X.-Физическая-кинетика (1109687), страница 93
Текст из файла (страница 93)
Другими словами, в (94.2) можно писать множители в каждом члене подынтегральпого выражения в порядке С14Е4зСзз . ПодейстВОВНВ На предстаВленНые В таКом <о> виде равенства оператором С~~и (см. примеч. на с. 477), получим Соз С19 = сг,б(Х1 — Хз) + С1зЕззо, 11 Хз. (94.7) Собственно-энергетические функции сами могут быть представлены в виде ряда скелетных диаграмм, графическим элементам которых "- жирным сплошным линиям . —.
отвечают точные С-функции. Так, для системы частиц с парным взаимодействием: и аналогично для Е Рэ и Е+'; дальнейшие члены ряда со+ 1. (94.8) + + — + (99.9) + 11 держат диаграммы с большим числом штриховых линии ). Таким образом, уравнения (94.4) или (94.7) представляют собой полную, хотя и очень сложную систему уравнений для точных С-функций.
Уравнения (94.6) не содержат вовсе функций СЩ~, зависящих от выбора внулевого» состояния системы невзаимодействующих частиц. Таким образом, всякая зависимость от этого выбора исчезает. Но наличие в уравнениях дифференциальных операций Ср. 1Х, (14.9), (14.10); все перечисленные там диаграммы первого и второго порядков входят в скелетные диаграммы (94.8). 488 ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА гл х (94.10) где л (,,). ~/2( 1 1) Легко убедиться, что преобразованная матрица сн р (94.11) где г = а" + а-- = а'- + а-.
(94.12) Преобразовав таким же образом матрицы Сйб и Е, мы оставим уравнение (94.4) инвариантным. Преобразованная матрица Х: В'=Л 'ХЛ= (94.13) где обозначено Й=Е +ЕРР, Е~=Е +Е +, Е~=Е +Е" . (94.14) В этом можно убедиться прямым вычислением с учетом ра- венства В ++В = — (В" +В "), (94.15) являющегося следствием равенства (92.7) (его легко получить, приравняв нулю выражение с;,'(с — + с" — с- — с+-), составленное с помощью уравнений (94.6)).
Раскрыв теперь преобразованное матричное уравнение (94.4), получим три уравнения. Одно из них: СА С(~)~ + С(~)~ВА Сл д4 у 147г- (94 16) приводит к неоднознашости их решений. Эта неоднозначность проявляется присутствием функций С~ ~ в интегральных уравнениях (94.4). Система уравнений (94.6) имеет, однако, тот недостаток, что в ней не учтена еще в явном виде линейная зависимость С- функций, выражаемая равенством (92.7). Для устранения этого недостатка надо произвести линейное преобразование матрицы С таким образом, чтобы, используя (92.7), обратить один из ее элементов в нуль. Такое преобразование осуществляется формулой с'=л ал, 489 кинетическое РРАВнение Такое же уравнение для С пе дает ничего нового, так как я оно является просто сэрмитово-сопряженным' по отношению к уравнению (94.16).
Подчеркнем, что это уравнение, хотя в нем и фигурирует относящаяся к идеальному газу функция Сс ), не зависит от «нулевогоя состояния, поскольку функция Сс Р от этого состояния не зависит (как это было отмечено в 8 92). Наконец, получающееся из (94.4) третье уравнение для функции г содержит члены с функцией г (~~, зависящей от «пулевого» состояния. Эти члены, однако, ис сезают при воздействии на них дифференциального оператора Сс„, поскольку С„, г' = О.
— — со) В результате получим уравнение Сос гш =,31йсзСоз+ Всзгзз) с1 Лз. (94.17) Уравнения (94.16), (94.17) составляют полную систему, описывающую в принципе поведение неравновесной системы. Второе из них . - интегро-дифференциальное и представляет собой обобщение ксшетического уравнения Больцмана; напомним в этой связи, что согласно (92.5), (92.6) функции С Т и С а с ними и Р, непосредственно связаны с функцией распределения частиц в системе. Решение уравнения (94.17) содержит произвол, соответствующий произволу в решении кинетического уравнения. Уравнение же (94.16) чисто интегральное и не вносит поэтому никакого дополнительного произвола в решение системы. Отметим, однако, принципиальную особенность уравнений (94.16), (94.17), отличающукз их в общем случае от обычного кинетического уравнения; они содержат две, вместо одной, временных переменных сз и сз.
