X.-Физическая-кинетика (1109687), страница 83
Текст из файла (страница 83)
В этих условиях характер зависимости тензора проводимости от магнитного поля оказывается не зависящим от конкретного вида интеграла столкновений. В то же время он существенно зависит от структуры энергетического спектра электронов проводимости — от формы ферми-поверхности ы Приступим к составлению кинетического уравнения, описывакпцего гальваномагнитные явления. ) Излагаемая ниже теория принадлежит И.М. Лиуггиилу, М.Я.
Аебелю и М.И. Каганоеу П956). 4З1 гжльвлпоыАГпит!!1 !в явлю!Ия Функцию распределения будет целесообразным выражать теперь не через декартовы составляющие квазиимпульса р, а через друтие переменные, связанные с траекторией электрона: энергию е, компоненту квазиимпульса р, вдоль направления магнитного поля (ось з) и «время движения электрона по импульсной траектории» от некоторой фиксированной точки в данную. Последняя переменная (которую мы обозначим буквой т) вводится с помощью квазиклассического уравнения движения электрона проводимости в магнитном поле — = — -' ~чВ], пр е дт с де ч= —; др' т- и у-компоненты этого уравнения: (84.2) йт с ' дт с Взяв сумму квадратов этих уравнений и введя элемент дз длины импульсной траектории в плоскости жу (с!в~ = Йр~ + Ир~~), пол чим у (84.
3) «В ет интегрированием этого равенства и определяется новая переменная т через старые р„р„, рв. Левая часть кинетического уравнения в новых переменных принимает вид ) — = — 8+ — Р, + — т. йп дп . ди, дп . (84.4) 4! де др, дт Как обычно, функцию распределения будем искать в виде и = по(е) + !!й(е,р„т). (84. 5) р = — еŠ— -'~чВ). е с (84.6) Для производной й имеем отсюда де й = — р = — ечЕ; др ) Использование квазнкласснческого кинетического уравнения означает пренебрежение эффектами, связанными с квантованием уровней энергии в магнитном поле.
Эти эффекты будут обсуждены ниже, в з 90. В конце 9 74 было показано, что в постоянных электрическом и магнитном полях линеаризованное по !зп, кинетическое уравнение для квазичастиц ферми-жидкости пишется так же, как оно писалось бы для частиц ферми-газа. При этом производные е, р., т надо выразить с помощью уравнения движения отдельного электрона в электромагнитном поле: 432 мвтлллы гл ох дп дпо дбй — — еъ"Е + —.
а д д-' Представим дй в виде дй = поеЕ8, н = 8(е,р„т) (84.7) (ср. (78.6)). Тогда окончательно левая часть кинетического урав- нения примет вид (84.8) Интеграл же столкновений в правой части кинетического уравнения после линеаризации запишем в виде 81 и о еЕТ(8) 184.9) (напомникй что в интеграле столкновений, описывающем упругое рассеяние на примесных атомах, любой множитель в бй, зависящий только от е, может быть вынесен из-под знака интеграла); конкретный вид линейного интегрального оператора 1(8) нам не понадобится. Приравняв друг другу выражения (84.8) и (84.9), получим окончательно кинетическое уравнение, определяющее функцию я: — — 1(8) = ч.
(84.10) Тензор проводимости дается интегралом (78.9): 1 дпо 2доп опп = — е ~ о„яо / до (2пй) о магнитное поле выпадает в соответствии с тем, что оно не производит работы над зарядом. Далее, при поле В, направленном по оси я, имеем р, = — еЬ",. Наконец, из сравнения уравнений (84.2) и (84.6) видно, что производная йт!й отличается от 1 только за счет поля Е (учет этого отличия не понадобится). Поскольку равновесная функция распределения по зависит только от е,. а е, р„т — независимые переменные, то дпе/др, = = О, дпо7дт = О. Э,лектрическое поле рассматривается как скол| угодно малое; при линеаризации кинетического уравнения члены, содержащие одновременно малые величины 5й и Е, следует опустить. Тогда выражение (84.4) сводится к 1АЛЬВАИОМАГНИ'ЫП!В ЯВЛЕНИЯ Переход в этом интеграле к новым переменным осуществляется заменой о!Вр — > ~,Е~ 1!В 11р, Йт, где д(р.,рэ,р:) д(т,е,р ) якобиан преобразования.
Его легко найти прямо из уравнений (84.2), определяющих переменную т. Записав обе части, скажем, первого из этих уравнений, в виде якобианов, д(р,е.,р,) ед д(е,р,,р,) д(т.е.р,) с д(р„,р„р,) дО „р.,р.) и умножив обе части равенства на Р"'Р" Р", найдем ~,Е~ = ЕВ/с. Пренебрегая температурным размытием распределения по, полагаем, как обычно, дно(де = — б(е — ер), после чего получим окончательное выражение 2" В оо!л = / оо8яйтл1р„ с(2кй)з / (84.11) где интегрирование производится по ферми-поверхности. Согласно определению (84.3), переменная т пропорциональна 1/В. Поэтому член д8/дт в линейном уравнении (84.10) пропорционален В и тем самым велик по сравнению с остальными членами. Это дает возможность решать уравнение последовательными приближениями, в виде ряда по степеням 1/В! (0) + (!) + (84.12) где 8(") слзВ " ).
Для членов этого ряда имеем уравнения Решение этих уравнений: 10) С!0) т ~(~) = ) (Е(С!о)) + т!(т)) !Ет + СП), о т 8!~) = ( Е(8л!)) !Ет + С!0), ..., о (84.14) где Сл~), СП), ... функции только от е и р,. ) Подобно тому, кю! Вто делалось в з бой при вычислении кинетических коэффипиентов плазмы в сильном магнитном поле.
