X.-Физическая-кинетика (1109687), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Поскольку вычисленный таким образом тепловой поток относится к Е = О, коэффициент в нем ость не сам коэффициент теплопроводности»г, а сумма»«' = »г+ Тас»з (см. (78.3)). Таким образом, »«~ с зТ ~. Член Тпо~, однако, оказывается малым по сравнению с»«' (см. ниже примеч. па с. 421); поэтому и мсзТ ~.
Положив для грубой оценки т" реТ уьз (обычные единицы; ср. 1Х, (1.15)), получим (82.20) Электропроводность определяется решением уравнения (82.18), содержащего только оператор Ь| — как и следовало ожидать, электрический ток зависит от процессов релаксации по направлениям квазиимпульсов электронов. В начале ~ 81 было отмечено, что эти процессы имеют характср диффузии вдоль ферми-поверхности.
В следующем параграфе будет показано, каким образом кинетическое уравнение (82.18) может быть действительно приведено к виду уравнения диффузии. Закон же температурной зависимости электропроводпости может быть выяснен уже путем следующих простых рассуждений. Перемещение вдоль ферми-поверхности происходит малыми скачками —. на расстояния й Т!и: эта величина играет роль «длины свободного пробега» в импульсном пространстве (1„,), частота жс «актов рассеяния» совпадает с частотой электронфононных столкновений и«рь. Коэффициент диффузии вдоль ферми-поверхности можно оценить по газокинетической формуле Р И 1зи, написав в ней 1р и и«рь в качестве 1 и и.
Таким образом, получим (обычные единицы) г',0 (7)' (82.21) Отсюда можно найти время релаксации, которое должно фигурировать в оценке элсктропроводности согласно (78.16): и е Мплт(рк. Это -- время, за которое квазиимпульс элек- 2 трона меняется на величину порядка его самого. Другими словами, за время т электрон должен продиффундировать вдоль ферми-поверхности на расстояние рв. Е1о при диффузионном перемещении средний квадрат смещения пропорционален времени (и коэффициенту диффузии). Отсюда находим соотношение 422 гл лх металлы (Л.Э.
Гуревич, 1946) ) По мере понижения температуры частота электрон-фононпых столкновений уменьшается и в конце концов главная роль в создании электро- и теплосопротивления переходит к столкновениям электронов с примесныхли атохлами. Отметим, что ввиду различной температурной зависимости переход к «остаточному теплосопротнвлению» происходит позже, чем переход к остаточному. электрическому сопротивлению.
В очень чистых металлах может существовать область температур, в которой кинетические свойства металла определяются электрон-электронными столкновениями. Соответствующая длина свободного пробега в электронной жидкости в металле, как и во всякой другой ферми-жидкости, зависит от температуры как 'Г 2, причем малым параметром разложения является отношение Т/ен (см. 2 75). При Т ер этот пробег должен был бы стать д, так что (82.27) Отсюда следует закон температурной зависимости электро- и тсплопроводности (82.28) »г ела Т о слзТ (Л.Д. Ландау, И.Я. Померанчук, 1936). При понижении температуры эффективная частота псе электрон-электронллых столкновений убывает медленнее, чем частота электрон-фононных столкновений пс„ь.
Но поскольку малым параметром в пес является Т(ер, а не Т70, как в мерь, электрон-электронные столкновения могут стать оллределллющйьли лишь при очень низких температурах. Отметим также, что законы (82.28) могут в принципе относиться к случаям как открытых, так и закрытых ферми- поверхностей.
Поскольку квазиимпульсы электронов велики, то необходимость в существовании процессов переброса не являет- лл ) Здесь надо сделать следующее замечание. Ввиду малости квазиимпульса фонона, из закона сохранения энергии имеем с(1») — е(р — 1«) и» 1« жьл(1«), откуда видно, что угол е между тг и к близок к я/2: сове — ьл/(еглс)— и/нл.. « 1. В изотропном случае направления квазиимпульса лс и скорости и фонона совпадают, так что мало и произведение пик. Такое же произведение возникает и в интеграле, определяющем ток по функции у, пропорциональной птлТ; это обстоятельство привело бы, в изотропном случае, к дополнительной малости в о .