В следующем параграфе будет показано, каким образом это различие устраняется в квазиклассическом слгчае. 8 95. Кинетическое уравнение в диаграммной технике Покажем на простом примере, каким образом осуществляется переход от уравнений типа (94.16), (94.17) к обычному квази- классическому кинетическому уравнению.
Мы рассмотрим слабо неидеальный ферми-газ при температурах Т ер, предполагая выполненными условия квазиклассичности: промежутки времени т и расстояния Л, на которых существенно меняются все величины, удовлетворяют неравенствам тек»1, Лря»1 (95.1) (ср. 8 40). Хотя мы, .естественно, пе получим в этом случае ничего нового, вывод содержит поучительные моменты, полезные и в более сложных случаях. ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА ГЛ.
Х Квантовое кинетическое уравнение должно определять одно- частичную матрицу плотности р(г, гм г2). Для перехода к квазиклассическому случаю целесообразно воспользоваться ее смешанным координатно-импульсным представлением, произведя фурье-разложение по разности г. = г1 — г2 и оставив координатную зависимость от г = (г1 + г2) /2. При этом г1=г+-, гз=г — —, 2' 2 так что соответствующий фурье-образ есть (спиновые индексы опускаем) — Р,,Р)=/ "е(~, -'-ь' — ~) ге Рьн Обратное преобразование; ~в р(2 г1 г2) сев(г — ~э)п (г + р) Р (95 3) Интегрирование функции п(г, г, р) по координатам дает функцию распределения частиц по импульсам, как это видно из выражения этого интеграла через исходную матрицу плотности: АГр — / п(е, г, р) т х = Л" /' е ' (" ") р($, гм г2) д х1 д х2. (95.4) Интегрирование жс по импульсам дает распределение по координатам, т. е.
пространственную плотность числа частиц, как это снова видно из выражения через матрицу плотности: М(1,г) = / п(1,г,р)ГРр=Л/р(1,г,г). (95.5) Саму же функцию п(1, г, р) в общем квантовом случае отнюдь нельзя рассматривать как функцию распределения по координатам и импульсам одновременно; не говоря уже о том, что это противоречило бы основным принципам квантовой механики, определенная согласно (95.2) функция п(2, г, р) в общем случае даже не положительна). Функция п(1,г,р) имеет, однако, буквальный смысл функции распределения в квазиклассическом приближении. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим оператор какой-либо физической величины, относящейся к отдельной частице и зависящей от г и р: /т= )(г,р) = у(г, — Л7) ).
По определению матрицы плотности, среднее значение величины / дается интегралом У =,/ У1Р(~~ г1~ г2))г1 =ге=с о х1 ) Для определенности можно считать, что все операторы ч' стоят правее г. В кваэиклассическом приближении это несущественно. 491 5 95 кинетическое уРАннение где /1 действует на переменную г. Подставим сюда р в виде (95.3) и учтем, что при условиях (95.1) и является более медленно меняющейся функцией г1, чем множитель ехр (грг1). Поэтому достаточно дифференцировать только последний, что сводится к замене — г'у)1 — » р. Тогда выражение / примет вид дз /= — ' Дг,р)п(3,г,р)91Йх "", 12х)9 (95.6) что (ввиду произвольности /) как раз соответствует определению классической функции распределения.
Ниже мы будем писать уравнения для гриновской функции С ~(Х1, Х2), наиболее тесно связанной (согласно (92.5)) с матрицей плотности. Введем для нее «четырехмерное» смешанное представление Н (Х,Р) = / ' 9« ')Х -Е,Х вЂ” -Х) 9 Х, )99.7) п(17г7Р) = — 1 С «(Х,Р)~'". 2Н (95.8) интегрирование по 71)н/(2«г) эквивалентно тому, что полагается 91 =»2 ° После этих предварительных определений, перейдем к выводу кинетического уравнения.
Возьмем ( — +)-компоненту уравнений (94.6) и (94.7) и составим их почленную разность: (с * — с )с (~13 ~32 + ~13 ~32 + ~13 ~32 + ~13 ~32 ) 7~ ХЗ. (95.9) Оператор, действующий на функцию 012~ в левой части урав- нения: — = — г ( — + — ) — — ()з — 9"9 ) = — 1 ( — — — ~)7„ч4) — — Гд д1 1 .Гд 9 92 91 — '1 —,, — ) д1 т Перейдем теперь в обеих частях уравнения (95.9) к фурье- компонентам (95.7) и положим 31 = 32 (или, что то же, проинтегрируем по 7Й ~/(2я)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