434 мвтлллы гл ~х дк 1 /' дк я(т) — к(о) дг Т / дг Т о равно нулю, так как н(Т) = н(0). Если функции и не периодич- ны, то усреднение производится по бесконечному злнтервалу т и среднее значение обращается в нуль ввиду конечности и. Таким образом, во всех случаях усреднение уравнений дает (84.15) эти соотношения определяют в принципе функции С(~~, С(~~,... Переходя к вычислению тензора проводимости., напомним предварительно некоторые общие его свойства, известные из феноменологической теории (см. 'Л11, э 21). Согласно принципу симметрии кинетических коэффициентов, о э(В) = од„( — В). (84.16) Тензор а„э можно разделить на симметричную и антисимметричпую части: (84.17) Для них имеем, с учетом (85.16): о- ',,(В) = а~у'„(В) = и '~д ( — В), о„'~(В) = — о з„(В) = — о„, ( — В).
(а) (а) (а) (84.18) Таким образом, компоненты а у являются четными, а и М нечетными функциями В. Вместо антисимметричного тензора а д можно ввести дуальный ему аксиальный вектор а по опре(а) делению аху — аг~ а„= ау, ау~ = ак. Функция и должна удовлетворять определенным условиям. Если импульсные траектории электронов (т. е. контуры сечений ферми-ззоверхности плоскостями р, = сопэу) замкнуты, то движение электронов периодично; соответственно должна быть пгриодична по переменной т (с периодом Т, зависящим от р,) также и функция н(е,р,,т). Если же траектория открыта, то движение в импульсном пространстве инфинитпо и функция н должна удовлетворять лишь условию конечности. Усредним уравнения (84.13) по т.
Если функции н периодичны, то среднее по периоду значение глльвлномлгнитпыв явления члстпык слкчли 435 й 85. Гальваномагнитные явления в сильных полях. Частные случаи Замкнутые траектории. Начнем со случаев, когда все (т, е. при всех р,) импульсные траектории электронов при заданном направлении В замкнуты.
Траектории всегда замкнуты при любом направлении В при замкнутых ферми-поверхностях. Что касается открытых ферми-поверхностей, то здесь возможны как случаи, когда траектории замкнуты при любом направлении В, так и случаи, когда сечения замкнуты лишь при определенных (или в определенных интервалах) направлениях поля. При движении по замкнутой (в плоскости лр) траектории средние значения скоростей в этой плоскости равны нулю: ок = = йц — — О; это ясно из уравнений движения (84.2) с учетом того, что при прохождении траектории р и рв возвращаются к исходным значениям.
Значение же и, всегда отлично от нуля ввиду ининитности движения в направлении поля. Первое из равенств 84.15) дает теперь 1(С,',") = 1(С„'") = О, откуда С» = С,а, = О ). Решение (84.14) принимает в этом (о> „(о) слу.чае вид К* = рр+С» +к» +' С(0) + а(О + (85.1) ы ) Нет никаких оснований для того, чтобы линейное однородное уравнение 1(С) = О имело бы какие-либо ретпения помимо тривиального С = О. Тогда компоненты вектора плотности тока представятся в виде эо = аоррлэ = о 'зЬ',у + [Еа1~.
(84.19) Диссипания энергии при протекании тока определяется лишь симметричной частью тензора проводимости; уЕ = о ЕоЕр. Таким же образом можно разложить и обратный тензор р р = и па симметричную часть и антисимметричную часть, дуальную аксиальпому вектору Ь. Тогда Е выразится через 5 формулой Е. = Р.",'1, + ( Ь)п. (84.20) Член [Еа1 в токе, нли член [1Ь] в электрическом поле, описывает эффект Холла,. метлллы гл ух (интегрирование функции ч(т) произведено с помощью уравнений (84.2)). Компоненты тензора проводимости вычисляются по формуле (84.11).
Так, 2е' )У Х Нру 1 с 1В 12)) (2лй)е,/.7 Йт (еВ (ьу снова выражено с помощью (84.2)). Иоскольку Се не завий) сит от т, интегрирование по т в первых двух членах сводится к интегрированию производных Йу„(Йт и Йу, )Йт и дает нуль. Таким образом, вклад в интеграл дает лишь член с 8„, так что (2) о.,т со В Далее, вычисляем Интегрирование второго ч,лена снова дает нуль, а в первом имеем р Йру у, 'р" Йт = у, Йуу —— +яр,), Йт ес 2(йу — й ) ес отл — — — '' ' ' — —" (ЯЛ вЂ” Ле), В (2ууа)У В (85.2) где 1)е и 1)л обьемы электронных и дырочных полостей ферми- поверхности. Величины ),у 2й ), 2йу ) представляют собой соответственно числа занятых электронных состояний с энергиями е ( ер и свободных состояний с е ) ер где Я(у,) площадь сечения ферми-поверхности плоскостью у, = сопвФ.
Знаки + и — относятся соответственно к случаям, когда внутри контура находится область меныпих или больших энергий, т. е. когда замкнутая траектория является электронной или дырочной (см. 1Х, 2 61); обозначим площадь Я в первом случае как Яе, а во втором как Ял. Разница в знаках в этих случаях возникает от изменения направления обхода траектории. Интегрирование площади Я по у, дает объем 11 импульсного пространства, заключенный внутри ферми-поверхности (если замкнутые траектории расположены на открытой ферми-поверхности, то 11 объем, ограниченный этой поверхностью и гранями ячейки обратной решетки).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
