X.-Физическая-кинетика (1109687), страница 91
Текст из файла (страница 91)
Там, где зто не может привести к недоразумениям, будем еще больше упрощать обозначения, отмечая значения аргументов Х соответствующими индексами: Ф~ = Ф(Хг), Сы = С(Х!, Хз) и т. д. Наконец, условимся писать символ усреднения просто как (... ) вместо (и~... ~п).
отличается от (92.2) тем, что вместо Т в нем стоит символ Т, означающий упорядочение расположения операторных множителей в обратном хронологическом порядке -- справа налево в порядке убывания времен. Еще две функции определяются как средние значения нехропологизированных произведений Ф-операторов: 476 гл х Лиат! аммпля твхникл (ср. 1Х, (7.17), (31.4)); с какой стороны !2 стремится к пределу 21 - здесь все равно, так как функция С ~ непрерывна при 12 = Е1. Значение же функции 1С~ при 1! = 12 связано со значением 1С э формулой г(С+ (1, г1, 1, г2) — С +(1, г1, !, гв)) = д(г! — г2), (92.6) следующей из правила коммутации фермиевских или бозевских Ф-операторов.
Определенные таким образом четыре С-функции не иезависимы. Они связаны друг с другом линейным соотно1пенисм, очевидным вепосредственно из их определений: (92.7) Функции С и С+~ связаны также и соотношением «антиэрмитовой сопряженности» по отношению к перестановке их аргументов: (92.8) Функции же С + и С+ «антиэрмитовы» сами по себе; С12 С21 12 21 (92.9) Важную роль в дальнейшем будет играть связь этих функций с запаздывающими или опережающими гриновскими функциями.
Пос11едние определяются аналогично тому, как это делалось в равновесном случае (ср. 1Х, 3 36): »! ) »2~ !! ( !2~ (92.10) »! ) 12~ 11 < 12. Эти две фуыкции ~эрыитово-сопряжены» друг с другом; С12 С21 ' л и» (92.11) Прямое сравнение определений (92.2)-(92.4) и (92.10) дает Си=С вЂ” С +=С» — С' ', СЯ = С вЂ” С+ = С вЂ” С++. (91.12) В стационарном, пространственно-однородном случае, когда все функции зависят только от разностей ! = 11 — !2 и г = г!— — г2, они ьиогут быть подвергнуты фурье-разложению по этим 'С!2 = 11 л 1С'!г = (Р! Р2 ~ Ф2 11)~ О, О, (Ф112 ~ ~2 Ф1)' 1 92 ГРИССОВСКИВ ФУНКЦИИ переменным. Из (92.8) и (92.11) следуют для фурье-компонент равенства С (и,р) = — [С~ ~(ог,р))', С~(ог,р) = [Сн(ю,р)]*, (92.13) со, С';2' = б(х, — х ), (92.14) где Со обозначает дифференциальный оператор д .д Ь Со — — г, '— — е( — гго7) + р = г — + — + 12 'дс дс ггн (92.15) (е(р) = рг/(2т)), а б(Х1 — Хг) = б„,~об(11 — 12)б(гс — гг); (92.16) индекс (0) у С-функции указывает, что она относится к идеальному газу, а индекс 1 у оператора Со —.
что дифференцирование производится по переменным 11, г1. Напомним, что б-функция в правой части уравнения (92.14) связана со скачком, который функция С испытывает при 11 = 12 ). Такой же скачок испытывают функции С и С ., и потому Сс ~ и Сс Р удовлетворяют такому же уравнению. Функция же С++ имеет при 11 = 12 скачок обратного знака; поэтому Сос'С12 ' — — — б(Х1 — Хг). (92.17) Наконец, функции С+ и С + непрерывны при 11 = 12, поэтому для идеального газа они удовлетворяют уравнениям ) — 00Ф— Сгп С12 = 0 1С<о> — Ф О1 12 (92.18) ') См. !Х, 9 9. Приведенный там вывод уравнения не связан с подразумевавшимся усреднением по основному состоянию системы и остается справедливым при усреднении по любому квантовому состоянию.
