X.-Физическая-кинетика (1109687), страница 90
Текст из файла (страница 90)
(91.б) Функцией переменной т будет тогда и среднее значение х. Раз- ложим функцию 1(т) в ряд Фурье на интервале (91.4); 1(т) = » 1»е 'С', (» = 2явТ (91.6) (91.7) Наша цель состоит теперь, с одной стороны, в получении для сглг(Г,) формулы, аналогичной (91.3), и, с другой стороны, в нахождении связи между олг((,) и интересующей нас функцией гу(со). Начнем с первой части задачи. Пусть Й вЂ” невозмущенный гамильтониан системы. «Точный» мапубаровский оператор вели плны х вычисляется по формуле') хм(т) = о -1(т,0)хв (т)о(т,0), где и мацубаровская Я-л«атрида: (91.8) т о(т,0) = Ттехр — Я~т(т') с1т' о (91.9) а индексом 0 отмечены операторы в мацубаровском «представ- ') Во всей этой главе полагаем 6 = 1. ~) Для ве.тичины т., имеющей классический предел, должна использоваться тохника, отвечающая случаю статистики Бозе; поэтому разложение (91.6) производится по «четным частотам» С,.
а) Все используемые ниже понятия и формулы даны в 1Х, 8 38. и аналогичным образом функцию х(т) ~). Мацубаровской еоситриимчивоствю назовем коэффициент пропорциональности между компонентами обоих разложений; 471 млцуплРОВОкля ВОСПРиимчиВООть ленни взаимодействия» ): хо (т) = ехр(тНо)хехр( — тНо) (91.10) и аналогично для Ъ1м(т). В первом порядке теории возмущений выражение (91.9) сводится к г о(т, О) — 1 — Я~ (т') Йт'. о (91.11) Вычислим усредненное по распределению Гиббса значение х(т) = Яр(е ~ т, (т)1. (91.12) Согласно формуле (38.6) (см. 1Х) имеем 1/Т г — Й7Т е — Г1аДТ~ ( 1 0) ехр ( На ) 1 ( Ъ м(т() Йт~ а согласно (91.8) и (91.1Ц т х ' (т) хо (т) — Дхо (т)Ъ '(т') — Ъ'о (т')хо (тДЙт'. о Подставив эти выражения в (91.12), получим с той же точностью: х(т) = ЯР е ч~ ~1 (Ро"'(т')хо" (т) — хо" (т)Ъом(т')) Йт'— 10 п~т — ~' Ъ;"(т')хо(т) Йт' о В первом интеграле переменная т' < т, а во втором делим область интегрирования на интервалы ох 0 до т и от т до 1(Т.
После сокращений и подстановки Ъо(т) из (91.5) видим, что ре- зультат может быть записан в виде 17Т х(т) = ( 1(т')(Тгхом(т)хом(т')) Йт' (91.13) о ) Формула (91.8) справедлива и в том случае, когда исходный оператор 12(т) зависит явно от переменной т (хотя зто и не подразумевалось при выводе в 1Х, з 38). 472 гл х дилгглммнля твхникл (напомним, лто оператор Т, хронологизации по переменной т расставляет множители, без изменения знака произведения, в порядке возрастания т справа налево); усреднение в (91.13) производится по распределению Гиббса с гамильтонианом Йо.
Результат усреднения зависит только от разности т — т'. Наконец, представив 7 (т') в виде фурье-разложения (91.6), получим окончательно искомую формулу для мацубаровской восприимчивости; 71т лтм(~л) = ) е'г" тД,хом(т)х~~л(О)) л(т. (91.14) о Мы видим, что ам(Сл) выражается через фурье-компоненту мацубаровской гриновской функции, построенной по операторам х (ср. определение (37.2) (см. 1Х)).
Обратим внимание на отличие от формулы (91.3) для а(лн), в которой стоит запаздывающий (по времени 1) коммутатор, а не хронологизированное произведение. Для решения второй части поставленной задачи - . нахожде- НИЯ СВЯЗИ МЕЖДУ ФУНКЦИЯМИ а(ьл) И ЛХМ(~л) НаДО, ИСХОДЯ ИЗ формул (91.3) и (91.14)., выразить эти функции через матричные элементы оператора х. Мы не будем проводить здесь соответствующие вычисчения, поскольку опи практически совпадают с вычислениями, проводившимися уже по другим аналогичным поводам (ср.
Ъ', О 126; 1Х, 3 36, 37). Ограничимся указанием результата: — к 7т ~* .~ (1 — „7т) м — м „-его (91 16) т,н , (~ ) 'л )л — н„/7' ~х ~ (1 — м,„„7т) (91 16) лл,— Здесь х „матричные элементы шредиигеровского оператора х по отношению к стационарным состояниям системы; оллпп = = Е„, — Е„. Сравнение обоих выражений показывает, что и аэто,) = а(Л~л), ~л > О.
(91.17) (91.18) Поскольку обобщенная восприимчивость а(ол) вещественна на верхней мнимой полуоси ьл, то функция алл(~,) вещественна при > О. С другой стороны, из (91.16) видно, что али( — л„) = а*, (~л). Таким образом, лтлл(~,) является четной вещественной функцией л'„и выражается через а(ш) формулой 1 92 ГРИИОВСКИИ ФУНКЦИИ Соотношение (98.18) устанавливает искомую связь. Для определения а(ы) надо построить функцию, аналитическую в верхней полуплоскости переменной ьл, значения которой в дискретных точках ы = г~,, на верхней мнимой полуоси совпадают с ом(~,); это и будет искомая обобщенная восприимчивость.
