X.-Физическая-кинетика (1109687), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Для обеспечения граничного условия У = 0 должно быть тогда введено также и нормальное к поверхности поле Е (как вто уже было отмечено в примеч. на с. 442). ЛНОМЛЛ! НЫЙ СКИП-ЭФФЕКТ всех функциях опущенным, так что Е, ], ... будут функциями только от х. Функция Е(х), симметрично продолженная в область х < О, непрерывна при х = О. Но производная Е'(х), будучи нечетной функцией х, испытывает при х = 0 разрыв, меняя знак при прохождении переменной х через нуль. Согласно уравнению (86.1)! эти производные связаны с магнитным полем соотношением Е' = — '[Вп], где п снова единичный вектор в направлении оси х. В задаче о полупрострапстве мы имели бы поэтому при х = 0 условие Е' = !го[Вон]/с, где Во —. поле на границе металла.
В задаче о неограниченной среде этому отвечает условие Е (+0) — Е!( — 0) = 2 — [Воп]. с Ул!ножим обе части уравнения (86.18) на е '""" и проинтегрируем его по х в пределах от — оо до оо ). В левой части уравнения имеем Ене !лко!х = ]' (Е!е !Ек)>11х+~ (Е'е ло*)>11х+лй [ Е!е !ьяг4х. Поскольку на бесконечности поле Е(х) обращается в нуль, то первые два интограла дают как раз разность Е'( — 0) — Е'(+0). В последнем >ке члене, ввиду непрерывности самой функции Е(х), можно уже просто интегрировать по частям. В результате приходим к равенству — [Воп] + й2Е(й) = — ~(й), Е (й) = ~ л(й)[Воп]о (86.19) где ~од(й) двумерный тензор, задаваемый своим обратным: ~.-1(й) с [й2б 4ЯМЕ> (86.
20) ') Даны>ейшие вычи(ления формально совпадают с ходом решения задачи о проникновении магнитного поля в сверхпроводник в 1Х, о 52. где Е(й) и 1(й) фурье-образы функций Е(х) и ](х). Согласно (86,15) этя фурье-образы связаны друг с другом соотношением 2о(й) = о.
д(й)Ьд(й). Воспользовавшись этилг, найдем для фурье-образа поля выражение 448 лгвтлллг! гл гх Ь' (ю) = — / ~ гг(й)совйхг1й (Вбп)б. (86.21) "о В частности, значение поля па границе металла есть Еоо =~ б(Воп)б, ~ Д = — ) ~ Д(й)~й (8622) го со Для фактического вычисления поверхностного импеданса выберем оси у и а в направлении главных осей симметричного тензора и д(й).
Вместе с ооб приводится к главным осям и тензор Сод, и его главные значения <М 2' 1 дй о 61о) ого Аг г „сглз где Аго~ главные зна гения тензора Аод. Интегрирование приводит к результату ") ~( ) = (1 — гЛ) „ ( ," ) , (86,23) Величины Аг 1 зависят только от характеристик — формы и размеров — ферми-поверхности. Отметим, что импеданс (86.23) оказывается не зависящим вовсе от длины пробега электронов. Для оценки по порядку величины лложно считать, что радиусы кри- ) Путь интогрировапия (праваа всгдоствспвая полуось) можгю повернуть на угол — тггб в плоскости комплексного й, нс пересекая при этом полюсов подынтегрального выражения.
Иггтсгрируя вдоль луча Ь = иехр ( — гя,гб), имеем ЙНЙ, го /' нг1и 1= йз — г6 из -л Ь о о и, после подстановки из + Ь = Ьггс, е' го 1" ггз .ггз Г(1/3)Г(2ггЗ) го т(ъЗ+г) Зггггз / 36ггзГ(1) ЗзгзЬггз о Аргумент функций ггод написан как ~й~, чтобы напомнить, что здесь фигурирует абсолютная величина вектора 1с. Сама функция Е(х) получается из (86.19) умножением на ехр (гйл) и интегрированием по г1йгг(2гг). Ввиду четности функций ~„б(й) имеем ЛНОМЛЛЬНЫЙ СКИН-ЭФФЕКТ визны ферми-поверхности рР, то1;1а А рр и 2 (86. 24) Напомяим, что вещественная часть импеданса определяет диссипацию энергии поля в металле. В рассмотренном приближении (не учитывающем столкновений электронов) эта диссипация имеет природу затухания Ландау ).
Закон затухания электрического поля внутрь металла при аномальном скин-эффекте не экспоненциален, и потому понятие глубины проникновения яе имеет в этом случае того буквального смысла, как в (86.5). Ввиду наличия в подынтегральном выражении в (86.21) осциллирующего множителя сов йх, интеграл определяется (при заданном х) в основном областью значений й 1ггх. Существенное убывание функции Е)х) происходит, когда эти значения гс )> 11~18 2).