г) Если дифференцирование производится не по первым, а по вторым переменным в С-функпиях, то должен быть изменен знак перед гд/дй т. е. — 1 — 1 оператор С,„ изменен на С,,г Сог С[г — — 6(Хс — Хг) (92.14а) и т. п. а из (92.9) счедует, что фурье-компоненты Ст (пг, р) и С (ог, р) " мнимые. Для системы певзаимсодействующих частиц функция С удовлетворяет уравнению 478 гл х дилг~ лммпля твхиикл Вычислим все С-функции для стационарного однородного состояния идеального газа, характеризующегося некоторым (не обязательно равновесным) распределением частиц по импульсам пр. Для упрощения формул будем считать, что это распределение не зависит от спина.
Тогда спиновая зависимость С-функций (в статистике Ферми) отделяется в виде множителя б,,; вместе со спиновыми индексами будем опускать и этот множитель. зР-операторы идеального газа пишем в виде обычных разложений: зззя(1, г) = — ,'з ар ехр (з~рг — е(р)1 + рз4) (92.19) р и аналогично длЯ зРвэ (сР. 1Х, (9.3)). ПРи подстановке этих выРажений в определения С-функций надо помнить, что отличны от нуля диагональные матричные элементы лишь от произведений операторов уничтожения и рождения частиц с одинаковыми р, причем (ар ар) = пр, (ара~~) = 1 ~ пр. Таким образом, найдем, например, р,~з С~ ) (з, г) = х- — пр ехр (зрг — зе(р)з + зр4) р/ (2,-)з ' где 2 = ~з — 12, г = гз — г2.
Переписав это выражение тождественно в виде ,~~,~з Сз~) ~(~,г) = х2згз прехр(зрг — иЛ)б(ьз — е+ р) (2зг)з ' мы видим, что С~~) ~(аз,р) =+2язззрб(ьз — я+р). (92.20) Аналогичным образом найдем СФ) ' (аз,р) = — 2яз(1+ пр)б(аз — е+ д). (92.21) Для вычисления Сн удобнее всего исходить прямо из уравнения 1з,— — е( — ззз) + зз~ С~ ~ (1,Г) = д(г)б(г), решая его методом Фурье и учтя, что С (ьз, р) не должна иметь особенностей в верхней полуплоскости аз.
Отсюда сразу находим С~~)~(аз,р) = [ьз — е(р) + зз+з01 ~ (92.22) 2 92 ГРИИОВСКИЬ ФУНКЦИИ (функция же СФ).4(и1,р) получается отсюда., согласно (92.13), просто комплексным сопряжением). Наконец, с помощьну (92.12) находим теперь С1~) (оз,р) = (ил — е(р) +)1+10] ж 2лзпрб(о1 — е+)з) = = Р + зя(+2глр — 1)д(оз — е+ )л). (92.23) и1 — - -~- Р Обратим внимание на тот факт, что выражение (92.22) вообще не зависит от свойств состояния (т, е, от распределения пр), по которому. производится усреднение. Это свойство функции С(~)~ (и С(е)'4) не <вязано в действительности с заранее предположенной при выводе (92.22) однородностью и стациопарностыо состояния системы; функция Со)н(Х1,Х2) автолзатически оказывается зависящей только от разносги Х1 — Х2.
В применении к равновесной системе, в выражениях (92.21)" (92.23) надо понимать под п„функцию распределения Ферми или Бозе. При этом С-функции окажутся выраженными через Т и р; тем самым будет осуществлен переход от усреднения по заданному стационарному квантовому состоянию к усреднению по распределению Гиббса. Задача Найти гриновские функции для однородного стационарного состояния фононного газа в жидкости. Р е ш е н и е. Аналогично определениям (92.4), имеем для фононного поля: зр~зз = (Р1 Рз), зр11~ = (Рз Р1 ), (1) где Р = Р + — оператор переменной части плотности среды.