Описанный метод будет применен в следующей главе к кинетическим свойствам свсрхпроводников. Покажем в заключение, что знание о(ы) позволяет определить закон релаксации величины х к ее равновесному значению х = О. Для этого будем считать, что начальное неравновесное значение х создается обобщенной силой г'(1), действующей при 1 ( О, а затем выключенной.
Значение х(1) в некоторый момент времени 1 определяется знатениял1и 1 в течение всего предшествующего времени формулой вида х(Х) = Х а(1 — 1')Х(Х') й', причем функция а(2) связана с обобщенной восприимчивостью обратным преобразованием Фурье а(л) = о(ы)е 2л. (ср. У, 2 123). Если (' = 0 при ~ > О, то Поведение х(Х) при больших Х определяется асилштотическим поведением сл(л) при 1 — э оо. В свою очередь последнее определяется ближайшей к вещественной оси особой точкой функции о(ы) в нижней полуплоскости. В частности, релаксации х по простому экспоненциальному закону х е л~т со временем релаксации т соответствует наличие у о(ы) простого иоллоса при ы = — Цт.
й 92. Гриневские функции неравновесной системы Задачи физической кинетики всегда связаны с рассмотрением неравновесных состояний. Тем не менее применение описанного в предыдущем параграфе метода позволяет в ряде случаев свести задачи о вычислении кинетических величин к вычислению гриповских функций для термодинамически равновесных систем; тем самым появляется возможность использования такой диаграммной техники (как мацубаровская), которая по самому 474 дилгглммпля тьхпикл 1л х своему сущесгву применима именно к равновесным состояниям.
Естественно, что такая возможность во всяком случае ограничена физическими вопросами, относящимися лишь к слабо неравновесным состояниям. Мы приступим теперь к построению диаграммной техники, пригодной в принципе для вычисления гриновских функций систем, находящихся в произвольных неравновесных состояниях. Получаемые в этой технике уравнения для гриповских функций по своему смьнлу аналогичны кинетическим уравнениям. В применении же к равновесным системам эта же техника позволяет получить гриновские функции и обобщенные восприимчивости (при отличных от нуля температурах) как функции сразу от непрерывных вещественных частот, без необходимости в аналитическом продолжении 1в этой связи она может оказаться, в сложных <лучаях, более удобной, чем мацубаровская техника) 1).
Гриновская функция неравновесной системы определяется так же, как и в равновесном случае: гС,,(ХНХ9) = (п~ТФ,(Х1)Ф+е1Хз)~п) = (п~Ф,(Х1)Ф~,(Хз)~п), 11 ) 19, ~(п~Ф+,,(Хз)Ф,(Х1)~гг), 11 ( гз. (92.1) Разница состоит лишь в том, что усреднение (обозначенное символом (т1~... ~тг)) производится теперь по произвольному квантовому состоянию системы, а не обязательно по стационарному состоянию, как в равновесном случает). Верхний знак 1здесь и везде ниже) относится к статистике Ферми, а нижний "- к статистике Бозе; в последнем случае (для системы из бесспиновых частиц) спиновые индексы о1., п2 надо, конечно, опустить.
В случае статистики Бозе предполагается, что конденсация отсутствует, т. е. что либо речь идет о системах с несохраняющимся числом частиц (фононы, фотоны), либо система находится при температурах вылив точки начала конденсации. В неоднородной нерав- ') Эта техника принадлежит Л.В. Келдышу (1964). Она близка в некоторых отношениях к технике, развитой Миллсом (А. М1Пж 1962) для равновесных состояний. е) В !Х, з 36, в определение функции С равновесной системы при Тф О включалось также и усреднение по распределению Гиббса.
На|гемини лишний раз в втой связи, что согласно основным принципам статистики результат статистического усреднения для равновесной системы не зависит от того, производится ли оно по точной волновой функции стационарного состояния замкнутой системы, или с помощью распределения Гиббса для системы в «термостате». Разница состоит лишь в том, что в первом случае результат усреднения будет выражен чорез зцергию и число частиц в системе, а во втором — через температуру и химический потенциал. 475 1 92 ГРИИОВСКИЬ ФУНКЦИИ новесной системе функция (92.1) зависит уже от обеих пар переменных Х! = (11, г1) и Х2 = (12, г2) по отдельности, а не только от их разности Х! — Х2, как в равновесном случае.
Диаграммная техника должна дать возможность выразить гриновскую функцию системы взаимодействующих частиц через функции идеального газа. При этом, однако, автоматически возникает необходимость во введении наряду с С еще и других функций. С целью не разбивать дальнейшее изложение, дадим сразу же определение этих функций и выясним некоторые их свойства. По причинам, которые выяснятся в следующем параграфе, целесообразно обозначить функцию (92.Ц как С; таким образом, запишем это определение в виде 1! — — (Т 1, 1 э) (Ф1Ф2 ): г! ~ г2~ ( т(Ф2 Ф1): г! < 12.
(92.2) Определение слечующей функции., ,С-1-1- (ТФ Ф-Р) т(Ф2 11) ~! ~ ~2 'Сгв — ТФ1Ф2 (Ф1Ф~ ), г! ( г2, (92.3) гС12 — — (Ф1Ф~~)., гС12~ = ~(Ф~~Ф1). (92.4) Разница в знаках в этих определениях для ферми-систем связана с общим правилом необходимостью изменения знака при перестановке Ф-операторов. Отметим, что вторая из функций (92.4) при 1! = 62 = 1 совпадает с одночастичной матрицей плотности; в полной записи: ~гС (г, г1, г, г2) = Мр(г, г1, г2) (92. 5) ') Для уменьшения громоздкости обозначений условимся ниже подразумевать спиновые индексы включенными в условное обозначение переменных Х: Х = (й г, о).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
