X.-Физическая-кинетика (1109687), страница 89
Текст из файла (страница 89)
Рассматривавшийся в 2 84, 85 тензор проводимости есть в действительности результат усреднения точных функций (т д (В) по мшгым квантовым осцилляциям. В частности, согласно (85.3), усредненная таким образом поперечная проводимо('ть (г„„с(зВ Покажем, прежде всего, как этот результат получается из формулы (90.6), и выясним при этом связь между фигурирующими в этой формуле величинами И',, и функцией Вг(р', р) в квази- классическом интеграле столкновений электронов с примесями (78.14). В 2 84 было уже отмечено, что у(ыовие квазиклассичпости движения электрона обеспечивает в то же время независимость процесса рассеяния от магнитного поля.
Вероятность рассеяния в отсутствие поля с изменением квазиимпульса от р к р' была представлена в интеграле столкновений (78.14) в виде лз ш(1з гр)В(е — с ) (90.10) (2В6)В Чтобы написать это выражение в форме, пригодной и для рассеяния в магнитном поле, достаточно преобразовать его к переменным, сохраняющим свой смысл для движения в поле; ш(Р',рме';Р,рм а)й(е — е') ' '' (90.11) (2(г6)ВВР (ПРОИЗВОДНаЯ ВК вЂ” — де)гдР,„тОжЕ ПОДРаЗУМЕВаЕтСЯ ВЫРажЕННОй через новые переменные).
Координата у при движении по квазиклассической траектории связана с обобщенным квазиимпульсом соотношением Рт = р + еВу/с; поэтому среднее (по траектории) значение у = — '(Р— р (е,р,)) = —. (90.12) Усредненная по осцилляциям проводимость (г, „получится по формуле (90.6) заменой в ней суммирования по дискретной переменной в интегрированием по непрерывной переменной с. Введя для краткости обозначение г)Р )Р' а(с,)1', р,) = — / (Рг — Рг') ' ' *, (90.13) 2 / Вггг(2((6)" ПОЛ(гЧИМ (90.14) В / В.Щ '"" (26)' 464 мвтлллы гл )х (мяожитель 2 от двух направлений спина электрона; вероятность рассеяния предполагается не зависящей от спина, так что его проекция не меняется). Интегрирование по е устраняет б-функцию.
При интегрировании же по е можно считать медленно меняющийся множитель а постоянным (взяв его значение при е = р) и интегрировать лишь производную дг)о/де. В результате получим — I п "' ": — I Б(р,) 2а)р,. (90.15) р Перейдем теперь к учету дискретности уровней. Это значит, что вместо интегрирования в (90.14) по непрерывной переменной е (при заданных Р и р,) надо писать суммирование по п, заменив ... и. -~ 6~в'~,'", где дп как это ясно из (90.9) и определения циклотронной массы т*. Используя введенные выше обозначения, имеем и'1У., 1 Х дпв(а„) пук= / ~п(с Р Рх) д2 / дг х пп'а х б(еп — с„)Ьь)дбы1д 1'- '"-' (90.16) ' (2пл)з (отметим, что ввиду интегрирования по обеим переменным р, и Р', функцию и можно считать симметричной по ним).
Осциллирующая часть этого выражения, о„,, выделяется с помощью формулы суммирования Пуассона (ср. 1Х, ~ 63) пп пп пп -п)0)4-~п) )=1 и) )п~-2е 1 1п) ) них~ )90л7) п=1 о '=' о и возникает от стоящей здесь суммы по 1; усредненное же )т„„ возникает от первого, интегрального, члена. Мы будем считать, что амплитуда осцилляций мала по сравнению с усредненной )т„„(тем самым налагается определенное условие на величину магнитного поля --- см. ниже (90.26)). Тогда достаточно учесть осциллирующую часть каждый раз лишь в одной из сумм (по п и по пп) в (90.16). С учетом симметрии а квеи'1'ОВык Осциттт!яции ВРОВОдимО1"ги 1оа по р, и р', и введя обозначение 6 по аналогии с определением в (90.15), имеем о,, = —,В.е~' ~~, 4, (90.18) 1=1 е=х1 где 41 -- осциллирующая часть интеграла де дп о Введя в качестве переменной интегрирования вместо п функцию с(птр,) из (90.8), интегрируем по е по частям (причем медленно меняющийся множитель 6 можно считать посаоянным), Проинтегрированный член не приводит к осцилляционной зависимости от поля (и представляет собой лишь малую поправку к ттяр); опустив егот получим Х1 = 2тт11 'Р' — 11р, Ж.
