фононная релаксация) происходит очень быстро. По этой причине при рассмотрении электро- и теплопроводности металла можно считать фононную функцию распределения равновесной, т. е.
положить в интегралах столкновений г = 0 (к количественной оценке у мы вернемся еще в конце параграфа). Другими словами, достаточно рассматривать кинетическое уравнение лишь для электронов. Сразу же отметим, что в приближении, предполагающем упругость рассеяния электронов, остаются в силе полученные в 8 78 результаты, основанные лишь на этом предположении. В том числе остается справедливым закон Видсмана — Франца (78.13), определяющий отношение и/Рг. Для определения же температурной зависимости ка,ждого из коэффициентов и и лг по отдельности надо более детально рассмотреть электрон-фонониый интеграл столкновений (79.9). В рассматриваемых условиях этот интеграл сильно упрощается.
Ввиду малости энергии фонона ш = ~(е' — е), можно раз- 408 металлы гл ~х пожить разность по — по по ее степеням l ы. ап. но — па = ~ оэ —, де Поеше этого в аргументах д-функций можно уже положить оз = 0; тогда дээ ди 1'ь 1е ай 6 ) = 2 ( ш — ' — "о(е' — ем~ ' —, ) —,. дш де (2х) з При ео << Т функция распределения фононов Хе — Т)оэ, так что дЛ9)дсо — — Т7оэе. ПРоизводнаЯ же дно(де — 17Т. ИнтегРал определяется областью значений й й,ва„в которой оэ О.
С учетом Б-функций интегрирование по сГ Й вносит в оценку интегРала множитель )сш 7'етл ~е ЙМ) е,р О ог Т Используя оценку (79.17), находим отсюда 1е р~Я~р) — ээ — Тбуи (80.1) Это значит, что частота электрон-фононных столкновений перь Т (7'7'6 в обычных единицах), длина пробега ) ор/7" и из (78.16) находим для электропроводности (обычные единицы) ): (80.2) Таким образом, эчектропроводность металла при Т» О обратно прогюрциональна температуре.
Из закона Видемана Франца следует тогда, что коэффициент теплопроводпости постоянен; Хб (80.3) ') Учет ьэ в этой разности не противоречит принятому приближению— упругости рассеяния электронов. Он понадобился ввиду того,что при приведении интеграла столкновений к виду (79.9) было использовано равенство (79.8),правая часть которого становится при е = е'неопределенной. ) Заметим, что квантовая неопределенность энергии электронов, йи, рь Т, оказывается порядка величины ширины области размытия их распределения. Это обстоятельство, однако, не нарушает применимости полученных результатов по причине, аналогичной той, которая была объяснена в конце З 78 в связи с рассеянием на примесях.
Ввиду относительвой медленности колебаний атомов в решетке и упругости рассеяния электронов, задача может быть в принципе сформулирована как задача о движении электронов в заданном потенциальном поле деформированной решетки. 409 1 ав МЕГЛЛЛ11 ПРИ ИЫООКИХ ТЕМИЕРЛТУРЛХ (112) + 1 ~ (Х) + 1~ьрь(Х) 0 (80.4) (индексы (1) и (2) отличают две части интеграла (79.10) подобно тому, как это сделано в (79.11)). Интеграл 1рь „оценивается подобно тому, как это сделано выше для интеграла 1, рь. При этом, однако, надо учесть, что интегрирование по квазиимпульсам электрона р производится фактически лишь вблизи ферми-поверхности по объему слоя толщины Т(ит и площадью рр.
Наличие б-функции вносит в 2 оценку интеграла еще множитель 1102р. В результате получим ТТ' 1(~) (Х) и х Т Трг, Т 10) ~ ~) Т ~80 6) ра,е Т' О РРРР ЕР ЕР Интеграл же фонон-фононных столкновений оценивается как Т 1ра.рьЫ вЂ” Ррь,рь 6111 — Ррь,ра —, Х с эффективной частотой столкновений из (68.3)1 Т 1И1' ьрь рл — Т1,1— Мид )1 ЛХ Таким образом, Т' / * Т 10, ь(Х) - — —.~ — Х- — — Х. р Ое ~~ М Оер Сравнив (80.5) и (80.6), мы видим, прежде всего, что (80.6) 1~ ),(Х) О ТРЕ,РЕ1Х) эффективная частота фонон-электронных столкновений (при равновесных электронах, т.
е. при 02 = О) мапа по сравнению с частотой фонов-фононных столкновений. По этой причине в Ощеним теперь поправочные функции 02 и Х в распределениях электронов и фононов с целью оправдания пренебрежения Х в интеграле столкновений. Сделаем это, например, для случая наличия электрического поля при равном нулю градиенте темпера|уры. Поскольку электрическое поле не влияет на движение фононов, левая часть кинетического уравнения для фононов равна нулю.
Уравнение сводится поэтому к равенству нулю сул1мы интегралов столкновения фононов с электронами и друг с другом: 410 мвтлллы гл ~х уравнении (80.4) можно пренебречь вторым ч,леном. Сравнение же двух оставшихся членов приводит к результату — — « 1, (80.7) ,р т чем и оправдывается пренебрежение функцией ( в электронфононном интеграле столкновений. Тот же результат (80.7) получается, как легко убедиться, и при наличии градиента температуры. Пренебрежение функцией т в кинетическом уравнении электронов может, однако, оказаться недопустимым при рассмотрении термоэлектрических явлений. Сонласно формуле (78.12) (вывод которой основан только на предположении об упругости рассеяния электронов) термоэлектрический коэффициент с«- (80.8) ««е (смысл индекса 1 указан ниже).
Эта величина «аномально» мала в том смысле, что порядок величины интеграла в (78.8) (второй член в формуле) оказался уменьшенным в отношении Т)ер из-за нечетности функции ,р' = — -"1УТ (80.9) т по переменной «( = е — д. Это обстоятельство в известном смысле «случайно»; благодаря нему может оказаться, что сравнительно малая добавка к ~р, связанная с неравновесностью фононов, приведет к сравнимому с (80.8) вкладу в ос Будем искать решение кинетического уравнения электронов С7Т = — ~"' — и '(7Т = 1Ю„( ) + Е(4„( ) (80,10) в виде суммы ~р = ~р~ + ~рп, где ~р~ — решение уравнения без второго члена в правой части, а ~р решение уравнения (80.11) Функция ~р' является «большой» частью функции ~р; ввиду отмеченной в 8 79 четности оператора 1,рь по переменной г(, эта (0 часть имеет вид (80.9) и нечетна по переменной г(.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