Ввиду самосопряжевности этого оператора, функции (1) связаны соотношением р+ =р, (2) (и, конечно, по-прежнему обладают свойством (92.9)). Для газа невзаимодействующих фоновое (см. 1Х, (24.10)) 1 1' 3 х л Ре11 / 1~ — »ыз Р— 1~ — .111) (3) (,2и12 (ре .
невозмущенная плотность, и - скорость звука). Подставив (3) в (Ц и перейдя от суммирования к интегрированию, имеем р1ОЗ вЂ” Р( ) Ре 1' ) ( 1-, ) 1л — ь11 ( 1-) — Ш вЂ” 111) 2и) 1 * з (2я)з или, заменив во втором члене переменную интегрирования к — 1 — к и выра- зив средние значения через числа заполнения фононных состояний Х1„ язй 1Р~ ~ (йг) = — (Хз,с ""' -~-(1-~-Х л)е" ')с' '— ,/ 2и (2я)з' 480 ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА ГЛ Х Для функции же РЩ~~ имеем, согласно (2): Р[а1т — ( 1 ) Р<о) — т( Еще две гриновские функции определяются как гРМ = (7РгРг)~ гРгг = (АРгРг).
(6) При этом (7) Для невзаимодействующих фононов аналогичное вычисление дает (ср. задачу в 1Х, 3 31) РЮ'--(ы,й) = -(РРЛ (ы,й))" = Рок( 1 1 — [ 1 2яг(ггьб(ог — ий) 4- 1г' ьб(ог -Г ий)). 2и (ог — ий+ гО ог+ ий — гО (8) В согласии с (7), РЩ1 (ог,1с) = РЮ~ ( — ог, — 1с).
Из (8) следует, что в координатном представлении функция Рой (й г) удовлетворяет уравнонию ( г — — и Аг) РЩ1 (й г) = роб(1)7хб(г), дгг заменяющему уравнение (92.14) для гриновских функций обычных частиц. 8 93. Диаграммная техника для неравновесных систем Всякая диаграммная техника основана на выделении из гамильтониана системы оператора взаимодействия: Й = ЙО + Р, где ЙО гамильтониан системы невзаимодействующих частиц. Диаграммная техника есть теория возмущений по Ч'. Ее построение для неравновесной системы осуществляется по тому же пути, по которому зто делалось в равновесном случае, при Т = 0 ). Гриневская функция С = С выражается через гр-операторы в представлении взаимодействия (т. е. для идеального газа) формулой гС,2 = (Й Т(ФО1'рео2Й)) (93.1) ') Дальнейшее изложение существенно опирается на изложение в 1Х, 3 12, 13. Подынтегральное выражение (без множителя ег"") есть уже компонента фурье-разложения по координатам.
Разложив также и по вромени, получим гРОО +(ог,1с) = Ро 1гУкб(ог — ий) -Р (1-Р 1У н)б(ы -Р ий)). (4) и 481 1 93 пегавновесные системы Где о = о(со, — оо) = Техр — 2' ) ге(г) Ж, (93.2) Я =о+ =Техр 2 ) Ч(г)гй (93.3) (использована также эрмитовость оператора 1г); символ Т анти- хронологического упорядочения был уже введен в предыдущем параграфе. 1 Разложив Я и Я в ряды и подставив их в (93.1), мы получим сумму различных членов, в каждом из которых надо произвести усреднение с помощью теоремы Вика, и каждому способу попарных сверток Ф-операторов сопоставляется определенная диаграмма ).
) Заметим, что по такой же причине изложенная в 1Х, 6 12, 13, диаграммная техника, вообще говоря, неприменима даже при Т = 0 в случае наличия внешних переменных полей (т. е, когда оператор и' зависит явно от времени уже в шродингсровском представлении): псремонныс поля возбуждают основное состояние системы. Подчеркнем в то же время, что развиваемая здесь техника пригодна и при наличии переменного поля. ю ) Напомним, что в макроскопическом пределе справедливость теоремы Вика не связана с тем, по какому однородному стационарному состоянию производится усреднение — см.конец 1Х, 6 13. 16 Л. Д. Ландау, Е.М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
