X.-Физическая-кинетика (1109687), страница 80
Текст из файла (страница 80)
То же самое относится и к термоэлектрическому коэффициенту ег, который связывает (согласно определению (78.1)) градиент температуры с электрическим полем опять-таки при у.оловии 1 = О (см. задачу к 2 82). Сказанное, однако, не относится к компенсированным металлам с замкнутыми электронными и дырочпыми ферми- поверхностями, т. е, к металлам с одинаковыми числами электронов и дырок: оУе = йОЬ (см. 1Х, 2 61). Дело в том, что в этом олучае решение (81.1) не связано с существованием электрического тока. Действительно, плотность тока, отвечающая этому решению, есть 2дз Г д„ 2оГ / де (2х)е др (2гг)~ Г дппОо .
2оо~р О дппОю 24'р =е о (рог), а (рдГ) / др (2ог)в „/ др (2п)е Первый интеграл берется по объему электронных, а второй по обьему дырочных полостей ферми-поверхности; в пошоеднем вве- 818 1 82 Мв'1ЛЛЛЫ 11РИ ИИЭКИХ ТЯМИИРАТУРЛХ дено распределение дырок согласно и = 1 — п. Теперь можно 1ОО преобразовать интегралы по частям; возникающие при этом интегралы по поверхности граней ячейки обращаются в нуль ввиду («) (6) быстрого убывания по и п~~~ при удалении от соответствующих ферми-поверхностей.
В результате найдем, что (81.4) ) = ЕбЪ'(1УЬ 111«). Для компенсированного металла ) = О. Это значит, что электропроводпость компенсированного металла конечна уже и без учета процессов переброса. Напротив, коэффициент теплопроводности и термоэлектрический коэффициент определяются именно процессами переброса и без учета последних оказались бы бесконечными, поскольку условие ) = О в этом случае пе исключает паразитного решения (81.1). В рассуждениях и оценках в этом (и в г 1едучощем) параграфе по существу подразумеваются простейшие предположения о форме ферми-поверхности: предполагается, что она либо закрыта, либо открыта, причем все ее характерные размеры порядка величины 11'11. Между тем ферми-поверхности реальных металлов, вообще говоря, имеют сложную форму и могут состоять из нескольких различных листов, мы не будем останавливаться на анализе соответствующих усложнений в поведении кинетических коэффициентов реальных металлов. Так, листы открытых ферми-поверхностей в различных ячейках обратной решетки могут быть связаны тонкими (с толщиной Ьр « рр) перемычками.
Появление в задаче малого параметра Ьр/рл может привести к появлению новых «промежуточных» областей температуры со своими законами температурной зависимости кинетических коэффициентов. Листы замкнутых ферми-поверхностей могут подходить «аномально» близко друг к другу; это может привести к отодвиганию экспоненциального закона (81.3) в область «аномально» низких температур. й 82. Кинетические коэффициенты металла. Низкие температуры В количественном исследовании кинетических явлений при низких температурах мы будем иметь в виду случай открытых ферми-поверхностей, соответственно чему не будем специально заботиться о процессах переброса.
Прежде всего покажем, что релаксация в фононной системе осуществляется (при Т « 0) в основном за счет фононэлектронных, а пе фонон-фононных столкновений. Для оценки фонов-электронного интеграла столкновений (79.10) замечаем, что при низких температурах и1 Т, с — р Т металлы гл ех д-функция устраняется интегрированием по направлениям р (или, что то же, по направлениям чр) при заданном 1с, что вносит в подыптегральное выражение множитель 1/е7й. Наконец, ш оценивается по формуле (79.18).
В результате найдем рье(Х) Х( ) Т( ) т. е. эффективная частота столкновений еерь Т ™ . (82.2) Эффективная же частота фонон-фонопных столкновений при низких температурах, согласно оценке (69.15); иь ь Т~ — ( — ) <<иь ~/ и (,е) что и доказывает сделанное утверждение. Ниже мы будем пренебрегать фонон-фононными столкновениями. Тогда кинетическое уравнение для фононов имеет вид и — ' = — ~ — 'п~ Т = Тр„е(х, еэ). (82.4) дг Т дее Это уравнение может быть решено в явном виде относительно фононной функции С. Поскольку 1с в этом уравнении ".