В анизотропиом же кристалле (в гом числ ле кубической симметрии) оснований для появления такой малости, вообще говоря, нет. МЕ1ЛЛЛЫ ПРИ НИЗКИХ ТЕМПЕРЛГКРАХ ся, вообще говоря, в случае закрытых ферми-поверхностей источником какой-либо дополнительной малости. Задача Вычислить термоэлектрический коэффициент а для металла с закрытой ферми-поверхностью при низких телпгературах в пренебрежении процессалги переброса. Р е ш он и е. Кинетическое уравнение для электронов: дпа с — д дно~ др т дс Кинетическое уравнение для фонопов записываем в виде ' ' ЯТ = Ял„м,. Х, Т д11 г2) заметив, что /' (Е дно) 211 р ~ГТ Р е — и дпе 2дзр зУТ Р 1 длУе 1 г)АИ + — / — — 1чр) — + — ) — ( — й)1 — = о; 13) 3 ./ Т де (2х)з 3 ./ Т Л, д11 ) (2х)з второй и третий интегралы записаны в предположении кубической симметрии кристалла.
Первый интеграл в 13) преобразуется как при выводе 181.4) и дает — ЕЕГ.У, — 1лгг,). Второй интеграл вычисляется как при выводе Г78.12) и равен — АТ'лгТ, где .4= — [ — ) чр ] 1интеграл берется по изоэнергетической поверхности е = сопвс). Третий интеграл после преобразования по частям принимает вид ~гТ Р 1зй — — / улго13ш+ 1сп) ЗТ,/ 12х)з Гинтограл по поверхности граней ячейки обратной решотки обращается в нуль ввиду быстрого убывания функции 1"лге с увеличением гэ при низких температурах). Для акустических длинноволновых фононов 1которые только и существенны при малых Т) скорость и и отношение м = кгггэ зависят только от направления 11 Гио не от ш). Использовав для интеграла по гэ известное выражение, найдем, что третий интеграл в 13) равен — ВТАЩЕТ, где В = — ~ / (1 -Р— ) и— дуо и дно ьл ддге дТ Т дгэ Т д)г Умножим уравнение П) на р, уравнение г2) на )г, проинтегрируем их соответственно по 2г)1у~Г2т) и по г)злгг12х), после чего сложим оба уравнения почленно.
Правая часть обратится в нуль в силу сохранения суммарного квазиилгпгбльса электронов и фононов в отсутствие процессов переброса. В результате получим 424 мктлллгя гл ~х (суммирование по трем акустическим ветвям фононного спектра). Таким образом, равенство (8) принимает вид — еЕ(Х, — Хь) = ЯТ(АТ+ ВТ ).
Сравнив его с (78.1) (при 3 = О), найдем термоэлектрический козффиционт ЛТ+ ВТв и = 7У м Условие,> может быть обеспечено должным образом подобранным слагаемым вада (81.1) в решении кинетического уравнения. В соответствии со сказанным в 8 81, выражение (4) конечно для некомпенсированного металла, но обращается в бесконечность при Л', = Хь. 8 83.
Диффузия электронов по ферми-поверхности В этом параграфе будет показано, каким образом кинетическое уравнение задачи об электрической проводимости при низких температурах (82.17) может быть приведено к диффузионному виду '). Интересуясь только этой задачей, мы будем рассматривать лишь независящую от Н = г — р, часть функции со и обозначать ее как уо(рР) (вместо специального обозначении а(рР) в предыдущем параграфе). Как и в 8 82, будем иметь в виду случай открытых ферми-поверхностей. Функция бб дно р (2я)з де (2я)в есть неравновесная добавка к распределению электронов по импульсному пространству. От него можно перейти к распределению по ферми-поверхности, написав элемент обьема г1 р в виде г7аоЯ7п (74.19), проинтегрировав по Ж = си) и приближенно заыенив зависящие от е элемент площади изоэнергетической поверхности г1Я и скорость п их значениями о1ол и пГ на ферми- поверхности.
Функция оз, по предположению, от е не зависит, а интегрирование множителя — дпо(де дает 1. Таким образом, плотность распределения на ферми-поверхности дается выражением у4р ) (83.1) 12я-)зок Для большей наглядности вывода напишем сначала кинетическое уравнение (82.17) с частной производной по времени в его левой части, как если бы распределение было нестационарным; дпо дог дпо — — — еЕзгР = Ь1(Р). де дг де ) В излагаемом ниже выводе мы следуем Р.Н. Гурлси и А.И. Копелиооичр (1971). 425 з вз диФФузия электРОИОЕ пО ФИРми-ПОЕИРхяОО'ги Здесь уже опущен ч,лен с тю, выдающий после интегрирования уравнения по дг)/пу;: ),,),,)"~ = ЕЕ '.
(83.2) Первый член слева скорость изменения плотности электронов на ферми-поверхности. Уравнение должно иметь вид уравнения непрерывности, т. е, второй член слева должен представлять собой дивергенцию от плотности потока в электронов на ферми-поверхности; член же с электрическим полем в правой части уравнения играет роль плотности источников и стоков.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