(90.19) о ' т ехр -Ь 1 Здесь де = д — ттЯВ и введена функция СБ(е,рт) 1 2хейтВ 2 (90.20) 1' 2хтттттехр(2х1111,„~ тх(4)Ь,„(е) Йп,„ ех о (ехр -т; 1) др (90. 21) где цех(Е) Гт(стйхех(Е))т дех(Е) = д(стРхех(Е))т а знаки + или — в экспоненте относятся соответственно к случа- ям, когда рте является точкой максимума или минимума функ- ции и(е, р,); суммирование производится по всем экстремальным точкам. (Ср. (90.9)); В арГуМЕНтЕ фуНКцИИ б(спе, р,) ПрЕНЕбрсжЕНО ЧЛЕНОМ ЯВ по сравнению с большим е.
Интегрирование по р, в (90.19) производится в точности таКт КаК В ИНтЕГраЛЕ (СМ. 1Х) (63.8) Прн ИССПЕданапИИ ЭффЕКта де Гааза — ван Альена. Интеграл определяется областями вблизи точек р, = р„(е), в которых п(с,р,) (т. е. площадь сечения Я) как функция р, имеет экстремумы. В результате получим ывтлллы ГЛ 2Х сг,„= ') ~~ ( — 1)'о;„'„соз (1 — '" ~ — ~, ох 1=1 1 2 2 (0 2ы~к'2~(еЬ)П~Ь, дхЯ Л~ / т," ), ех (90.22) 22221Т 1еклв еВ О2в = П2„'„С причем Яех, (ех, тех, бех берутся при е = р па ферми-поверхности ).
Если при заданном направлении В имеется всего одно экстремальное сечение ферми-поверхности, то сушесгвуе1 пропорциональность между осциллируклцими частями проводимости сг „и продольной магнитной восприимчивости. Сравнив (90.22) с формулой (63.13) (см. 1Х) найдем (22-) 2 из и2,'„Ь,„дЛХх дВ (90.23) Изложенные вычисления предполагают малость амплитуды осцилляций проводимости по сравнению с ее усредненным значением. Более того, это требование по существу является условием применимости всей изложенной в 3 84, 85 теории: ясно, что усредненные значения имеют реальный смысл, лишь если они являются главной частью тензора проводимости. При 12озн Т амплитуда осцилляций определяется первыми членами суммы в (90.22), в которых 1 1, Л1 1.
Согласно определению в (90.15), величина де оценивается как бех стВ2/рр. Производная же дзЯ/др,"' - 1. Отсюда находим счодуюшую оцен- ') Осцилляции проводимости были рассмотрены А.И. Акиееером (1939) и Б.И. Даеъ20оеым и И.Я. Пемерончрком (1939) зшя квадратичного закона дисперсии электронов, и А.М. Косееичем и В.В. Андреевым (1900) для произвольного закона дисперсии. В свою очередь интеграл (90.2Ц вполне аналогичен интегралу (см. 1Х) (63.9) отличаясь от него лишь медленно меняющиМнгя К1НОжнтЕЗ1яазн 5 И Ганях)Г1Е = Снзех!(ЕГ1В) В ПедмитЕГ12аЛЬ- 112, ном выражении э1и множизели (как и множи1сль др1 ех могут быть заменены их значениями при е = р2, т. е. на ферми- поверхности.
После этого интегрирование по е и суммирование по и приводит к окончательному результату КВАН'1'ОВЫК ОСЦИЛЛЯЦИИ ПРОВОДИМОСТИ ку амплитуды осцилляций: й П' ( 'и) 190. 24) и ЕР Это отношение мало уже в силу обязательного условия (90.3). Если же Т « 6о2н, то оценка меняется. В этом случае амплитуда осцилляций определяется сулгаюй большого числа членов в (90.22), в которых Л~ 1, т. е. 1 Ын)Т >) 1. Чисто таких членов порядка величины того же 1. По сравнению с предыдутцей оценкой здесь появляется дополнительный множитель 1 1)2) - ())озн(Т)гу2, так что 190. 25) Требование малости этого отношения приводит к условию 6мв « (еусТ) ~12. (90.26) Задача Определить поперечную проводимость электронного газа с квадратичным законом дисперсии (е = р2Д2т)). Электроны рассеиваются на примесных атомах по изотропному закону с независящим от энергии сечением. Р е щ е н и е.