заданная величина, то функция;д, может быть вынесена из содержащего ее интеграла и получается (82.3) Хь = — " (н~т) + + — ( го(по — по)й(а — е — ео)(~р — ~р ) — = С1+ у2, (82.о) / 2ееер е рие (2„)з где е ь, = ю(ге — ио)д(е — е — ео) —. 2дер р,е о (2 )з (82.6) Легко видеть, что хз » ть Действительно, из определения функции е2 видно, что зе2 ое (интегралы в чисчителе и знаменателе отличаютня только множителем ер — ~р' в подынтегральном и поэтому Хо по 1, дХо/део 1ееТ.
Интегрирование по д~р производится по обьему слоя толщины Т(ер вдоль ферми- поверхности. Ввиду малости й/р, аргумент б-функции можно представить в виде е(р) — е(р — 1с) — ео(Ы) — 1с — — ео — мр1с — ео. (82.1) де др 417 МЕТАЛЛЫ ПРИ НИЗКИХ ТЕМПЕРАТУРАХ выражении). Порядок жс величины функции ~р определяется кинетическим уравнением для электронов: дио 'Р (ТЕЧТ): 1е ра (111) м~ раоп 1/е ра дТ т' откуда Р 11Л,е) Ре,р11 (82.7) Наконец, заметив, что К~ ~ТУТ~и1ирь„, находим т1 (82.8) х - „,, О что и требовалось доказать. При вычислении электро- и теплопроводности (но не термоэлектрического коэффициента см, ниже) можно пренебречь малой величиной т1.
Подставив затем выражение т то из (82.5) в электрон-фононный линеаризованный интеграл столкновений (представленный в виде (79.11)), получим 1е,ро(1Р Х) = 1~,~дМ + 1е,ра,е(Р) где 1,ра,е(1д) обозначает результат подстановки Хе в интеграл 1„ь(х). Первый член в (82.9) есть интеграл столкновений элек- 00 е,рь тронов с равновесными фононами, а второй можно назвать интегралом столкновений между электронами через посродство фононов. Введем (как это уже делалось в З 79) в качестве независимых переменных в функции 1р(р) величину ц = е — р и вектор рг, проведенный в направлении р и оканчивающийся па ферми- поверхности. Оба члена в (82.9) содержат в своих подынтегральных выражениях разность ЭзЬ Рл) 1дИ Ри) (82.10) (82.9) причем 1 1 9 1~ =~о1 Рг Рл=зе где х проекция вектора к на плоскость, касательную к ферми- поверхности в точке ре.
14 Л. д. Ландау, Е.М. Лифшиц, том Х ~- " ~;7Т~. ре Эффективная же частота электрон-фонопных столкновений оценивается так же, как это было сделано выше для ира е1 разница состоит лишь в том, что интегрирование по Й Й в интеграле 1, производится по объему импульсного пространства (Т7и)а (вместо обьема р~~.Т11пр при интегрировании по Фр в интег але1 418 мвтлллы гл ~х По пеРеменной Рр фУнкциЯ Р(0,Рг) сУщественно менЯетсЯ на интервалах рн, разность же м й « рк. В этом смысле зависимость ~р от переменной рв является медленной, и в первом приближении можно положить в разности (82.10) р~,, — — рр, т, е. заменить ее на р(п, рк) — ~р(г1', рн). (82.11) Зависимость же от переменной и является сильной в том смысле, что разность )гу — д~~ = ш Т совпадает, по порядку величины, с тем интервалом, на котором функция у существенно меняется.