Поэтому глубина проникновения по порядку величины равна Б 5 ',или — 1,13 186. 25) При увеличении частоты эта глубина продолжает убывать, но медленнее, чем при нормальном эффекте. Величины, определяемые выражениями (86.6) и (86.25) (обозначим их как 51юрм и дан), сравниваются по порядку величины при б Е Поскольку одна из них убывает как ог 112, а другая как нг Пз, то ясно, что при одном и том же значении ол 5 дн р Е З 2 Наконец, сделаем некоторые замечания по поводу характера отражения электронов от границы металла.
Если поверхность идеальна (без дефектов) и совпадает с какой-либо кристаллической плоскостью, то расположение атомов в ней обладает периодичностью, отвечающей трансляционной симметрии кристаллической решетки. В таком случае при отражении электрона сохраняются наряду с энергией также и тангенциальные компоненты его квазиимпульса ргм р,. Нормальная же компонента квазиимпульса отраженного электрона, р, определяется по зна- ) Па явления, составляющие сущность аномального скин-эффекта, впервые указал Г.
Лондон '1 Н. Ьопдоп, 1940). Качественная теорию этого эффекта была дана Ниппардом (А.В. Ргррогд, 1947), а изложенная колнчгхлвепная теория принадлежит Реитеру и Зондгеймеру (С.Е. Неигег, В.Н. Вопд)гегтег, 1948). г) Прн х» д интеграл (88.2Ц определяется значениями 1 « Ьнг. Прн этом С()г) к, а поле Е(х) убывает как х 15 Л. Д.
Ландау, Е.М. Лифшиц, том Х 450 мвталлы гл ~х чению рт падающего электрона уравнением е '1Р. Р Р.) = Ь* Рк:Р.) (86.26) ') Доказательство указанных утверждений можно найти в обзорной статье: Андреев А.Ф.,~,' УФН. 1971. Т. 105. С. 113. См. Яеагег С.Е., Воп45епне~ Е.Н. // Ргос. Коу. 8ос. 1948. Ъ'. А195. Р. 339. причем должно быть н„,' = де/др' ) 0 — отраженный электрон движется по направлению от границы (скорость же падающего электрона н = дс/дрв < О). Уравнение (86.26) может иметь несколько таких корней, причем, вообще говоря, о.' у'= — нв. Но для скользящих падающих электронов среди этих корней всегда имеется один, отвечающий небольшому изменению квазиимпульса, причем в' = — в.
(т. е. отражение является зеркальным в буквальном смысле этого слова). Действительно, для электрона, движущегося почти параллельно границе, производная н = де/др мала; это значит, что на изоэнергетичсской поверхности в р-прострапстве электрону отвечает точка Р, находящаяся вблизи точки экстремума эш'.ргии а как функции р, т.
е. точки, в которой де,андре = О. Но вблизи такой точки, по другую сторону экстремума, всегда сугцествует точка Р, в которой значение производной дс/дрт отличается от значения в точке Р лишь знаком. Можно показать, что отражение скользящего электрона с подавляющей вероятностью происходит именно с таким изменением квазиимпульса. Более того., это утверждение остается в силе и при отражении от несовершенной поверхности, содержащей шероховатости атомных размеров, когда закона сохранения тангенциальных компонент кваэиимпульса, строго говоря, уже не существует.
Наглядное обьяснение состоит в том, что волновая функция скользящего электрона медленно меняется вдоль оси т и потому «не чувствуета атомных шероховатостей поверхности ). Интересно, что значение поверхностного импсданса при предельно аномальном скин-эффекте фактически оказывается вообще малочувствительным к характеру отражения электронов. Так, при диффузном отражении (когда все направления отраженного электрона равновероятны впе зависимости от угла падения) значение импеданса отличается от (86.23) лишь множителем 9/8. Граничное ушювие при диффузном отражении от плоской поверхности формулируется как ой(п, ) О,нюне) = 0 при х = О.
При этом, однако, метод Фурье оказывается непригодным и решение задачи должно производиться так называемым методом Винера — Хопфа ~). 451 8 87 СКИН-ЭФФЕКТ В ИНФРЛКРЛСНОЙ ОЬЛЛОТИ 8 87. Скин-эффект в инфракрасной области Мы рассмотрели, таким образом, два предельных случая скин-эффекта: нормальный эффект, когда наименыпим из трех характерных размеров (б, 1, пк/ш) является длина пробега 1, и аномальный эффект, когда наименьшей является глубина проникновения Д. Теперь мы рассмотрим третий случай, когда наименьшей длиной является 'Р « б, —" «1.
(87.1) К этому случаю мы приходим естественным образом от аномального скин-эффекта при дальнейшем увеличении частоты; хотя глубина проникновения при этом убывает, но произведение и>б возрастает как ь>з>8. В обычных металлах условия (87.1) осуществляются в инфракрасной области. 'Условия (87.1) ограничивая>т область частот снизу.
Но справедливость излагаемых ниже результатов, основанных на теории ферми-жидкости, ограничена также и сверху условием >>В> « 51>. Нарушение этого условия приводило бы к возбуждению квазичасгиц из глубины ферми-распределения, не имеющих смысла в рамках теории ферми-жидкости. Для определения связи между током и электрическим полем надо снова обратиться к кинетическому уравнению.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