Задача сводится к вычислению фигурирующей в (90.18) и (90.23) величины Ь(р,). При квадратичном законе дисперсии р = тщ и поскольку среднее значение скорости вдоль замкнутой трщ1кгории ч = О, то и р = 0; поэтому согласно (90.12) зг = ПР,)е.
Согласно сказанному в тексте при вычислении среднего значения (и — зг ) можно считать процесс 2 рассеяния не зависящим от магнитного поля. При этом разница между Р и р несущественна: выбрав точку нахождения рассеивающего атома в качестве точки г = О, будем иметь Р = р. В рассматриваемол1 глучао вероятносгь рассеяния имеет вид оое 11о'Д4х), где 21о' телесный угол направлений импульса р' после рассеяния, а сге — постоянно< полное сечение рассеяния. Это выражение люжно представить в эквивалентном виде: 11р', 1122'6(е — е') 11е', 41ПВ где 22 — азимутальный угол направления р в плоскости ху, здесь оно заменяет выражение (90.11). Аналогичным образом записываем элемонт объема р-пространства в виде 24р — 1 тг1р.
14РЖ. При этом р, = (2п1е — р,) ~ соя Р. Теперь находим айпр'„.,р,) = у1 (рк — р,) = (4пзе — р, — р'„) С О'0 ~ 2 2122 Ф О'ОГ 2,2 8яе2,/ 2хй 8гзй 468 ме'галлы гл ~х и, далее, '(йкй)з 16лзйз1 ~ З Р'/ ' где 1= 1/(пеХр) — длина свободного пробега. Усредненная проводимость вычисляется согласно (90.15) и равна с~1знзт пзз —— Вз! где Х = рк/(Зя 5 ) — плотность числа электронов. Площадь сечения з з з ферми-сферы имеет максимум при р.— = О, причем Я,„= лрзю Поэтому 5сгЯ Ь, 161 Для оспиллирующсй части проводимости находим согласно (90.23): з 5 дГ1, ояз —— В пзз 6№г дВ Осциллирующая часть намагниченности М, для рассматриваемой модели дается формулой (60.6) (см.
У). ГЛАВА Х ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА ДЛЯ НЕРАВНОВЕСНЫХ СИСТЕМ 9 91. Мацубаровская восприимчивость Исследование поведения различных систем в слабом переменном внешнем поле сводится обычно к вычислению соответствующих обобщенных восприимчивостей. В этом параграфе будут выведены формулы, связывающие обобщенную восприимчивость с некоторой вспомогательной величиной, которую можно вычислять г помогцью мацубаровской диаграммной техники; тем самым открывается путь для использования этой техники при исшледовании кинетических свойств систем (А.А.
Абрикосов, И.Е. Дзялошинский,. Л.П. Горькое, 1962). Напомним определение обобщенной восприимчивости а(ш) (см. Ъ', ~ 123). Пусть внешнее воздействие на систему описывается введением в се гамильтониан возмущающего оператора вида Р(~) = -И(1), (91.1) где х -- шредингеровский (независящий от времени) оператор некоторой физической величины, характеризующей систему, а возмущающая обобщенная сила 1(1) есть заданная функция времени; предполагается, что в отсутствие внешнего воздействия среднее значение величины т равно нулю. Тогда в первом по 1" приближении имеется линейная связь между фурье- компонентами среднего значения У(1) и силой ((1); обобщенная восприимчивость есть коэффициент в этом соотношении: (91.
2) х„., = а(ш)( Согласно формуле Кубо (см. г', )) 126) функция о(ш) может быть представлена в операторном виде как о(ш) = г,) е' '(тоИ)то(0) — то(0)то(1)) 41 (91.6) о где хв(1) гейзенберговский оператор, определенный по невозмущенному гамильтониану системы (о чем напоминает индекс О), а усреднение производится по заданному невозмущен- 470 гл х дилгглммпля твх~икл ному стационарному состоянию системы, или по распределению Гиббса с невозмущенным гамильтониапом '). Рассмотрим теперь, чисто формальным образом, систему, подчиняюшуюся «мацубаровским» уравнениям движения, отличающимся от реальных уравнений заменой времени 1 -э гт, новая переменная т пробегает значения в конечнолг интервале (91.4) Пусть на эту систему налагается возмущение Ъ" (т) = — ху(т).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