Обозначим оператор, получающийся из 1,„ь (82.9) заменой (82.10) на (82.11), через бо, тогда 1, гь представится в виде 1,гь(~) = ~.о(д) + То( ), причем АВ » Ан Кинетическое уравнение для электронов (при наличии как электрического поля, так и градиента температуры) имеет вид — (еЕ+ — п~Т) ч в = Ав(~р) + Л~(<р). (82.12) Два члена в правой части имеют существен~о различный физический смысл: первый ответствен за быструю релаксацию по энергии, а второй — за медленную, «диффузионную), релаксацию по направлениям квазиимпульса.
Отметим два очевидных свойства оператора Ао. Во-первых, он обращается в нуль для всякой функции, зависящей только от рг (так как обращается в нуль разность (82.11)). Во-вторых, обращается в нуль интеграл ГТеЬ4Ф =0; (82.13) оператор Ло описывает столкновения с изменением только энергии,и равенство (82.13) означает просто сохранение числа электронов с заданным направлением р. Будем искать решение кинетического уравнения в виде дЬр~) =п(рк)+Ь(ц,рг), (82.14) где а(рк) функция только от рк, причем ~а~ >> ~Ь~.
Тот факт, что функция а (обращающая в нуль часть Ло интеграла столкновений) велика, выражает собой быстроту процесса релаксации по энергиям. Подставив (82.14) в (82.12) и пренебрегая относительно малым членом 1ч(Ь), получим уравнение — (еЕ+ пЧТ) ч '" = Ьо(Ь) + А~(а). (82.15) Оба члена в его правой части, вообще говоря, одинакового порядка величины. Но при вычислении коэффициентов электро- 419 1 82 металлы пРи низких темпеРлгуРАх или теплопроводности существен каждый раз лишь один пз этих членов.
В этом легко убедиться, вспомнив, что лглнеаризованпый электрон-фононныи оператор 1, рь (а с ним и операторы ? о и Ас) при воздействии на функцию у(г), рр ) не меняет ее четности по переменной г) ). Имея это в виду, разделим функцию оэ на четную (~рх) и не. гетную (~ра) по г) части: ОЭ, = П+ дк, Соо = а (независящая от г) функция а по определению четпа). Подставив со = сох + оэп в (82.15) и отделив нечетные и четные по й члены уравнения, получим два уравнения: ч д ртут = Ь,(Ь.) Т де — 'еЕчр = То1ох) + 71(а); де (82.16) (82.17) в левой части уравнений скорость ч заменена, с достаточной точ- ностью, независяшей от г) скоростью чр на ферми-поверхности.
Второе из этих уравнений проинтегрируем еще по г); ввиду свой- ства (82.13) член с Ьо в результате вьшадает и остается ЕЕчр = / 71(а) с)г). (82.18) 1 ) Для оператора 1, „это было показано в 2 79. 'р1ы не будем останавлии) ,рл ваться на вполне аналогичном доказательстве для оператора Т, „л,. Тепловой поток (при Е = О) целиком определяется решением уравнения (82.16), содержащего только оператор Ао, как и следовало ожидать, он зависит от процессов релаксации по энергиям электронов. По решению уравнения (82.16) тепловой поток вычисляется как интеграл с) = / чР)бй ' = — ( чьч) 6 2дзр Г дпо 2дзр (82.19) (2я)з,/ ди (2т)з четная по г) часть функции оэ нс дает вклада в интеграл ввиду печетпости получающегося под интегралом выражения.
Операто)э Ьо основная часть электрон-фононного интеграла столкновений. Отвечающая ему эффективная частота столкновений есть поэтому перь из (82.7); об этой величине надо, точнее, говорить как об эффективной частоте столкновений по отношению к обмену энергией. Соответствующая длина пробега электронов есть ) пр/перь, Коэффициент же теплопроводности можно оценить по газокинетической формуле (7.10): рс сН2Ч. В данном случае зуг — плотность числа электронов, 420 метлллы гл ~х с электронная часть теплоемкости (отнесенная к одному электрону проводимости), а и вг. Величины М и пг от температуры не зависят, теплоемкость электронной ферми-жидкости пропорциональна Т, а согласно (82.7) длина пробега 1соТ з.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
